1629215821-cc57de1771f9fcf148c7b78f76a4ecbb (845956), страница 40
Текст из файла (страница 40)
кр (0»^5; 15) = 2,13.Так как | Т'пабл I < ^двуст. кр—нет основании отвергнуть нулевуюгипотезу. Другими словами, выборочная средняя jf= 118,2 незначимо отличается от гипотетической генеральной средней ао = 120.а) Решить эту задачу, приняв в качестве конкурирующей гипотезы Н{. а < а о = 1 2 0 .580. Проектный контролируемый размер изде^1ий,изготовляемых станком-автоматом, а = а^ = ЪЬ мм. Измерения 20 случайно отобранных изделий дали следующиерезультаты:контролируемый размер .v,- 34,8 34,9 35,0 35,1 35,3частота (число изделий) п^- 23465Требуется при уровне значимости 0,05 проверитьнулевую гипотезу Н^\ a = aQ = 35 при конкурирующейгипотезе Н^: аф35.225Решение.Найдем средний размер изделий выборки:^ _ ^ / 1 / л г / ^ 2 .
3 4 , 8 Н - 3 . 3 4 , 9 + 4 » 3 5 , 0 + в ' 3 5 , 1 4 - 5 - 3 5 , 3 _ д д ^^"^п20•- » •Найдем исправленную дисперсию. Для упрощения расчета перейдем к условным вариантам «/=10х/—351. В итоге получим распределение:„.Л/—32— 2 — 1 034 625Найдем исправленную дисперсию условных вариант3 I ] ^ / ^ ? - [ 2 ] n / t / / ] V n 54->[->61^/20 _ _ , , , ,^«==TTTi=Г92'^^^Следовательно, исправленная дисперсияпервоначальныхвариант«Х =2,747/102 =0.027.Отсюда «исправленное» среднее квадратическое отклонение sjf «== /0Т027 = 0,16.Найдем наблюдаемое значение критерия:^_ ( 7 - f l o ) / 7 i _ (35,07-35,0) / 2 0 _ , Q .^набл—О^Тб'По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид а Ф QQ, поэтомукритическая область—двусторонняя. По таблице критических точекраспределения Стьюдента (см. приложение 6), по уровню значимости а«=0,05, помещеннохму в верхней строке таблицы, и по числустепенен свободы k = n—1=20—1 = 19 находим критическую точку^двуст.
кр (0»^5; 19) =«2,09. Так как Гнабл < ^двуст. кр — нет основанийотвергнуть нулевую гипотезу. Другими словами, станок обеспечивает проектный размер изделий.§ 7. Сравнение двух средних нормальныхгенеральных совокупностейс неизвестными дисперсиями (зависимые выборки}Пусть генеральные совокупности X и Y распределены нормально, причем их дисперсии неизвестны. Из этих совокупностейизвлечены зависимые выборки одинакового объема /г, варианты которых соответственно равны Х(И ^/.Введем следующие обозначения:dj^=»Xi—yi — разности вариант с одинаковыми номерами,d = « 2 Д^/М—средняя разностей вариант с одинаковыми номерами,Srf=« 1 / ^i^^—=!«исправленное» среднее квадратическое отклонение.Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости апроверить нулевую гипотезу HQI М (Х) = М (Y) о равенстве двухсредних нормальных совокупностей X и Y с неизвестными дисперсиями (в случае зависимых выборок одинакового объема) при конку*рирующей гипотезе Нх\ М{Х) Ф М(У), надо вычислить наблюдаемое226значение критерия:и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по за*данному уровню значимости а, помещенному в верхней строке таблицы, и числу степеней свободы k = n—1 найти критическую точку^двуст.
кр Са; ^)' ^сли I Т„абл I < ^двуст. кр—нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если |Гнабл1 > ^двуст. кр—нулевую гипотезуотвергают.581. Двумя приборами в одном и том же порядкеизмерены шесть деталей и получены следующие результаты измерений (в сотых долях миллиметра):-^1 = 2, л:а = 3, л:з = 5, Х4==6, д:5 = 8, л:в=10;i/i=10, f/2 = 3, £/з==6, 1/4 = 1, 1/5 = 7, |/в=4.При уровне значимости 0,05 установить, значимо илинезначимо различаются результаты измерений, в предположении, что они распределены нормально.Р е ш е н и е . Найдем разности di=Xi—t//;вычитая из чиселпервой строки числа второй, получим:d i = — 8 , с/2 = 0, ^з = —I. ^4 = 5, d^=l, de = 6.Найдем выборочную среднюю, учитывая, что 2jdi^3:d =«= 3/6-0,5."Найдем «исправленное» среднее квадратическое отклонение s^,учитывая, что ^di = \27 и ^ ^ / д = 3 :Найдем наблюдаемое значение критерия:Гнабл-^- }^л/5^ = 0,5.
|/'67V^25J=0,24.По таблице критических точек распределения Стьюдента (см. приложение 6), по уровню значимости 0,05, помещенному в верхнейстроке таблицы, и числу степеней свободы k = n—1=6—1=5находим критическую точку /двуст. кр (0»05; 5) = 2,57.Так как Гцабл < ^двуст.
кр — и^т оснований отвергнуть нулевуюгипотезу. Другими словами; средние результаты измерений различаются незначимо.582. На двух аналитических весах, в одном и том жепорядке, взвешены 10 проб химического вещества и получены следующие результаты взвешиваний (в мг):Xf 25 30 28 50 20 40 32 36 42 38У1 28 31 26 52 24 36 33 35 45 40При уровне значимости 0,01 установить, значимо илинезначимо различаются результаты взвешиваний, в предположении, что они распределены нормально.227583.
Физическая подготовка 9 спортсменов была проверена при поступлении в спортивную школу, а затемпосле недели тренировок. Итоги проверки в баллах оказались следующими (в первой строке указано число баллов, полученных каждым спортсменом при поступлениив школу; во второй строке — после обучения):Xi 76 71 57 49 70 69 26 65 59У1 81 85 52 52 70 63 33 83 62Требуется при уровне значимости 0,05 установить,значимо или незначимо улучшилась физическая подготовка спортсменов, в предположении, что число балловраспределено нормально.584. Химическая лаборатория произвела в одном итом же порядке анализ 8 проб двумя методами.Получены следующие результаты (в первой строкеуказано содержание некоторого вещества в процентахв каждой пробе, определенное первым методом; во второй строке—вторым методом):Xf 15 20 16 22 24 14 18 20у^ 15 22 14 25 29 16 20 24Требуется при уровне значимости 0,05 установить, значимо или незначимо различаются средние результатыанализов, в предположении, что они распределены нормально.585.
Две лаборатории одним и тем же методом, водном и том же порядке, определяли содержание углерода в 13 пробах нелегированной стали. Получены следующие результаты анализов (в первой строке указано содержание углерода в процентах в каждой пробе, полученное первой лабораторией; во второй строке — второй лабораторией):xi 0,18У: 0,160,120,090,12 0,08 0,08 0,12 0,190,08 0,05 0,13 0,10 0,14х^ 0,22 0,34 0,14 0,46У: 0,24 0,28 0,11 0,420,320,300,270,31Требуется при уровне значимости 0,05 установить,значимо или незначимо различаются средние результатыанализа в предложении, что они распределены нормально.228§ 8. Сравнение наблюдаемой относительной частотыс гипотетической вероятностью появления событияПусть по достаточно большому числу п независимых испытаний,в каждом из которых вероятность р появления события постоянна,по неизвестна, найдена относительная частота т,п. Требуется призаданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что неизвестная вероятность р равна гипотетическойвероятности роПравило 1.
Для того чтобы при заданном уровне значимостиа проверить нулевую гипотезу Н^: р^=р^ о равенстве неизвестнойвероятности р гипотетической вероятности Ро 'Ф'^ конкурирующейгипотезе Hi. р Ф Ро» надо вычислить наблюдаемое значение критерия___\(mln)—pQ]VnV РоЯои по таблице функции Лапласа найти критическую точку «кр "^равенстваФ(«кр)-(1—а)/2.Если |6'нзбл1<"кр — ^^'^ оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если I (Уиабл I > "кр — нулевую гипотезу отвергают.Правило 2. При конкурирующей гипотезе Hi. р > р^^ находяткритическую точку правосторонней критической области из равенстваФ(«кр) = ( 1 - 2 а ) / 2 .Если (/цабл < ^кр — «^'^^ оснований отвергнуть нулевую гипотезу.Если 6/„абл > "кр — нулевую гипотезу отвергают.Правило 3.
При конкурирующей гипотезе Hi: р < р^^ находятсначала ^вспомогательнуюу^ критическую точку и^^^ по правилу 2, азатем полагают границулевосторонней критической областиWhp — — "кр- Если 6/„абл > — " к р — «^^ оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если 6/набл <—"кр — нулевую гипотезу отвергают.3 а м е ч а н и е. Удовлетворительные результаты обеспечиваетвыполнение неравенства np^q^ > 9.586. По 100 независимым испытаниям найдена относительная частота т/м = 0,14. При уровне значимости0,05 требуется проверить нулевую гипотезу Я©: р = Ро^-^0,20 при конкурирующей гипотезе Hi', р =5^0,20.Р е ш е н и е .
Найдем наблюдаемое значение критерия, учитывая,что до ^ 1 —Ро = 1 —0,20 = 0,80:_ ( m / n ~ P o ) . V^n ( 0 , 1 4 - 0 , 2 0 ) . УШ) _^ иабл —гУР^ЯЬ—г—"~" * »^*V^0,20.0,80По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид р Ф ро» поэтому критическая область — двусторонняя. Найдем критическуюточку w^p по равенствуф(м^р) = (1~.а)/2=-(1-~0,05)/2 = 0,475.По таблице функции Лапласа (см. приложение 2) находим229Так как |1^набл1<^кр—нет оснований отвергнуть нулевуюгипотезу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
