lectures_2020_prob (1) (846436)
Текст из файла
Лекции по теории вероятностей иматематической статистике. Часть 1.─ Предмет теории вероятностей и математическойстатистикиВероятность─ Пространство исходов, события, классическаявероятность, действия над событиями─ Условная вероятность и независимость─ Формула полной вероятности─ Основные формулы комбинаторики1.1 Предмет теории вероятностейи математической статистикиТеория вероятностей производит пересчет заданных вероятностей «простых» событийв вероятности «сложных» событий*.Математическая статистика по наблюденным данным восстанавливает вероятностисобытий или проверяет, правы ли мы в своих предположениях относительно этихвероятностей*.Пример 1.
В российской Премьер лиге футбольная команда на домашнем поле одерживает победу в 48% случаев, играет в ничью в 26% случаев и побеждает в выездном матче в26% случаев.Пример 2. В трех лабораториях ставят эксперименты по измерению скорости света, в результате которых получают различные результаты. Какова же истинная скорость света?Пример 3. Проводится испытания двух лекарств. 5 из 9 пациентов, принимающих препарат А имеют положительную динамику . 7 из 10 пациентов, принимающих препарат В имеют положительную динамику. Каков вывод?Где используется: медицинская диагностика, физика, распознавание речи,бюджетирование, социология, маркетинг … практически везде**.[*] Теория вероятностей. Математическая статистика. Бочаров П.П., ПечинкинА.В. 2-е изд. - М.: Физматлит, 2005. — 296 с.[**] для интересующихся см., например, книгу Несовершенная случайность.
Л. Млодинов.21.2 Пространство исходов, события,классическая вероятность (1)Эксперимент, испытание, опыт – действие, результат которого невозможно точнопредсказать и которое можно повторить с первоначальным комплексом исходных данныхбесконечное число раз (хотя бы теоретически), и для которого невозможно точноепредсказание результата при его повторении*.Пространство элементарных исходов (Ω) – множествоэлементарных (неделимых) результатов (исходов) опыта.всехвозможныхПример 4.
Число ошибок в коде программного продукта MATLAB. {0,1,2,...}Пример 5. Главный инженер наблюдает за работой трех теплогенерирующих компаний(ТГК). В каждый момент времени каждая ТГК может либо генерировать энергию, либонет. {(0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1), (1,1,1)}Пример 6. Игральная кость (dice) подбрасывается 1 раз. {0,1,2,...}Пример 7. Подбрасывается 2 игральные кости одновременно. {(1,1), (1,2), ..., (6,6)} {(i, j ), i 1,6, j 1,6}31.2 Пространство исходов, события,классическая вероятность (2)Задача 1. Время жизни элементарной частицы. Выписать Ω.Задача 2. Автомобильный консультант инспектирует парк автопарк дилера. По каждомуавтомобилю он записывает тип двигателя (дизель, бензин) и тип кузова (седан, хэтчбэк,универсал, джип). Выписать Ω.Задача 3.
Предположим из процесса производства случайным образом выбрали 3 деталии каждую проверили на наличие и отсутсвие дефектов. Выписать Ω.Задача 4. Из колоды в 52 карты случайным образом выбирают 13 карт и смотрят сколькоиз них королей. Выписать Ω.Задача 5. Вы останавливаете на улице случайного прохожего и спрашиваете день имесяц его рождения. Выписать Ω.Задача 6. Вы назначили встречу коллеге в метро в промежутке между 13:00 и 13:10.Выписать Ω.Задача 7. Вы подбрасываете правильную монету.
Вас интересует результат подбрасывания и время `полета` монеты. Выписать Ω.41.2 Пространство исходов, события,классическая вероятность (3)Каждому элементарному исходу опыта, пространство элементарных исходовкоторого Ω={a,b,c,d…,z}, присваивается число 0 до 1, называемое вероятностью этогоисхода. Эти вероятности обязательно должны обладать свойствами:1.
0 ≤ pa ≤ pb ≤ pc ≤ … ≤ pz ≤ 1;2. pa + pb + pc + … + pz = 1.Вероятность исхода a записывается как P(a) или pa.Если все элементарные исходы опыта, пространство элементарных исходовкоторого Ω={a,b,c,d…,z}, равновозможны, то вероятность каждого элементарного исходаравна1 ,||где |Ω| - мощность множества Ω (общее число элементов в множестве).Пример. Подбрасывается правильная монета. Ω={орел, решка}.P(орел)=1/2, P(решка)=1/2.Пример. Подбрасывается 2 игральные кости. {(i, j ), i 1,6, j 1,6}P(i,j)= 1/36.51.2 Пространство исходов, события,классическая вероятность (4)Задача 8. Из колоды в 52 карты наудачу достается одна карта.
Выписать Ω. Найти вероятность каждого элементарного исхода.Задача 9. Из колоды в 52 карты наудачу достается одна карта и затем она кладется обратно в колоду. После этого опять наугад достается одна карта. Выписать Ω. Найти вероятность каждого элементарного исхода.Задача 10. Проводится опыт в котором возможно 3 элементарных исхода: a, b, c. Пустьисход a в два раза вероятнее исхода b, а исход b в три раза вероятнее исхода c. Определить вероятности элементарных исходов.Задача 11.
Проводится опыт в котором возможно 5 элементарных исходов: a, b, c, e, f.Пусть исход a в три раза вероятнее исхода b, а исходы b, c, e, f все равновероятны. Определить вероятности элементарных исходов.Задача 12. Часто вместо вероятности успеха p говорят об отношении шансов, что есть отношение вероятности успеха к вероятности неудачи, т.е. p/(1-p).(а) если отношение шансов равно 1, чему равно p?(б) если отношение шансов равно 2, чему равно p?(б) если p=0.25 чему равно отношение шансов?61.2 Пространство исходов, события,классическая вероятность (5)Событие – произвольный набор элементарных исходов опыта.Т.е.
событие - это исход опыта, но только необязательно неделимый.Обозначения – A, B, C2, H1 и т.д.Пример 8. Игральная кость подбрасывается один раз. A={выпадение четного числаочков} – событие, которое заключается в том, что выпадет либо 2, либо 4, либо 6.B={выпадение не менее двух очков} – событие, которое заключается в том, что выпадетлибо 2, либо 3, либо 4, либо 5, либо 6.Пример 9. Производится эксперимент по тестированию программного продукта наналичие ошибок в коде.
Очевидно, Ω={0,1,2,3,…}. Интересует событие А, что в кодебудет обнаружено больше 10 ошибок и событие В, что в коде будет не больше 3ошибок. Тогда, A={11,12,13, …}, B={0,1,2,3}.Пример 10. Из колоды в 52 карты наугад выбирает 1 карта. Событиями могут быть,например, А={выбранная карта – туз}, В={выбранная карта – король пик}, С={выбраннаякарта – синего цвета}.71.2 Пространство исходов, события,классическая вероятность (6)Говорят, что событие произошло (наступило, появилось, имеетместо), если наступил элементарный исход, принадлежащий этомусобытию. В противном случае событие не произошло.Пример 11.
Идет финальный футбольный матч между командами РУДН и МГУ.Рассмотрим события А={победил РУДН}, В={победил кто-нибудь}, C={не победил никто}.В результате победила команда РУДН. Тогда событие А произошло, событие Впроизошло, событие С не произошло.Если событие происходит при каждом проведенииэксперимента, то это событие называется достоверным(обозначается, как Ω).Если событие не может произойти ни при одномпроведении эксперимента, то событие называетсяневозможным (обозначается, как ø).Пример 12. Подбрасываются 2 игральные кости.
Рассмотрим событие А={сумма очковна верхних гранях не меньше 2}, В={сумма очков на верхних гранях равна 30}.Получается, что А – достоверное событие, В – невозможное событие.81.2 Пространство исходов, события,классическая вероятность (7)Событие, состоящее в наступлении хотя бы одного изсобытий называется объединением событий (обозначаетсяAUB, A+B читается «А или В»)*** ΩСобытие, состоящее в наступлении обоих событий А и Вназываетсяпроизведением(пересечением) событий(обозначается AB, читается «А и В»)***Событие, состоящее в том, что событие А не происходит,называетсяпротивоположнымсобытиемдляА(обозначается Ā, читается «не А»)***События называются несовместимыми, если их совместноенаступление невозможно (обозначается AB = ø)***[***]Курс теории вероятностей.
Гнеденко Б.В. 8-е изд., испр. и доп.—М.: Едиториал УРСС, 2005.— 448 с.91.2 Пространство исходов, события,классическая вероятность (8)Задача 13. Опыт – бросание двух монет. Являются ли совместимыми событияA={появление герба на первой монете}, B={появление решки на второй монете}.Задача 14. Опыт – вынимание наугад 2-х карт из колоды в 52 карты.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
