1629215821-cc57de1771f9fcf148c7b78f76a4ecbb (845956), страница 9
Текст из файла (страница 9)
По условию, п=625; р==0,8; д=0,2;е=0,04*Требуется найти вероятность Р{\ т/625—0»8|<0,04).Воспользуемся формулойИмеем'• (I ш-»-» |-=»-<«) -»* (»•<» Vn^)=*» »•«•По таблице приложения 2 найдем Ф (2»5) == 0,4938. Следовательно,2Ф (2,5) = 2 0,4938=0,9876. Итак, искомая вероятность приближенноравна 0,9876.132. Веро51Тность появления события в каждом из 900независимых испытаний равна 0»5. Найти вероятностьтого, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0»02.133. Вероятность появления события в каждом из10 000 независимых испытаний равна 0,75. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,01.134.
Французский ученый Бюффон (XVIII в.) бросилмонету 4040 раз, причем «герб» появился 2048 раз.43Найти вероятность того, что при повторении опыта Бюффона относительная частота появления «герба» отклонится от вероятности появления «герба» по абсолютнойвеличине не более чем в опыте Бюффона.135. Вероятность появления события в каждом изнезависимых испытаний равна 0,5.
Найти число испытаний м, при котором с вероятностью 0,7698 можно ожидать, что относительная частота появления событияотклонится от его вероятности по абсолютной величинене более чем на 0,02.Р е ш е н и е . По условию, р = 0,5; д=0,5; е=0,02;Р (I m//i—0,51 <;0,02)== 0,7698.Воспользуемся формулойР(|т/п-р|<е) = 2 ф ( е | / ^ ) .В силу условия^^(^•^^/-ОЗЖб)^^'^^^^'или Ф (0,04 » ^ i ) = 0,3849.По таблице приложения 2 найдем Ф (1,2) = 0,3849. Следовательно,_^0,04 1/^/1 = 1,2, или |/"л=30.Таким образом, искомое число испытаний п=900.136.
Сколько раз нужно бросить игральную- кость,чтобы вероятность неравенства|ш/л—1/6|<0,01была не меньше чём вероятность противоположного неравенства, где т—число появлений одного очка в пбросаниях игральной кости?Р е ш е н и е . Воспользуемся формулойК1т-Н*0-""('/^)-По условию, р=1/б, (7 = 5/6, 8 = 0,01. Вероятность осуществлениянеравенства, противоположного заданному, т. е. неравенства | т/п——1/61 > 0,01, равнаСогласно условию должно иметь место неравенствоили44ОтсюдаПо таблице приложения 2 найдем Ф (0,67) =0,2486; Ф (0,68) = 0,2517.Выполнив линейную интерполяцию, получим Ф (0,6745) =0,25.Учитывая соотношение (*) и принимая во внимание, что функция Ф (х)—возрастающая, имеем« > ^ ^ ^ 0 ' 6 7 ^ 5 , или 0,01 l / . ^ ^ ^ =0.6745.Отсюда искомое число бросаний монеты л ^ 6 3 2 .137.
Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,2. Найти наименьшее числоиспытаний п, при котором с вероятностью 0,99 можноожидать, что относительная частота появлений событияотклонится от его вероятности по абсолютной величинене более чем на 0,04.138. В урне содержатся белые и черные шары в отношении 4 : 1 . После извлечения шара регистрируется егоцвет и шар возвращается в урну. Чему равно наименьшее число извлечений п, при котором с вероятностью 0,95можно ожидать, что абсолютная величина отклоненияотносительной частоты появления белого шара от еговероятности будет не более чем 0,01?139.
Вероятность появления события в каждом из 400независимых испытаний равна 0,8. Найти такое положительное число 8, чтобы с вероятностью 0,99 абсолютнаявеличина отклонения относительной частоты появлениясобытия от его вероятности 0,8 не превысила е.Р е ш е н и е . По условию, п = 400, р = 0,8, q = 0,2. Следовательно,2Ф (8 V^400/(0,8 0,2) ) = 0,99 или Ф (бОе) = 0,495.По таблице приложения 2 найдем Ф (2,57) = 0,495, значит 50е== 2,57.
Отсюда искомое число е = 0,05.140. Вероятность появления события в каждом из900 независимых испытаний равна 0,5. Найти такое положительное число 8, чтобы с вероятностью 0,77 абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события от его вероятности 0,5 не превысила е.141. Вероятность появления события в каждом из10 000 независимых испытаний равна 0,75. Найти такоеположительное число е, чтобы с вероятностью 0,98 аб45солютная величина отклонения относительной частотыпоявления события от его вероятности 0,75 не превысила е.142,.
Отдел технического контроля проверяет на стандартность 900 деталей. Вероятность того, что детальстандартна, равна 0,9. Найти с вероятностью 0,95 границы, в которых будет заключено число т стандартныхдеталей среди проверенных.Р е ш е н и е . По условию, п = 900, р=0,9, ^ = 0,1. Следовательно,2Ф(гУ 900/(0,90,1)) = 0,95, или Ф(100е) =0,475.По таблице приложения 2 найдем Ф( 1,96) = 0,475, значит100е= 1,96. Отсюда е « 0,02.Таким образом, с вероятностью 0,95 отклонение относительнойчастоты числа стандартных деталей от вероятности 0,9 удовлетворяетнеравенствуI т/900—0,91^0,02, или 0,88 < т/900 < 0,92.Отсюда искомое число m стандартных деталей среди 900 проверенных с вероятностью 0,95 заключено в следующих границах:792<т<828.143.
Отдел технического контроля проверяет 475 изделий на брак. Вероятность того, что изделие бракованное, равна 0,05. Найти с вероятностью 0,95 границы,в которых будет заключено число т бракованных изделий среди проверенных.144. Игральную кость бросают 80 раз. Найти с вероятностью 0,99 границы, в которых будет заключено число твыпадений шестерки.§ 4. Наивероятнейшее число появлений событияв независимых испытанияхЧисло ^0 (наступления события в независимых испытаниях,в каждом из которых вероятность появления события равна р) называют наивероятнейшим^ если вероятность того, что событие наступит в этих испытаниях k^ раз, превышает (или, по крайней мере, неменьше) вероятности остальных возможных исходов испытаний.Наивероятнейшее число k^ определяют из двойного неравенстваnp--q<ko < пр + р,причем:а) если число пр—д—дробное, то существует одно наивероятнейшее число k^;б) если число пр—д—целое, то существует два наивероятнейших числа, а именно: ATQ и ^o+Uв) если число пр—целое, то наивероятнейшее число k^^^np.145.
Испытывается каждый из 15 элементов некоторого устройства. Вероятность того, что элемент выдержит46испытание, равна 0,9. Найти наивероятнейшее числоэлементов, которые выдержат испытание.Р е ш е н и е . По условию, п = 15,р=0,9, (7=0,1. Найдем наивероятнейшее число ко из двойного неравенстваnp^q<ko< пр + р.Подставив данные задачи, получим150,9—0,l<*o < 15-0,9+0,9, или 13,5<*о< IM.Так как ^о—целое число и поскольку между числами 13,4 и14,4 заключено одно целое число, а именно 14, то искомое наивероятнейшее число ко ==14.146. Отдел технического контроля проверяет партиюиз 10 деталей. Вероятность того, что деталь стандартна,равна 0,75.
Найти наивероятнейшее число деталей, которые будут признаны стандартными.147. Товаровед осматривает 24 образца товаров. Вероятность того, что каждый из образцов будет признангодным к продаже, равна 0,6. Найти наивероятнейшеечисло образцов, которые товаровед признает годнымик продаже.Р е ш е н и е . Пр условию, п=:24;р==:0,6; ^=0,4. Найдем наивероятнейшее число годных к продаже образцов товаров из двойногонеравенства пр—д<^ко < пр'\'р. Подставляя данные задачи, получим24-0,6—0,4<Ао < 24-0,6+0,6, или Н<ко< 15.Так как пр—j&=14—целое число, то наивероятнейших чиселдва: ко==14 и Ао+1 = 15.148. Найти наивероятнейшее число правильно набитых перфораторщицей перфокарт среди 19 перфокарт, есливероятность того, что перфокарта набита неверно,равна 0,1.149. Два равносильных противника играют в шахматы.
Найти наивероятнейшее число выигрышей длялюбого шахматиста, если будет сыграно 2N результативных (без ничьих) партий.Р е ш е н и е . Известно, что если произведение числа испытаний пна вероятность р появления события в одном испытании есть целоечисло, то наивероятнейшее числоВ рассматриваемой задаче число испытаний п равно числу сыгранных партий 2N; вероятность появления события равна вероят*ности выигрыша в одной партии, т. е. р^1/2 (по условию противНИКИ равносильны).Поскольку произведение пр^2ЫЛ12^Ы—целое число, то искомое наивероятнейшее число ко выигранных партий равно N.47150.
Два стрелка стреляют по мишени. Вероятностьпромаха при одном выстреле для первого стрелка равна0,2, а для второго—0,4. Найти наивероятнейшее числозалпов, при которых не будет ни одного попадания в мишень, если стрелки произведут 25 з|1лпов.Р е ш е н и е . Промахи стрелков есть независимые события, поэтому применима теорема умножения вероятностей независимых событий. Вероятность того, что оба стрелка при одном залпе промахнутся,р = 0,2.0,4=0,08.Поскольку произведение лр = 25.0,08 = 2—целое число, то наивероятнейшее число залпов, при которых не будет ни одного попадания,Аго = лр = 2.151. Два стрелка одновременно стреляют по мишени.Вероятность попадания в мишень при одном выстреледля первого стрелка равна 0,8, а для второго—0,6.
Найтинаивероятнейшее число залпов, при которых оба стрелкапопадут в мишень, если будет произведено 15 залпов.152. Сколько надо произвести независимых испытанийс вероятностью появления события в каждом испытании,равной 0,4, чтобы наивероятнейшее число появлений события в этих испытаниях было равно 25?Р е ш е н и е .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
