1629215821-cc57de1771f9fcf148c7b78f76a4ecbb (845956), страница 10
Текст из файла (страница 10)
По условию, )^0 = 25; р==0,4; q^Ofi.зуемся двойным неравенствомВоспольnp—q<k^ < лр + р.Подставляя данные задачи, получим систему неравенств дляопределения неизвестного числа:0,4л—0,6 < 25, 0,4/1 + 0,4 > 25.Из первого неравенства системы найдем / t < 25,6/0,4 == 64.Из второго неравенства системы имеем п > 24,6/0,4 = 61,5.Итак, искомое число испытаний должно удовлетворять двойному неравенству 6 2 < n < 6 4 .153. Вероятность появления события в каждом изнезависимых испытаний равна 0,3. Найти число испытаний п, при котором наивероятнейшее число появленийсобытия в этих испытаниях будет равно 30.154.
Вероятность появления события в каждом изнезависимых испытаний равна 0,7. Найти число испытаний /I, при котором наивероятнейшее число появленийсобытия равно 20.155. Чему равна вероятность р наступления событияв каждом из 49 независимых испытаний, если наивероятнейшее число наступлений события в этих испытанияхравно 30?48Р е ш е н и е . По условию, л = 49, ^о==30. Воспользуемся двойным неравенством пр—д<к^ < пр-\-р. Подставляя данные задачи,получим систему неравенств для определения неизвестной вероятности р:49р + р > 30, 49р—(1 —р) < 30.Из первого неравенства системы найдем р > 0,6.
Из второго неравенства системы найдем р < 0 , 6 2 .Итак, искомая вероятность должна удовлетворять двойному неравенству 0,6 < р < 0,62.156. Чему равна вероятность р наступления событияв каждом из 39 независимых испытаний, если наивероятнейшее число наступлений события в этих испытанияхравно 25?157. Батарея произвела шесть выстрелов по объекту.Вероятность попадания в объект при одном выстрелеравна 0,3. Найти: а) наивероятнейшее число попаданий;б) вероятность наивероятнейшего числа попаданий; в) вероятность того, что объект будет разрушен, если дляэтого достаточно хотя бы двух попаданий.Р е ш е н и е .
По условию, л = 6; р = 0,3; ^ = 0,7. а) Найдемнаивероятнейшее число попаданий по формулел р — ^ < ^ o < пр + р.Подставив данные задачи, получим6.0,3—0,7<Ло < 6.0,3 + 0,3 или 1 . К * о < 2,ЬОтсюда ко = 2.б) Найдем вероятность наивероятнейшего числа попаданий поформуле БернуллиP e ( 2 ) - C 5 p V = ^ 0 .
3 a . 0 , 7 * = 0,324.в) Найдем вероятность того, что объект будет разрушен. Поусловию, для этого достаточно, чтобы было или 2, или 3, или 4, или5, или 6 попаданий. Эти события несовместны, поэтому вероятностьразрушения объекта равна сумме вероятностей этих событий:Р = Рв(2) + Яа(3) + Яв(4) + Рв(5) + Рв(6).Однако проще сначала найти вероятность Q противоположного события (ни одного попадания или одно попадание):Q = Pe(0) + Pe(l) = (7e + Cip^* = 0,7e + 6.0,3.0,7^=0.42.Искомая вероятность того, что объект будет разрушен,Р = 1—(2 = 1—0,42 = 0,58.158.
Прибор СОСТОИТ из пяти независимо работающихэлементов. Вероятность отказа элемента в момент включения прибора равна 0,2. Найти: а) наивероятнейшее49число отказавших элементов; б) вероятность наивероятнейшего числа отказавших элементов; в) вероятность отказа прибора, если для этого достаточно, чтобы отказалихотя бы четыре элемента.§ 5.
Производящая функцияВ предыдущих параграфах этой главы рассматривались испытания с о д и н а к о в ы м и вероятностями появления события; рассмотрим испытания, в которых вероятности появления события р а з личны.Пусть производится п независимых испытаний, причем в первомиспытании вероятность появления события А равна pi, во втором —Ptt ...» в п-м испытании—р„; вероятности непоявления события Асоответственно равны fli, (/2» --м^л; Ря (*)~вероятность появлениясобытия А ъ п испытаниях ровно к раз.Производящей функцией вероятностей Рп {к) называют функопределяемую равенством4>п (2) = (Piz + qi) {pzz + <72)..
ЛРпг + qnhВероятность Pn(k) того, что в л независимых испытаниях, в первом из которых вероятность появления события А равна Pi, во втором раИ т. д., событие А появится ровно k раз, равна коэффициентупри г^ в разложении производящей функции по степеням г. Например, если п=^2, тоФ2 (г) = (piZ + qi) {ргг + ^2) == PiP^z^ + (Pi<72 + Р^Ях) г + gi<7«.Здесь коэффициент рхРг при г' равен вероятности Р% (2) того,что событие А появится ровно два раза в двух испытаниях; коэффициент Pi<72+P2^i при z^ равен вероятности Р%{\) того, что событие А появится ровно один раз; коэффициент при 2^, т. е.
свободныйчлен q\q^ равен вероятности Р% (0) того, что событие А не появитсяни одного раза.Заметим, что если в различных испытаниях появляются р а з л и ч н ы е события (в первом испытании событие Лх» во втором —событие At и т. д.), то изменяется лишь истолкование коэффициентов при различных степенях z. Например, в приведенном выше разложении коэффициент р\р% определяет вероятность появления двухсобытий Ах и i4a.159. Устройство состоит из трёх независимо работающих элементов. Вероятности безотказной работы элементов (за время t) соответственно равны: pi=:0,7; р, = 0,8;р, = 0,9.
Найти вероятности того, что за время i будутработать безотказно: а) все элементы; б) два элемента;в) один элемент; г) ни один из элементов.Р е ш е н и е . Вероятности безотказной работы элементов соответственно равны: p i = 0 , 7 ; Pi==0,8; P8==0f9» поэтому вероятноститого, что элементы откажут, <7i=0»3; ^2 ==0,2; 1/3=0,1.50Окггавим производящую функцию:Ч>8 (г) = (Р£г + Яг) (Р%г + q^) {р^г + q^) =»=:(0,7г+0,3) (0,82+0,2) (0,9г+0,1)=«= 0,504z»+0,3982» + 0,092z + 0,006.а) Вероятность того, что три элемента будут работать безотказно,равна коэффициенту при z»: Рз(3) = 0,504.б) Вероятность того, что два элемента будут работать безотказно, равна коэффициенту при z*: Ps (2) = 0,398.в) Вероятность того, что один элемент будет работать безотказно,равна коэффициенту при г^: Рз(1) =0,092.г) Вероятность того, что ни один из элементов не будет работатьбезотказно, равна свободному члену: РзСО) =0,006.К о н т р о л ь : 0,504 + 0 , 3 9 8 + 0 , 0 9 2 + 0 , 0 0 6 = 1 .160.
Из двух Орудий произведен залп по цели. Вероятность попадания в цель для первого орудия равна0,8, для второго—0,9. Найти вероятности следующихсобытий: а) два попадания в цель; б) одно попадание;в) ни одного попадания; г) не менее одного попадания..161. Из трех орудий произведен залп по цели. Вероятность попадания в цель для первого орудия равна0,8, для второго—0,85, для третьего—0,9.
Найти вероятности следующих событий: а) три попадания в цель;б) два попадания; в) одно попадание; г) ни одного попадания; д) хотя бы одно попадание.162. Четыре элемента вычислительного устройства работают независимо. Вероятность отказа первого элементаза время / равна 0,2, второго—0,25, третьего—0,3, четвертого—0,4.
Найти вероятность того, что за время tоткажут: а) 4 элемента; б) 3 элемента; в) 2 элемента;г) 1 элемент; д) ни один элемент; е) не более двух элементов.163. Две батареи по 3 орудия каждая производятзалп по цели. Цель будет поражена, если каждая избатарей даст не менее двух попаданий. Вероятности попадания в цель орудиями первой батареи равны 0,4; 0,5;0,6, второй—0,5; 0,6; 0,7.
Найти вероятность пораженияцели при одном залпе из двух батарей.Часть втораяСЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫГлава четвертаиДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ§ 1 . Закон распределения вероятностейдискретной случайной величины.Законы биномиальный и ПуассонаДш:/ср^тяо£2 называют случайную величину, возможные значениякоторой есть отдельные изолированные числа (т. е. между двумясоседними возможными значениями нет возможных значений), которые эта величина принимает с определенными вероятностями. Другими словами, возможные значения дискретной случайной величиныможно перенумеровать. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным (в последнем случае множество всех возможных значений называют счетным).Законом распределения дискретной случайной величины называютперечень ее возможных значений и соответствующих им вероятностей.Закон распределения дискретной случайной величины X может быть,задан в виде таблицы, первая строка которой содержит возможныезначения х/, а вторая—вероятности р/:XпХхх%»• •Xfiр рх Ра .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
