1629215821-cc57de1771f9fcf148c7b78f76a4ecbb (845956), страница 39
Текст из файла (страница 39)
е. при a = ai), положив JC = WKP WV^)^o/Vn220UKvi<y/V^)+ao'-aiolVn^^**^ах —арolVn 'Таким образом,^=^'кр-^^. где Х = (а,--ао) V^/<yПри t/ > WKP—^ нулевая гипотеза отвергается, поэтому мощность рассматриваемого критерия при a — ai равна1 ^ Р = . Р ( С / > а к р — М = 1 ~ Я ( ( / < I/KP—М == 1 —1Я(—00 <и <0)+Р(0<и < г/кр —Я) == 1~10,5+Ф(акр~М]=0.5-Ф(1гкр—X).Каждому значению ai соответствует определенное значение мощности, поэтому мощность критерия есть функция от ai\ обозначимее через Л1 (oi).Итак искомая мощность правостороннего критерияjii(a,) = O,5~0(wKp-—^)»где Ф(д:) —функция Лапласа, A, = (ai—До) V^/cf, ^кр находят из равенства Ф (Ыкр) = (1—2«)/23) Убедимся, что увеличение объема выборки влечет увеличение мощности критерия. Действительно, из соотношения к == (^1—UQ) V^li/o видно, что увеличение объема выборки приводитк увеличению величины к, а значит к уменьшению величины аргумента WKD—к и тем самым к уменьшению значения функции Лапласаф(Икр — А,) (Ф(х) — возрастающая функция) и, следовательно, кувеличению мощности 1—Р=0,5—Ф (^кр—^)4) Убедимся, что увеличение уровня значимости а влечет увеличение мощности критерия.
Действительно, из соотношения0(WKP) = (1—2а)/2 видно, что увеличение а приводит к уменьшению «кр, а значит к уменьшению величины аргумента и^р—Я и витоге к увеличению мощности 1—р=0,5—Ф ("кр—к).б) По выборке объема п = 16, извлеченной из нормальной генеральной совокупности с известным среднимквадратическим отклонением а = 4, при уровне значимости 0,05 проверяется нулевая гипотеза Н^: а==а^ = 2о равенстве генеральной средней а гипотетическому значению ао = 2 при конкурирующей гипотезе Н^: а > 2.Требуется: 1) найти мощность правостороннего критерияпроверки рассматриваемой гипотезы для гипотетическогозначения генеральной средней а = «1 = 3, 2) найти объемвыборки n^j при котором мощность критерия равна 0,6.Р е ш е н и е . 1) Используем формулу1—Р = 0,5—Ф(«кр—^).(•)По правилу 2 найдем критическую точку правосторонней критической области WKP = 1,65.Вычислим А,, учитывая, что, по условию, ai = 3, а© = 2 , п = 1б,а = 4:__A, = (ai —ао) }/*п/а = (3—2) |/'l6/4 = l.Подставив 1/,(р = 1,65 и Х = 1 в формулу (•), получим1—р = 0 , 5 — Ф (1,65 —1) = 0 , 5 — Ф (0.65),221По таблице функции Лапласа (см.
приложение 2) находим Ф (0,65)== 0,2422. Искомая мощность 1—Э =0,5—0,2422=0,2578.2) Для отыскания снового» объема выборки /ti, при котороммощность критерия равна 0,6, найдем «новое» значение параметра X(обозначим его через Х^) из соотношения 0,6=0,5—Ф(1,65—Xi).ОтсюдаФ(Х1 —1,65) = 0 , 1 .По таблице функции Лапласа (см. приложение 2) находим Xi —— 1,65=0,253. Следовательно, Xi=J,903.Учитывая, 4ToX|=(ai—а©) ^^/ti/o, причем, по условию, a i = 3 ,аф=2, о = 4, получим 1,903 = (3—2) V ^ / 4 . Отсюда искомый объемвыборки /ii = 58.в) По выборке объема п = 9, извлеченной из нормальной генеральной совокупности с известным среднимквадратическим отклонением а = 4, при уровне значимости 0,05 проверяется нулевая гипотеза HQI а = а^=15о равенстве генеральной средней а гипотетическому значению ао==15 при конкурирующей гипотезе а > 15.
Требуется: 1) найти мощность правостороннего критериядля гипотетического значения генеральной средней а == а^=17; 2) найти объем выборки п^, при котором мощность критерия равна 0,8.577. а) По выборке объема п, извлеченной из нормальной генеральной совокупности с известным среднимквадратическим отклонением а, найдена выборочнаясредняя X. При уровне значимости а требуется найтифункцию мощности критерия проверки нулевой гипотезы HQI а = а^ о равенстве генеральной средней а гипотетическому значению а^ при конкурирующей гипотезеР е ш е н и е . Конкурирующая гипотеза имеет вид а Ф а^^ поэтому критическая область—двусторонняя.
Используя правило 1,найдем критическую точку Ккр из равенства Ф(|/кр)==(^—а)/2.Следовательно, двусторонняя критическая область определяетсянеравенством \V \> £/кр, УЛЛ\^ подробнееI о/ К л IНайдем мощность рассматриваемого критерия, т. е. вероятностьпопадания критерия в критическую область при допущении, чтосправедлива конкурирующая^гипотеза а^^а^Ф а^\' - ' - " ( f ^ h "-'•-'")•Преобразуем выражение, стоящее под знаком модуля:222где 6 =r=r,A,= -i—7п= . Используя эти соотношения,получим1 ~ Р = Р ( | 6 + Х | > t/Kp)=P Ф+К > « к р ) + Р ( ^ + ^ < ~ - « к р ) = Р (6 > и^^^К) + Р (6 < -~«кр-Я.) == [1-Ф(«кр-М] + Ф(-"кр->') = 1-Ф(«кр->^)-Ф("кр+^).Таким образом, мощность двустороннего критерия при a = aiравна1 - р = 1~-[Ф("кр->^) + Ф("кр+>^)],где X = (ai —До) >^^/^Каждому значению ai соответствует определенное значение мощности, поэтому мощность критерия есть функция от ai; обозначимее через Я2 (fli).Итак, искомая мощность двустороннего критерияЯ2 (ai) = 1 — [Ф (WKP —>-)+ Ф («КР + А.)],где Ф(х)—функция Лапласа, X = (ai-—а©) J^AZ/O, «кр находят из равенства Ф (г/кр) == (1 —а)/2.б) По выборке объема п = 1 6 , извлеченной из нормальной генеральной совокупности с известным среднимквадратическим отклонением а = 5, при уровне значимости 0,05 проверяется нулевая гипотеза.
HQI а = а^ = 20о равенстве генеральной средней а гипотетическому значению ао = 20 при конкурирующей гипотезе Я^: а =5*^20.Найти мощность двустороннего критерия проверки рассматриваемой гипотезы для гипотетического значениягенеральной средней ai = 24.Р е ш е н и е . Используем формулу1^^==1--[Ф(и^^^Х)+Ф(и^^+ к)1По правилу 1 найдем критическую точку t/Kp = l,96.Вычислим X, учитывая, что, по условию, ai = 24,л = 16, а==5:X = (ai—ао) »^п/а = (24—20) |/'Тб/5 = 3.2.(•)ао==20,Подставив «кр==1»9б и >i=3,2 в формулу (*), получим1—р = 1—[Ф (1.96—3,2) + Ф (1,96+3,2)] = 1 + Ф (1,24)—Ф (5,16).По таблице функции Лапласа (см. приложение 2) находимФ(1, 24)=0,3925, Ф(5,16) = 0,5.
Искомая мощность 1—в==1 ++ 0,3925—0,5 = 0.8925.в) По выборке объема n = 36, извлеченной из нормальной генеральной совокупности с известным среднимквадратическим отклонением о = 6, при уровне значимости 0,01 проверяется нулевая гипотеза Н^: а = а^,=«15223при конкурирующей гипотезе Н^: афа^. Найти мощность двустороннего критерия проверки рассматриваемойгипотезы для гипотетического значения генеральнойсредней a = a i = 1 2 .578. а) По выборочной медиане X при уровне значимости а проверяется нулевая гипотеза Н^\ а^а^ о равенстве генеральной средней а гипотетическому значению «о при конкурирующей гипотезе ЯхГ афа^.
Найтифункцию мощности Яз (а^) рассматриваемого двустороннего критерия.У к а з а н и е . При больших значениях объема выборки выборочная медиана X распределена приближенно нормально с математическим ожиданием М (X) и средним квадратическим отклонениемб) По выборке объема п = 50, извлеченной из нормальной генеральной совокупности с известным среднимквадратическим отклонением а ==5, при уровне значимости 0,05 проверяется нулевая гипотеза Н^^: а = ао=18 оравенстве генеральной средней а гипотетическому значению По = 1 8 при конкурирующей гипотезе Н^: аф\Ъ.Сравнить мощности двусторонних критериев п^(а^) и^8 (^i) при «1 = 20. Можно ли предвидеть результат сравнения мощностей, не производя вычислений?Б. Дисперсия генеральной совокупности неизвестна.
Если дисперсия генеральной совокупности неизвестна (например, в случаемалых выборок), то в качестве критерия проверки нулевой гипотезыпринимают случайную величинуГ = (Х-ао)VniS,^^-.f^n,x'i^[^niXiYlnгде S = T / =^-—jисправленное среднее квадратическое отклонение. Величина Т имеет распределение Стьюдента сk = n—1 степенями свободы.Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости апроверить нулевую гипотезу HQI а=^а^ О равенстве неизвестной генеральной средней а (нормальной совокупности с неизвестной дисПерсией) гипотетическому значению а^ при конкурирующей гипотезе Hi: а Ф ао, надо вычислить наблюдаемое значение критерияи по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости а, помещенному в верхней строке таблицы, и числу степеней свободы k=n—1 найти критическую точку'двуст. кр v^9 ^)-224Если I Т'набд I </двуст.
кр — ^^f^ оснований отвергнуть нулевуюгипотезу. Если \ Г„абл I > ^двусг. кр — нулевую гипотезу отвергают.Правило 2. При конкурирующей гипотезе Н^: а > OQ по уровнюзначимости а, помещенному в нижней строке таблицы приложения 6, и числу степеней свободы к = п—1 находят критическуюточку /правост. кр (ot» ^) правосторонней критической области.
EarnТ'набл < ^правост. кр — ^^^^ оснований отвергнуть нулевую гипотезу.Если Гцабл > ^правост. кр—нулевую гипотезу отвергают.Правило 3. При конкурирующей гипотезе Hi. а < OQ сначаланаходят «вспомогательную» критическую точку (по правилу 2)^правост. кр (cti ^) ^ полагают границу левосторонней критическойоэласти ^ICBOCT. кр=—^правост. кр* Если Тнабл ^—^правост. кр нетоснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если Тцабл < —^правост. кр —нулевую гипотезу отвергают.579. а) По выборке объема /г = 1 6 , извлеченной изнормальной генеральной совокупности, найдены выборочная средняя J C = 1 1 8 , 2 H «исправленное» среднее квадратическое отклонение s = 3,6. Требуется при уровнезначимости 0,05 проверить нулевую гипотезу Н^: а =^^^ ^ 0 = 1 2 0 при конкурирующей гипотезе Н^: а=7^120.Р е ш е н и е. Найдем наблюдаехмое значение критерия_(х^ао)/ п(118,2—120) Т^Тб _ ^/|.аблзТб--^'По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид а Ф а©, поэтомукритическая область — двусторонняя.По таблице критических точек распределения Стьюдента (см.приложение 6), по уровню значимости а = 0 , 0 5 , помещенномув верхней строке таблицы, и по числу степеней свободы /?=л—1 ==г= 1 6 — 1 = 1 5 находим критическую точку ^двуст.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
