1629215821-cc57de1771f9fcf148c7b78f76a4ecbb (845956), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Доказать^ что наблюдаемое значение критерияКочрена не изменится, если все исправленные дисперсии умножить на одно и то же постоянное число.602. По пяти независимым выборкам одинаковогообъема п==37, извлеченным из нормальных генеральныхсовокупностей, найдены «исправленные» средние квадратические отклонения: 0,00021; 0,00035; 0,00038; 0,00062;0,00084.Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу об однородности дисперсий.У к а з а н и е .
Умножить предварительно все средние квадратические отклонения на 10*.603. Четыре фасовочных автомата настроены на отвешивание одного и того же веса. На каждом автоматеотвесили по 10 проб, а затем эти же пробы взвесили паточных весах и нашли по полученным отклонениям исправленные дисперсии: 0,012; 0,021; 0,025; 0,032: а) можноли при уровне значимости 0,05 считать, что автоматыобеспечивают одинаковую точность взвешивания? б) оценить генеральную дисперсию.Предполагается, что отклонения зарегистрированноговеса от требуемого распределены нормально.604. Каждая из трех лабораторий произвела анализ10 проб сплава для определения процентного содержанияуглерода, причем исправленные выборочные дисперсииоказались равными 0,045; 0,062; 0,093: а) требуется приуровне значимости 0,01 проверить гипотезу об однородности дисперсий; б) оценить генеральную дисперсию.Предполагается, что процентное содержание углеродав сплаве распределено нормально.605.
Проверяется устойчивость (отсутствие разладки)работы станка по величине контролируемого размера236изделий. С этой целью каждые 30 мин отбирали пробуиз 20 изделий; всего взяли 15 проб. В итоге измеренияотобранных изделий были вычислены исправленные дисперсии (их значения приведены в табл. 11).Т а б л и ц а 11НомерпробыИсправленнаядисперсияI23450,0820,0940,1620,1430.121Номерпробы6781910Исправлемиая 1 Номердисперсияпробы0,1090,1210,0940,1560,11011111211314Исправленнаядисперсияi ^^0,1120,1090,1100,1560,1641Можно ли при уровне значимости 0,05 считать, чтостанок работает устойчиво (разладка не произошла)?Предполагается, что контролируемый размер изделийраспределен нормально.У к а з а н и е . Используя таблицулинейную интерполяцию.приложения 8, выполшиь§ 11.
Сравнение двух вероятностейбиномиальных распределенийПусть в двух генеральных совокупностях производятся независимые испытания: в результате каждого испытания событие А можетпоявиться в первой совокупности с неизвестной вероятностью PJ, аво второй—с неизвестной вероятностью р*- По выборкам, извлеченным из первой и второй совокупностей, найдены соответственныечастоты:Wi{A)=milni\i W2{A) = m2/n2,где mi, т2 — числа появлений события А\ Пх, «2 — количества испытаний.В качестве оценок неизвестных вероятностей примем относительные частоты: pi с^ w^ и Рг ^^ ^2- Требуется при заданном уровнезначимости а проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, чтовероятности pi и Рг равны между собой: Я©: P i = P 2 - Другими словами, требуется установить, значимо или незначимо различаютсяотносительные частоты Wi и w^Предполагается, что выборки имеют достаточно большой объем.Правило 1.
Для того чтобы при заданном уровне значимости апроверить нулевую гипотезу HQI p | = p 2 = p о равенстве вероятностей появления события в двух генеральных совокупностях (имеющихбиномиальные распределения) при конкурирующей гипотезе Н^: р^фр^,237надо вычислить наблюдаемое значение критерия^11абл =mx/tii — /П2/Л2mi+m2 I ^ mx-\-ni2\ / J, 1_\/Л1+Л2 \/11+^2 / \ Л 1Пг )и по таблице функции Лапласа найти критическую точку i/^p поравенству ф(|/цр) = (1—а)/2.
Если | б^набл I < "кр—^^^ основанийотвергнуть нулевую гипотезу. Если |^/набд1>^кр—нулевую гипотезу отвергают.Правило 2. При конкурирующей гипотезе Я^: pi > р% находяткритическую точку правосторонней критической области по равенству ф(//^р) = (1—2а)/2. Если £/пабл < "кр—'^^''^ оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если б^иабл > "кр—нулевую гипотезу отвергают.Правило 3. При конкурирующей гипотезе Hyi Pt < Рг находяткритическую точку (/^р ^^ правилу 2, а затем полагают границулевосторонней критической области </кр== — «кр» Если (/набл >—^кр—нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.
Если £/пабл <—<^кр —нулевую гипотезу отвергают.вое. За смену отказали 15 элементов устройства / ,состоящего из 800 элементов и 25 элементов устройства 2,состоящего из 1000 элементов. При уровне значимостиа ==0,05 проверить нулевую гипотезу Н^: Pi = P2=Pо равенстве вероятностей отказа элементов обоих устройствпри конкурирующей гипотезе Я^: РгФРгР е ш е н и е . По условию, конкурирующая гипотеза имеет видР\ 9^ Pt* поэтому критическая область двусторонняя. Найдем наблюдаемое значение критерия:1/набд =/»|М|~-/П2//1аVПг-^П^\П1+П2^J\ ПхП2 JПодставив mi = 15, n i = 8 0 0 , m2=25, П2 = 1000, получим (/„абл == —0.89.Найдем критическую точку по равенствуф (акр) = (1—а)/2 = (1—0,05)/2= 0,475.По таблице функции Лапласа (см.
приложение 2) находим«кр = Ь96. Так как | (У|,абл1 < "кр—нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Другими словами, вероятности отказа элемента обоихустройств различаются незначимо.607. В партии из 500 деталей, изготовленных первымстанком-автоматом, оказалось 60 нестандартных; из 600 деталей второго станка 42 нестандартных. При уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу//фГ Pt = P2^Pо равенстве вероятностей изготовления нестандартнойдетали обоими станками при конкурирующей гипотезеffi' РхФР^^238608. Для оценки качества изделий, изготовленныхдвумя заводами, взяты выборки «i = 200 и/Zo = 300 изделий.
В этих выборках оказалось соответственно /71^ = 20и та = 15 бракованных изделий. При уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу HQI р^=р^==ро равенстве вероятностей изготовления бракованного изделия обоими заводами при конкурирующей гипотезеУ к а з а н и е . Построить правостороннюю критическую область.609. Из 100 выстрелов по цели каждым из двух орудий зарегистрировано соответственно mj^= 12 и т^=8 промахов.
При уровне значимости 0,05 проверить нулевуюгипотезу HQI PI= Р2 = Р О равенстве вероятностей промахаобоих орудий при конкурирующей гипотезе Hii РхФРг§ 12. Проверка гипотезы о значимостивыборочного коэффициента корреляцииПусть двумерная генеральная совокупность (X, Y) распределенанормально. Из этой совокупности извлечена выборка объема п и поней найден выборочный коэффициент корреляции Гд ?б 0. Требуетсяпроверить нулевую гипотезу Я©- Г г = 0 о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции.Если нулевая гипотеза принимается, то это означает, что X nYнекоррелированы; в противном случае — коррелированы.Правило.
Для того чтобы при уровне значимости а проверитьнулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции нормальной двумерной случайной величины при конкурирующей гипотезе Hii г^ Ф О, надо вычислить наблюдаемое значение критерияи по таблице критических точек распределения Стьюдента, позаданному уровню значимости а и числу степеней свободы ^ = л—2найти критическую точку i^p (о^'» ^) двусторонней критическойобласти.
Если | Гнабл I < ^кр — ^^^ оснований отвергнуть нулевуюгипотезу. Если | Г„абл I > ^кр — нулевую гипотезу отвергают.610. По выборке объема /г = 1 0 0 , извлеченной из двумерной нормальной генеральной совокупности (X, F),найден выборочный коэффициент корреляции Гв=0,2.Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции при конкурирующей гипотезе Я1:Гг=й=0.Р е ш е н и е . Найдем наблюдаемое (эмпирическое) значениекритерия:Л,абл = '^вК?Г=:2/К1 —rS = 0,2V^100—2/Vl-~0,2« = 2.02.239По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид Гг 9^ О, поэтому критическая область—двусторонняя.По таблице критических точек распределения Стьюдента(см. приложение 6), по уровню значимости а = 0,05, помещенномув верхней строке таблицы, и числу степеней свободы k = n—2 == 100—2 — 98 находим критическую точку двусторонней критической области /кр(0,05; 9 8 ) = 1,99.Так как Гцабл > ^кр — отвергаем нулевую гипотезу о равенственулю генерального коэффициента корреляции.
Другими словами,коэффициент корреляции значимо отличается от нуля; следовательно,X \\ Y коррелированы.611. По выборке объема /г = 62, извлеченной из нормальной двумерной генеральной совокупности (X, Y),найден выборочный коэффициент корреляции Гв==0,3.Требуется при уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции при конкурирующей гипотезе Я^гг^^т^О.612. По выборке объема п = 120, извлеченной из нормальной двумерной генеральной совокупности (X, F),найден выборочный коэффициент корреляции Гв = 0,4.Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевуюгипотезу о равенстве нулю генерального коэффициентакорреляции при конкурирующей гипотезе H^i г^=^0.613. По выборке объема п = 100, извлеченной из двумерной нормальной генеральной совокупности (X, У),составлена корреляционная табл. 12.Т а б л и ц а 12Xу1 *^1 '^1 20354515575«JC11 3035'^У—6——851———6 12——5405—50——287—17———47 181952198гг-:100•6525—579—'Требуется: а) найти выборочный коэффициент корреляции; б) при уровне значимости 0,05 проверить нулевую240гипотезу о равенстве генерального коэффициента корреляции нулю при конкурирующей гипотезе Я,; ГгФО.Решение,ным вариантама) Для упрощения вычислений перейдем к условгде Ci и Сг — ложные нули (в качестве ложного нуля выгодновзять варианту, расположенную примерно в середине вариационногоряда; в данном случае принимаем Ci = 25> С2 = 55); hi — Uf + i — м/,т.
е. разность между двумя соседними вариантами (шаг); Аз = 1'/+1—У/.Практически корреляционную таблицу в условных вариантахсоставляют так: в первой строке вместо ложного нуля Ci---^2S пишут нуль; слева от нуля пишут последовательно — I , — 2 , — 3 ,а справа от нуля записывают 1, 2, 3. Аналогично, в первом столбцевместо ложного нуля С2 = 55 записывают нуль; над нулем пишутпоследовательно — 1 , — 2 , — 3 , а под нулем I, 2, 3. Частоты переписывают из корреляционной таблицы в первоначальных вариантах. В итоге получают корреляционную табл. 13.Т а б л и ц а 13иV-2-31"^~|012————6—2i 5—1—62———80-——5405— '5011 ——-287~-172———-47819"и57952198/1-=1001Воспользуемся формулой для вычисления выборочного коэффициента корреляции в условных вариантах:^в = ( S «яг/^У — л1/у)/(лада^).Вычислив входящие в эту «^юрмулу величины w, и, а„, а^ методом произведений или непосредственным расчетом, получим:и = - . 0 , 0 3 ; 1' = 0,35; а д = 1,153; а^,= 1,062.Пользуясь расчетной таблицей (см.
задачу 535, табл. 7), найдем2/z,^^at/ = 99.Следовательно, выборочный коэффициент корреляции«па^о^"^100.1.153.1,062—"'»*^-б) Проверим нулевую гипотезу о равенстве нулю генеральногокоэффициента корреляции.241Вычислим наблюдаемое значение критерия:}/^7Г^* набл — '0,817-У^100--2/"1--0,8172КГ г1: 14.03.По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид г^ Ф О, поэтомукритическая область — двусторонняя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
