lectures_2020_prob (1) (846436), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Из множества чисел {1,2,3,…100} случайно без возвращения выбираются три числа.Найти условную вероятность того, что третье число попадет в интервал, образованныйпервыми двумя, если известно, что первое число меньше второго.Задача. Игральная кость подбрасывается 3 раза. В результате сумма очков на верхнихгранях равна 12. Найти вероятность того, что а) в результате первого броска выпало 4, б)каждый раз выпала 4.281.3 Условная вероятность и независимость (3)Работоспособность систем различной конфигурацииМногие технические, организационные и др.
системы (например, мосты, двигательавтомобиля, системы кондиционирования, биологические\экологические системы,цепочка исполнения приказов в гражданских\военных ведомствах, системы контролякачества на производстве) могут быть представлены в виде набора элементов,взаимодействующих друг с другом определенной схеме.Пример 24. (последовательное соединение) Подобные системы находятся вработоспособном состоянии, если все их элементы находятся в работоспособномсостоянии. Рассмотрим событие Аi={i-й элемент находится в работоспособномсостоянии}, i=1,2,…n.
Вероятности P(Аi) считаются известными. Найти вероятностьсобытия A={система находится в неработоспособном состоянии}.P(A)=1-P(Ā)=1-P(А1 А2 А3 … Аn-1 Аn).Если элементы отказывают независимо, тоP(A)=1-P(Ā)=1-P(А1)×P(А2)×P(А3)×…×P(Аn-1) ×P(Аn).Примером систем с последовательным соединением могут служить:а) автомобильные высокоскоростные магистрали, состоящие из нескольких участков, каждый из которых можетбыть перекрыт в случае аварии;б) иерархическая организационная структура, в которой информация передается с одного уровня на другой;в) пищевая цепь, в которой организмы последующего звена поедают организмы предыдущего звена, и такимобразом осуществляется цепной перенос энергии и вещества, лежащий в основе круговорота веществ в природе.291.3 Условная вероятность и независимость (4)Пример 25.
(параллельное соединение) Подобные системы находятся вработоспособном состоянии, если хотя бы один из их элементов находится вработоспособном состоянии. Рассмотрим событие Аi={i-й элемент находится вработоспособном состоянии}, i=1,2,…n. Вероятности P(Аi) считаются известными.Найти вероятность события A={система находится в неработоспособном состоянии}.P(A)=P(Ā1 Ā2 Ā3 … Ān-1 Ān)=[по формуле условной вероятности]==P(Ā1)×P(Ā2|Ā1)×P(Ā3|Ā1Ā2)×P(Ā4|Ā1Ā2Ā3)×…×P(Ān|Ā1Ā2Ā3…Ān-1).Если элементы отказывают независимо, тоP(A)=P(Ā1)×P(Ā2)×P(Ā3)×…×P(Ān-1)×P(Ān)==[1-P(A1)]×[1-P(A2)]×[1-P(A3)]×…×[1-P(An-1)]×[1-P(An)].Примером систем с параллельным соединением могут служить:а) система организации печати в компании.
Документ возможно распечатать, если есть хотя бы один работающийпринтер ;б) система доступа в сеть интернет через WiFi , 3G и по витой паре.301.3 Условная вероятность и независимость (5)Пример 26. (смесь параллельных и последовательных соединений) Подобные системынаходятся в работоспособном состоянии, если хотя бы один из их элементов находитсяв работоспособном состоянии. Рассмотрим событие Аij={i-й элемент j-й подсистемынаходится в работоспособном состоянии}, j=1,2,…n.
Вероятности P(Аij) считаютсяизвестными. Все элементы отказывают независимо. Найти вероятность событияA={система находится в неработоспособном состоянии}.P(A)=1-P(Ā)==1-P(подсистема 1 работает)××P(подсистема 2 работает)×…×P(подсистема n работает).Примером может служить процесс сбора автомобиля на заводе. Это последовательный процесс. В случаеотсутствия необходимых деталей автомобиля процесс останавливается (что может привести, например, кзабастовке). В повышения надежности процесса производители заключают договора с несколькимипроизводителями деталей, которые осуществляют поставки параллельно.311.3 Условная вероятность и независимость (6)Задача 50.
Рассмотрим ГЭС (см. рисунок). Два генератора работают параллельно. Пятьтурбин работают параллельно. ГЭС вырабатывает электроэнергию, если работаетводоприемник, хотя бы 3 из 5 турбин, и хотя бы 1 из 2 генераторов. ГЭС проходитремонт каждые 2 года. Все элементы выходят из строя независимо. Вероятности того,что элемент из строя в течение двух лет представлены в таблице. Найти вероятностьсобытия A={до следующего ремонта ГЭС не прекратит вырабатывать энергию}.ВероятностьотказаИзображения с images.google.ru0,05Водоприемник0,01Генератор0,001Турбина321.3 Условная вероятность и независимость (7)Пример 27¥.
В урне 5 белых и 7 черных шаров. Из урны наугад вынимают два шара.Найти вероятность события А={оба шара белые}. Событие А представимо в виде А=BC,гдесобытиеB={первыйшарбелый},C={второйшарбелый}.P(A)=P(BC)=P(B)P(C|B)=(5/12)*(4/11).Пример 28¥. В урне 5 белых и 7 черных шаров. Из урны наугад вынимают один шар,записывают его цвет и возвращают в урну.
Затем наугад вынимают еще один шар.Найти вероятность события А={оба шара белые}. Событие А представимо в виде А=BC,где событие B={первый шар белый}, C={второй шар белый}. События B и С независимы.Поэтому P(A)=P(BC)=P(B)P(C)=(7/12)*(7/12).Задача 51. Сумма заказа, поступившего в компанию с вероятностью 0.42 составляетболее 10 000 руб. Если поступил заказ на сумму свыше 10 000 руб., то клиентоплачивает покупку по кредитной карте с вероятностью 0.63.
Суммы различныхзаказов не зависят друг от друга. Найти вероятность события А={следующие три заказабудет на сумму свыше 10 000 руб. каждый и каждый будет оплачен наличными}.Задача 52. Имеется коробка с 9 новыми теннисными мячами. Для игры берут наугадтри мяча.
После игры их кладут обратно. Найти вероятность события А={после трех игрв коробке не останется неигранных мячей}.Задача 53. Игральная кость подбрасывается 6 раз. Найти вероятность событияА={каждая цифра появилась на верхней грани по одному разу}.331.3 Условная вероятность и независимость (8)Задача 54. Игральная кость подбрасывается 12 раз. Найти вероятность событияА={каждая цифра появилась на верхней грани ровно по два раза}.Задача 55. Игральная кость подбрасывается 7 раз.
Найти вероятность событияА={цифра 6 не появилась ни разу}.Задача 56. Игральная кость подбрасывается 5 раз. Найти вероятность события А={наверхних гранях выпали только четные числа}.Задача 57. В коробке лежат 20 предохранителей, 5 из которых бракованные. Изкоробки наугад (не глядя) последовательно достают 2 предохранителя.
Найтивероятность события А={оба выбранных предохранителя бракованные}.Задача 58. Система состоит из 4 независимо работающих элементов (см. рисунокниже). Вероятность того, что каждый элемент находится в работоспособном состоянииравна 0.9. Найти вероятность событий А={система находится в работоспособномсостоянии} и В={элемент №3 не работает, при условии, что вся система работает}.341.3 Условная вероятность и независимость (9)Задача 59. Предположим в первом ящике находится 4 белых и 3 черных шара. Вовтором ящике находятся 3 белых и 5 черных шаров.
Из первого ящика наугадвыбирается 1 шар и помещается во второй ящик. Затем из второго ящика наугаддостают шар. Найти вероятность события А={выбранный шар - черный}.Задача 60. Неправильная монета, у которой решка выпадает в два раза чаще, чем орел,подбрасывается 3 раза. Чему равна вероятность события А={выпадет 2 орла и 1 решка}.Задача 61. Система состоит из 5 элементов (см. рисунок).
Вероятность того, чтоэлементы №1, 2, 3, 4, 5 находятся в работоспособном состоянии равны 0.7, 0.7, 0.8,0.8, 0.8 соответственно. Чему равна вероятность событий А={система находится вработоспособном состоянии} и В={элемент 1 не работает, при условии, что системаработает}. Все элементы работают независимо друг от друга.351.4 Формула полной вероятности (1)События H1, H2, H3 , … Hn образуют полную группу несовместных событий, если1. H1 U H2 U H3 … U Hn = Ω2. H1, H2, H3 , … Hn попарно непересекаются (т.е.
H1 H2 = ø, H2 H3 = ø и т.д.)Такие события H1, H2, H3 , … Hn называются гипотезами.Предположим в результате опыта может произойти одна из гипотезH1, H2, H3 , … Hn. Пусть нас интересует событие А и нам известнывероятности P(H1), P(H2), … P(Hn) и P(A|H1), P(A|H2), …P(A|Hn).Как найти вероятность события А?P(A)=P(H1)P(A|H1) + P(H2)P(A|H2) + … + P(Hn)P(A|Hn) – формула полной вероятности361.4 Формула полной вероятности (2)Пример 29‡. Партия транзисторов, среди которых 10% дефектных, поступила напроверку. Схема проверки такова, что с вероятностью 0.95 обнаруживает дефект (еслион есть) и с вероятностью 0.03 обнаруживается дефект, даже если его нет (т.е.исправный транзистор признан дефектным). Какова вероятность события А={случайновыбранный транзистор признан дефектным}?Решение:H1={поступивший на проверку транзистор дефектный},H2={поступивший на проверку транзистор исправный}.P(H1)=0.1, P(H2)=0.9.A={случайно выбранный транзистор - дефектный}.P(A|H1)=0.95, P(A|H2)=0.03.P(A)=P(H1)P(A|H1) + P(H2)P(A|H2)=0.1*0.95+0.9*0.03=0.122.Пример 30‡.
В продажу поступают плазменные панели с трех заводов (Sharp, Panasonic,Samsung). Продукция Sharp содержит 20% панелей со скрытым дефектом, продукцияPanasonic – 10%, продукция Samsung – 5%. Вы пришли в магазин М.Видео. Каковавероятность приобрести исправную плазменную панель, если магазин М.Видео закупает30% панелей с завода Sharp, 20% панелей с завода Panasonic, 50% панелей с заводаSamsung? Ответ: 0,895.371.4 Формула полной вероятности (3)Пример 31‡. Сотовый телефон может работать в двух режимах: (1) нормальном, (2)режиме экономии батареи. Нормальный режим наблюдается в 70% случаев работытелефона.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
