lectures_2020_prob (1) (846436), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Обозначим его через n. Чемуравна вероятность того, что число n(n+1)(n+2) делится на 8?Задача. В классе меньше 30 человек. Вероятность того, что наугад выбранная девочкаотличница, равна 3/13, а вероятность того, что наугад выбранный мальчик-отличник, равна4/11. Сколько в классе отличников?Задача. В ящике 10 красных и 6 синих пуговиц. Какова вероятность того, что две наудачувынутые пуговицы будут одноцветными?Задача. В кармане имеется несколько монет достоинством 2 коп. и 10 коп. (на ощупь неразличимых). Известно, что двухкопеечных монет втрое больше, чем десятикопеечных.Наугад вынимается одна монета. Какова вероятность того, что это окажется монетадостоинством 10 коп.?191.2 Классическая вероятность.Дополнительные задачи (18)Задача.
Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и поэтому набирает её наугад.Определить вероятность того, что ему придётся звонить не более чем в 3 места.Задача. Мастер, имея 10 деталей, из которых 3 – нестандартных, проверяет детали одну задругой, пока ему не попадется стандартная. Какова вероятность, что он проверит ровно дведетали?Задача*. В одном ящике 3 белых и 5 черных шаров, в другом ящике – 6 белых и 4 черныхшара. Найти вероятность того, что хотя бы из одного ящика будет вынут белый шар, если изкаждого ящика вынуто по одному шару.Задача. Все натуральные числа от одного до двадцати записаны на одинаковых карточках ипомещены в урну.
После тщательного перемешивания карточек из урну наудачу взята однакарточка. Какова вероятность того, что число на взятой карточке окажется простым;составным; не простым и не составным?Задача. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 20. Какова вероятность того,что это число окажется делителем 24 ?Задача. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 100. Какова вероятностьтого, что выбранное число при делении на 8 дает в остатке 2?201.2 Классическая вероятность.Дополнительные задачи (19)Задача. Наудачу выбрано двузначное число. Какова вероятность того, что выбранное числоимеет простые делители, больше 10 ?Из множества {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} наудачу выбрано число q, после чего составленоуравнение x2+4x+q=0.
Какова вероятность того, что корни уравнения окажутся:действительными числами;целыми рациональными числами;действительными иррациональными числами?Задача. Определим операцию δ следующим образом: наугад выбирается двузначное число,кратное 6 , затем оно складывается с наугад выбранным простым двузначным числом изатем полученная сумма делится на 2.
Чему равна вероятность того, что в результатеоперации δ появится целое число?211.3 Условная вероятность и независимость (1)Условной вероятностью события В при условии события А (P(A)≠0) называетсяотношение вероятности пересечения событий А и В к вероятности события А, т.е.P( AB).P ( A)События А и В называются независимыми, если условная вероятность события В приусловии А совпадает с безусловной вероятностью события В, т.е.P( B | A) P( B) или P( AB) P ( A) P( B ).P( B | A) События А, B, C, D, …, Z называются независимыми в совокупности, если длялюбого набора событий вероятность совместного наступление равна произведениювероятностей отдельных событий (Например, P(BCD)=P(B)P(C)P(D) илиP(ABCD…Z)=P(A)P(B)P(C)P(D)…P(Z) и т.д.).Пример 18. Опыт – подбрасывание игральной кости. Рассмотрим событияА={выпадение четного числа очков}, В={выпадение нечетного числа очков}.
Т.к. AB=ø,то P(B|A)=0.Пример 19. Предположим кто-то подбросил 2 игральные кости (одну синюю и однукрасную) и объявил (не показывая результат подбрасывания), что на верхних граняхвыпала по крайней мере одна 6. Чему при этом равна вероятность события А={накрасной игральной кости выпала 6}. Пусть событие В={на верхних гранях выпала покрайней мере одна 6}. Тогда P(A|B)=6/11.221.3 Условная вероятность и независимость (2)Пример 20. Опыт – подбрасывание игральной кости. Рассмотрим событияА={выпадение 4 или 6 на верхней грани}, В={выпадение четного числа очков}.Здесь P(B|A)=1.Пример 21.
Предположим кто-то подбросил 2 игральные кости (одну синюю и однукрасную) и объявил (не показывая результат подбрасывания), что ровно на одной изверхних граней выпала 6. Чему при этом равна вероятность события А={на краснойигральной кости выпала 6}. Пусть событие В={ровно на одной из верхних гранейвыпала 6}. Тогда P(A|B)=1/2.Пример 22. Предположим кто-то достает одну карту из колоды в 52 карты иобъявляется (не показывая карту), что эта карта пиковой масти.
Чему при этом равнавероятность события А={выбранная карта валет, дама, король}. Пусть событиеВ={выбранная из колоды карта – пиковой масти}. Тогда P(A|B)=P(AB)/P(B)=3/13.Пример 23¥. Из колоды в 52 карты вынимается одна карта. Рассмотрим события:A={появление туза}, B={появление красной масти}, C={появление бубнового туза},D={появление 10}. Выяснить зависимы или независимы следующие пары событий:1) A и B, 2) A и С, 3) B и C, 4) B и D, 5) C и D.Ответ:1) независимы т.к.
P(A)=1/13. P(A|B)=1/13. 2) зависимы т.к. P(A)=1/13. P(A|C)=1.3) зависимы, т.к. P(B)=1/2. P(B|C)=1. 4) независимы, т.к. P(B)=1/2. P(B|D)=1/2.5) Зависимы т.к. несовместимы.231.3 Условная вероятность и независимость (3)Задача 35‡. Вероятность попасть в самолет равна 0.4. Вероятность его сбить равна 0.1.Найти вероятность того, что при попадании в самолет он будет сбит.Задача 36‡. Вероятность того, что прибор не откажет к моменту времени t1 равна 0.8.Вероятность того, что прибор не откажет к моменту времени t2 (t2 > t1 ) равна 0.6.
Найтивероятность того, что прибор не отказавший к моменту времени t1, не откажет и кмоменту времени t2.Задача 37‡. В семье двое детей. Рождение мальчика и девочки – независимые иравновероятные события. Вычислить вероятность того, что оба ребенка – мальчики,если известно, что в семье есть мальчик.Задача 38‡. Пусть события А и В независимы и не являются невозможными. Доказать,что они обязательно совместны (т.е.
могут произойти одновременно).Задача 39‡. Из 100 студентов в аудитории, 50 человек знают английский язык, 40 –французский и 35 немецкий. Английский и французский языки знают 20 студентов.Английский и немецкий – 8 студентов. Французский и немецкий – 10 студентов. Все триязыка знают 5 человек. Один из студентов вышел из аудитории. Рассмотрим события:Е={вышедший студент знает английский}, F={вышедший студент знает французский},D={вышедший студент знает немецкий язык}.Вопрос: а) какие пары событий независимы?б) являются ли E,F,D независимыми в совокупности?[‡] Сборник задач по математике для втузов. Ч.3. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб.
пособие для втузов /Под ред. А.В. Ефимова. – 2-е изд., перераб. и доп. –М.: Наука.241.3 Условная вероятность и независимость (4)Задача 40‡. На шахматную доску наудачу ставятся два слона(bishop) – белый и черный. Каждый слон может занятьравновероятно любую клетку шахматной доски. Каковавероятность того, что слоны не побьют друг друга, при условии,что белый слон попадет на одно из крайних полей доски?Задача 41‡. На шахматную доску наудачу ставятся две ладьи(rook, tower) . Пусть событие А={ладьи попали на клеткиразного цвета}.
Событие B={ладьи побьют друг друга}.Найти P(B|A).Задача 42‡. Студент знает 20 из 25 вопросов экзамена. Экзаменсчитает сданным, если студент ответит не менее, чем на 3 из 4вопроса в билете. Взяв билет, студент обнаружил, что знаетпервый вопрос. Чему равна вероятность того, что студент сдастэкзамен?Задача 43‡. Иван и Петр поочередно бросают правильнуюмонету. Выигрывает тот, у кого раньше появится «орел». Иванбросает первым.а) Найти вероятности выигрыша для каждого из игроков.б) Найти вероятность выигрыша для каждого из игроков, еслиПетру разрешается делать два броска при его подходе, а Иванутолько один.251.3 Условная вероятность и независимость (5)Задача 44‡.
Сколько раз нужно бросить пару игральных костей, чтобы с вероятностью неменьше 0.5 появилась сумма очков на верхних гранях, равная 12?Задача 45. Игральная кость подбрасывается 5 раз. Чему равна вероятность того, что наверхних гранях появятся только нечетные числа?Задача 46. Игральная кость подбрасывается 3 раза. Чему равна вероятность того, что наверхних гранях появятся различные числа?Задача 47. Из колоды в 52 карты 3 раза наугад (randomly) выбирается карта, записываетсяее достоинство и карта возвращается обратно.
Чему равна вероятность события А={быловыбрано 2 черные карты и 1 красная карта}.Задача 48. Из колоды в 52 карты наугад (randomly) достается 3 карты. Чему равнавероятность события А={было выбрано 2 черные карты и 1 красная карта}.Задача 49. Устройство может состоять из N независимо работающих элементов. Каждыйэлемент с вероятность 0.1 выходит из строя.
Для какого значения N вероятность того, что покрайней мере один элемент работает равна 0.995?261.3 Условная вероятность и независимость (6)Задача. В семье – двое детей. Какова вероятность, что старший ребенок – мальчик, еслиизвестно, что в семье есть дети обоего пола?Задача. Шесть карточек, которые занумерованы от 1 до 6, помещаются в коробку. Затемнаугад достают одну карточку и возвращают ее обратно. Потом наугад достают еще раз однукарточку. Если сумма цифр на двух карточках равна 8, то чему равна вероятность того, чтоодна из двух карточек была с номером 5?Задача. Игральная кость подбрасывается два раза.
Известно, что сумма очков равна 10.Какова вероятность при этом условии того, что один раз появляется 6 очков ?Задача. Бросили игральную кость. Какова вероятность того, что выпало простое число очков,если известно, что число выпавших очков нечетно?Задача. В ящике лежат 12 красных, 8 зеленых и 10 синих шаров.
Наудачу вынимаются двашара. Какова вероятность, что вынутые шары разного цвета, если известно, что не вынутсиний шар?Задача. Брошены три игральные кости. Чему равна вероятность того, что на одной из нихвыпала единица, если на всех трех костях выпали разные числа?271.3 Условная вероятность и независимость (7)Задача. Игральная кость бросается до тех пор, пока не выпадет единица. Известно, что дляэтого потребовалось четное число бросаний. Найти вероятность того, что единица впервыевыпадет при втором бросании.Задача. Из колоды карт (52) последовательно вынуты две карты. Найти a) вероятность того,что вторая карта окажется тузом (неизвестно, какая карта была вынута вначале), b)условную вероятность того, что вторая карта будет тузом, если первоначально был вынут туз.Задача.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
