1629215821-cc57de1771f9fcf148c7b78f76a4ecbb (845956), страница 8
Текст из файла (страница 8)
+ Р„(Л~1);Pn(k)+Pnif^+l) + ^.' + Pnin)\P«(0) + P„(l) + . . . + P „ W .ПО. Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть две партии из четырех37или три партии из шести (ничьи во внимание не принимаются)?Р е ш е н и е . Играют равносильные шахматисты, поэтому вероятность выигрыша р = 1/2; следовательно, вероятность проигрыша qтакже равна 1/2. Так как во всех партиях вероятность выигрышапостоянна и безразлично, в какой последовательности будут выиграны партии, то применима формула Бернулли.Найдем вероятность того, что две партии из четырех будутвыиграны:р^ (2) = C ! P V = 4.3/(1.2).(1/2)2.(1/2)2 = 6/16.Найдем вероятность того, что будут выиграны три партии изшести:Ре ( 3 ) = C j / 7 V ==65.4/(1 23).(1/2)3.(1/2)5=5/16.Так как Р^ (2) > Pg (3), то вероятнее выиграть две партии изчетырех, чем три из шести.111.
Два равносильных противника играют в шахматы.Что вероятнее: а) выиграть одну партию из двух или двепартии из четырех? б) выиграть не менее двух партийиз четырех или не менее трех партий из пяти? Ничьиво внимание не принимаются.112. Монету бросают пять раз. Найти вероятностьтого, что «герб» выпадет: а) менее двух раз; б) не менеедвух раз.ИЗ. а) Найти вероятность того, что событие А появится не менее трех раз в четырех независимых испытаниях, если вероятность появления события А в одномиспытании равна 0,4;б) событие В появится в случае, если событие А наступит не менее четырех раз.
Найти вероятность наступления события 5 , если будет произведено пять независимых испытаний, в каждом из которых вероятностьпоявления события А равна 0,8.114. Устройство состоит из трех независимо работающих основных элементов. Устройство отказывает, еслиоткажет хотя бы один элемент. Вероятность отказа каждого элемента за время t равна 0,1. Найти вероятностьбезотказной работы устройства за время t, если: а) работают только основные элементы; б) включен один резервный элемент; в) включены два резервных элемента.Предполагается, что резервные элементы работают втом же режиме, что и основные, вероятность отказакаждого резервного элемента также равна 0,1 и устройство отказывает, если работает менее трех элементов.38115.
В семье пять детей. Найти вероятность того,что среди этих детей: а) два мальчика; б) не более двухмальчиков; в) более двух мальчиков; г) не менее двухи не более трех мальчиков. Вероятность рождения мальчика принять равной 0,51.116. Отрезок АВ разделен точкой С в отношении 2:1.На этот отрезок наудачу брошены четыре точки. Найтивероятность того, что две из них окажутся левее точкиС и две—правее. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезкаи не зависит от его расположения.117.
На отрезок АВ длины а наудачу брошено пятьточек. Найти вероятность того, что две точки будутнаходиться от точки А на расстоянии, меньшем д:, атри — на расстоянии, большем х. Предполагается, чтовероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.118. Отрезок разделен на четыре равные части. Наотрезок наудачу 6pouieHo восемь точек. Найти вероятность того, «iTo на каждую из четырех частей отрезкапопадет по две точки. Предполагается, что вероятностьпопадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.§ 2. Локальная и интегральная тооремы ЛапласаЛокальная теорема JTanjiaca.
Вероятность того, что в п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появлениясобытия равна р(0 < р < \), событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), приближенно равна (темточнее, чем больше п)V npqЗдесьу 2пУ npqТаблица функции q>(x) для положительных значений х приведена в приложении 1; для отрицательных значений х пользуютсяэтой же таблицей [функция ц>(х) четная, следовательно, ф( — х) =Интегральная теорема Лапласа.
Вероятность того, что в пнезависимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р{0 < р < \), событие наступит не менее kiраз и не более ^2 Р^^» приближенно равнаP{kx\ ^ 2 ) = - Ф ( Л ~ Ф ( Л .39ЗдесьXФ(х)^-;^\е-^'^^^><1г— функция Лапласа,х' =^{ki—np)/yiipq, хГ = (kt—np)l Vnpq'.Таблица функции Лапласа для положительных значений х{0<< х < 5 ) приведена в приложении 2; для значений х> Ъ полагаютФ(:г)а=0,5. Для отрицательных значений х используют эту же таблицу» учитывая, что функция Лапласа нечетная [Ф(—х)^—Ф(^)]-119.
Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 70 раз в 243 испытаниях, если вероятностьпоявления этого события в каждом испытании равна 0,25.Р е ш е н и е . По условию, п=243; ^=70; р=0,25; ^=0,75.Так как /i»2i3—достаточно большое число, воспользуемся локальной теоремой Лапласа:Р„(Л)=—7="4>Wtynpqгде X = (к—пр)/ Vnpq.Найдем значение х:^k-^np ^ 70—2430,25 ^ ^>25 _ ^ ^уyiipq1^243.0,25 0,75^,75По таблице приложения 1 найдем ф (1,37) =0,1561.
Искомаявероятность^14» (70) = 1/6,75.0,1561 =0,0231.120. Найти вероятность того, что собьп^ие А наступит14(Ю раз в 24(Ю испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,6.Р е ш е н и е . Так как п велико, воспользуемся локальноА теоремой Лапласа:Рпкк)^.—ynqpV{x).Вычислим х:^^А:-/у^ 1400—24000,6^y/^qК24000.6.0.440^24 ~^ ^^' 'Функция ф (х)=—р= е"'*/^—четная, поэтому ф (—1,67)=ф (1,67).К2яПо таблице приложения 1 найдем ф( 1,67)=0.0989.Искомая вероятностьPt40« (1400) = 1/24 0.0989 ==0,0041.121.
Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 1СЮвыстрелах мишень будет поражена ровно 75 раз.40122. Вероятность рождения мальчика равна 0,51.Найти вероятность того, что среди 100 новорожденныхокажется 50 мальчиков.123.
Монета брошена 2N раз {N велико!). Найти вероятность того, что «герб» выпадет ровно N раз.124. Монета брошена 2N раз. Найти вероятность того,что «герб» выпадет на 2т раз больше, чем надпись.125. Вероятность появления события в каждом из 100независимых испытаний постоянна и равна /7 = 0,8.
Найтивероятность того, что себытие появится: а) не менее 75 рази не более 90 раз; б) не менее 75 раз; в) не более 74 раз.Р е ш е н и е . Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:где Ф(д:)—функция Лапласа,х' = (kx^np)! yitpq,х" == (kz — np)/ Vnpq.а) По условию, л = 100; р = 0 , 8 ; ^ = 0 , 2 ; ^ i = 7 5 ; ^2=^0• Вычислим х' и х'':h^np_75-^100.0,8X =^—=г=—>== — 1 , ^ 5 ;VnpqY 100 0,8.0,2^ . ^ k^—np^90~>100.0,8 ^ ^ ^Vnpq/"100.0,8.0.2Учитывая, что функция Лапласа нечетна, т. е. Ф (—х) = —Ф (А:)»получимPioo(75; 9 0 ) = Ф ( 2 , 5 ) ~ Ф ( ~ 1 , 2 5 ) = Ф ( 2 , 5 ) + Ф(1,25).По таблице приложения 2 найдем:Ф (2,5) =0,4938; Ф (1,25) = 0,3944.Искомая вероятностьPioo(75; 90) = 0 , 4 9 3 8 + 0,3944 = 0,8882.б) Требование, чтобы событие появилось не менее 75 раз, означает, что число появлений события может быть равно 75 либо 76, ...,либо 100.
Таким образом, в рассматриваемом случае следует принять ^1 = 75, ^2=100. Тогда^,^k^-np^7 5 - 1 0 0 0 , 8 _ _ _ ^ 25Vnpq/100-0,8.0,2' '„_kz—np_100—-1000,8g^ ~ Y'npq "" /"1000,8.0,2 ~По таблице приложения 2 найдем Ф (1,25) =0,3944; Ф(5) = 0,5.Искомая вероятностьРюо (75; 100) = Ф (5)—Ф (— 1,25) = Ф (5) + Ф (1,25) == 0,5 + 0,3944 = 0,8944.в) События—«Л появилось не менее 75 раз» и «Л появилосьне более 74 раз» противоположны, поэтому сумма вероятностей этих41событий равна единице.
Следовательно, искомая вероятностьPioo (0; 74) = 1 —Ploo (75; 100) = 1—0,8944 =0,1056.126. Вероятность появления события в каждом из 2100независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятностьтого, что событие появится: а) не менее 1470 и не более1500 раз; б) не менее 1470 раз; в) не более 1469 раз.127.
Вероятность появления события в каждом из 21независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятностьтого, что событие появится в большинстве испытаний.128. Монета брошена 2N раз (N велико!). Найти вероятность того, что число выпадений «герба» будет заключено между числами Л^—Y2NI2 и Л^ + К277/2.129. Вероятность появления события в каждом изнезависимых испытаний равна 0,8. Сколько нужно произвести испытаний, чтобы с вероятностью 0,9 можно былоожидать, что событие появится не менее 75 раз?Р е ш е н и е .
По условию, р=0,8; ^ = 0,2; ^i = 75; Агг — л;р„ = (75, п)=0,9.Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:P„(At; п ) = Ф ( * ' ) - Ф ( ж ' ) = Ф [ - | ; ^ ] - Ф [ - ^ ^ ]•Подставляя данные задачи, получимL V я 0,8 0,2 JL >^п0,8 0,2 JилиОчевидно, число испытаний п > 75, поэтому У^12 > V^75/2 с^£55^4,33. Поскольку функци^^ Лапласа — возрастающая и Ф(А) с±0,Ъ,то можно положить Ф(У^я/2) = 0,5. Следовательно,0.9=0.5-Ф r i E n O ^ l .Таким образом,L 0,4}ГпJПо таблице приложения 2 найдем Ф( 1,28) = 0,4. Отсюда и изсоотношения (•), учитывая, что функция Лапласа нечетная, получим(75—0.8/1)/(0,4 У'И) =» — 1,28.Решив это уравнение, как квадратное относительно У1Г, получим l/'/irsrIO.
Следовательно, искомое число испытаний л =100.130. Вероятность появления положительного результата в каждом из п опытов равна О^Э. Сколько нужно42произвести опытов, чтобы с вероятностью 0,98 можнобыло ожидать, что не менее 150 опытов дадзгг положиоезультат?тельный результат?§ 3. Отклонение относительной частотыот постоянной вероятности в независимых испытанияхОценка отклонения относительной частоты от постоянной вероятности. Вероятность того, что в п независивсых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (О < р < 1),абсолютная величина отклонения относительной частоты появлениясобытия от вероятности появления события не превысит положительного числа 8, приближенно равна удвоенной функции Лапласапри х=!^вУ^п/рд:p(|i_,|«.)=2«,(./X).131.
Вероятность появления события в каждом из 625независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятностьтого, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине неболее чем на 0,04.Р е ш е н и е .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
