1629215821-cc57de1771f9fcf148c7b78f76a4ecbb (845956), страница 38
Текст из файла (страница 38)
По уровню значимости0,05 и числу степеней свободы к=^п^т—2=12-|-18— 2 = 28 находим по таблице приложения 6 критическую точку /двуст кр (0»05; 28) == 2,05.Так как Т'набл > ^двуст.кр — нулевую гипотезу о равенстве средних отвергаем. Другими словами, выборочные средние различаютсязначимо.571. По двум независимым малым выборкам, объемыкоторых м = 1 0 и т==8, извлеченным из нормальныхгенеральных совокупностей, найдены выборочные средние:jc= 142,3, у== 145,3 и исправленные дисперсии: s \ = 2,7и 5у = 3,2.
При уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу Н^\ Л1(Х)==Л1(К) при конкурирующей гипотезе Я^:М{Х)фМ{у).У к а з а н и е . Предварительно проверить равенство дисперсий,используя критерий Фишера—Снедекора.216572. Из двух партий изделий, изготовленных на двуходинаково настроенных станках, извлечены малые выборки, объемы которых /г = 1 0 и т = 1 2 . Получены следующие результаты:контролируемыйразмеризделий первого станка х^ 3,4 3,5 3,7 3,9частота (число изделий) п^ 234 1контролируемыйразмеризделий второго станка у,- 3,2 3,4 3,6частотат,.
228Требуется при уровне значимости 0,02 проверить гипотезу HQ. М {X) = М (У) о равенстве средних размеровизделий при конкурирующей гипотезе Я^: М {Х)ФМ (У).Предполагается, что случайные величины X я У распределены нормально.Р е ш е н и е . По формуламнайдем выборочные средние: х = 3 , 6 , у =^3,5.Для упрощения вычислений исправленных дисперсий перейдемк условным вариантам Ui=lOxi—36,vi=\Oyi—35.По формуалам2Su =^niu]—[^niUiY/n—7^2и^Sv-=п— 1miv]—[^miVi]^/m-;—jт— Iнайдем 5и = 2,б7 и 5^ = 2,55. Следовательно,s^ =5^/102 = 2,67/100 = 0,0267, s'r = s'J/l 0^ = 2,55/100 = 0,0255.Таким образом, исправленные дисперсии различны; рас^сматриваемый в этом параграфе критерий предполагает, что генеральныедисперсии одинаковы, поэтому надо сравнить дисперсии, используякритерий Фишера—Снедекора.
Сделаем это, ариняв в качестве конкурирующей гипотезы Hii D{X) Ф £>(К) (см. § 2, правило 2).Найдем наблюдаемое значение критерия: /"набл^0,0267/0,0255 == 1,05. По таблице приложения 7 находим Fyg^^(^fi\\ 9; 11) = 4,63.Так как /^набл < ^кр—дисперсии различаются незначимо и, следовательно, можно считать, что допущение о равенстве генеральныхдисперсий выполняется.Сравним средние, для чего вычислим наблюдаемое значениет(п+т—2)критерия Стьюдента:K(n-l)sjc+(m-l)s^'^"+'"Подставив в эту формулу числовые значения входящих в нее величин, получим 7'„абл=1»45.По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид М {X) Ф М (У),поэтому критическая область—двусторонняя. По уровню значимости2170,02 и числу степеней свободы Л = л + т — 2 = 1 0 + 1 2 — 2 = 2 0 находимпо таблице приложения 6 критическую точку ^двуст.кр (0,02; 20) =Так как Тдабл < (двуст.кр—нет оснований отвергнуть гипотезуо равенстве средних.
Таким образом, средние размеры изделий существенно не различаются.573. На уровне значимости 0,05 требуется проверитьнулевую гипотезу Н^: M{X) = M{Y) о равенстве генеральных средних нормальных совокупностей X м Y приконкурирующей гипотезе Н^: М (X) > М (К) по малымнезависимым выборкам, объемы которых /г==10ит==16.Получены следующие результаты:Xi 12,3 12,5 12,8 13,0 13,5; у^ 12,2 12,3 13,0п,.12421т,. 682У к а з а н и е .
Предварительно проверить нулевую гипотезу Я©:D (X)=^D {Y) о равенстве генеральных дисперсий при конкурирующей гипотезе Hi\ D (X) > D (Y) (см. § 2).§ 6. Сравнение выборочной среднейс гипотетической генеральнойсредней нормальной совокупностиА. Дисперсия генералькой совокупности известна. Правило 1*Для того чтобы при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу HQ: а = ао о равенстве генеральной средней а нормальной совокупности с известной дисперсией о^ гипотетическому (предполагаемому) значению OQ при конкурируюи^ей гипотезе Нх- а Ф а^,надо вычислить наблюдаемое значение критерия__ (x~flo) У"п^ набл"Zи по таблице функции Лапласа найти критическую точку м^р ^^У'сторонней критической области из равенстваФ("кр) = (1--а)/2.Если I ^набл I < "кр — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если I ^набл I > "кр — нулевую гипотезу отвергают.Правило 2.
при конкурирующей гипотезе Н^: а > OQ критическуюточку правосторонней критической области находят из равенстваФ("кр) = ( 1 ~ 2 а ) / 2 .Если б^набл < ^кр — ^^^ оснований отвергнуть нулевую гипотезу.Если L/набл > "кр—нулевую гипотезу отвергают.Правило 3. При конкурирующей гипотезе Hii а < OQ сначаланаходят вспомогательную критическую точку «кр f^o правилу 2, азатем полагают границу левосторонней критической области«кр = — ^кр-Если С^набл > — " к р — « ^ ^ оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если t/набд <—"кр—«f/^^^i/'^ гипотезу отвергают.218Мощность критерия проверки нулевой гипотезы Н^: а=ао о равенстве генеральной средней гипотетическому значению GQ п р ии з в е с т н о м с р е д н е м к в а д р а т и ч е е ком о т к л о н е н и и анаходят в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.При конкурирующей гипотезе Hti а > OQ ДЛЯ гипотетическогозначения генеральной средней a = ai > ао мощность правостороннегокритерия1 —р = 0 , 5 ~ Ф ( U K P — M .(•)где «кр находят из равенства Ф(«кр) = (1—2а)/2, X = (ai—ао)У^К/а.При различных значениях ai функция мощности одностороннегокритерияПг ( a i ) = 0 , 5 — O (i/кр—МПри конкурирующей гипотезе Hi.
а Ф а^ для гипотетическогозначения генеральной средней a = ai мощность двустороннего критерия1 - р = 1-[Ф(|г^р-Я)+Ф(а«р+Л.)],(••)где t/кр находят из равенства <t>(u^^) = {\—а)/2, X = (ai—а©) V^li/o.При различных значениях а^ функция мощности двустороннего критерияД1(а1) = 1 - [ Ф ( 1 / к р - ^ ) + Ф ( " к р + Я . ) ] .В формулах (•) и (4(«)Xф(х)=I e'^^^^^dz—функция Лапласа.574.
Из нормальной генеральной совокупности с известным средним квадратическим отклонением а = 5,2извлечена выборка объема п = 1 0 0 и по ней найденавыборочная средняя х = 27,56. Требуется при уровнезначимости 0,05 проверить нулевую гипотезу Я©: а == ао = 26 при конкурирующей гипотезе Я^: аф2Ь.Р е ш е н и е . Найдем наблюдаемое значение критерия:^набл = (^~ао)- / л / а + ( 2 7 , 5 6 — 2 6 ) . / 1 0 0 / 5 , 2 = 3.По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид а Ф ад, поэтому критическая область—двусторонняя.Найдем критическую точку из равенстваФ("кр) = (1—а)/2 = (1—0,05)/2 = 0,475.По таблице функции Лапласа (см. приложение 2) находим г/кр = 1,96.Так как (/набл > "кр — нулевую гипотезу отвергаем.
Другимисловами, выборочная и гипотетическая генеральная средние различаются значимо.575. а) Из нормальной генеральной совокупностис известным средним квадратическим отклонением а = 40извлечена выборка объема п = 64 и по ней найдена выборочная средняя л: =136,5. Требуется при уровне зна219чимости 0,01 проверить нулевую гипотезу HQ. а = ао == 130 при конкурирующей гипотезе Н^: а =7^ 130.б) Решить эту задачу при конкурирующей гипотезеН^: а> 130.в) Установлено, что средний вес таблетки лекарствасильного действия должен быть равен ао = 0,50 мг. Выборочная проверка 121 таблетки полученной партии лекарства показала, что средний вес таблетки этой партиих = 0,53 мг.
Требуется при уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу Я^: а = ао = 0,50 при конкурирующей гипотезе Н^: а > 0,50. Многократными предварительными опытами по взвешиванию таблеток, поставляемых фармацевтическим заводом, было установлено, что вестаблеток распределен нормально со средним квадратическим отклонением а = 0,11 мг.576. а) По выборке объема п, извлеченной из нормальной генеральной совокупности с известным средним квадратическим отклонением о, найдена выборочная средняяX.
При уровне значимости а требуется: 1) найти критическую область, если проверяется нулевая гипотеза Н^:а = ао о равенстве генеральной средней а гипотетическомузначению а^ при конкурирующей гипотезе Н^: а > QQ]2) найти функцию мощности рассматриваемого критерия,приняв в качестве аргумента гипотетическое значениегенеральной средней a = a i ( a i > a o ) ; 3) убедиться, чтоувеличение объема выборки влечет увеличение мощностикритерия; 4) убедиться, что увеличение уровня значимости влечет увеличение мощности критерия.Р е ш е н и е .
1) Конкурирующая гипотеза имеет вид а > GQ»поэтому критическая область—правосторонняя. Используя правило 2»найдем критическую точку ^кр из равенства Ф(«^р)=(1—2а)/2. Следовательно, правосторонняя критическая область определяется неравенством и > «кр, или подробнее7==" > "кр- Отсюдаа УпПри этих значениях выборочной средней нулевая гипотеза отвергаетсяг в этом смысле х = «кр {^1 V^«) + ao можно рассматривать каккритическое значение выборочной средней.2) Для того чтобы вычислить мощность рассматриваемого критерия, предварительно найдем его значение при условии справедливостиконкурирующей гипотезы (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
