1629215821-cc57de1771f9fcf148c7b78f76a4ecbb (845956), страница 41

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 41)

Другими словами, наблюдаемая относительная частота 0,14незначимо отличается от гипотетической вероятности 0,20.587. Решить задачу 586 при конкурирующей гипо­тезе Н{: р < РоР е ш е н и е . По условию, конкурирующая гипотеза имеет видр < ро. поэтому критическая область—левосторонняя. Найдем сна­чала «вспомогательную» точку — границу правосторонней критиче­ской области из равенства (правило 2)ф(и^р)=:(1—2а)/2 = (1—2.0,05)72 = 0,45.По таблице функции Лапласа находим £/кр=Ьб45. Следовательно,граница левосторонней критической области щ^^ = —1,645.Так как б^пабл > "кр — нет оснований отвергнуть нулевую ги­потезу (правило 3).588. Партия изделий принимается, если вероятностьтого, что изделие окажется бракованным, не превышает0,02.

Среди случайно отобранных 480 изделий оказалось12 дефектных. Можно ли принять партию?Р е ш е н и е . Нулевая гипотеза HQ имеет вид р = р^ = 0,02.Найдем относительную частоту брака:т / л =12/480 = 0,025.Примем в качестве конкурирующей гипотезыи уровень значимости а = 0 , 0 5 .Найдем наблюдаемое значение критерия:Nilр > 0,02^(т/п^Ро)^ Уа^(0,025—0,02). 1^480^ ^^"''^'' VPi^o1/*0,02.0,98По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид р > Ро, поэтомукритическая область — правосторонняя. Найдем критическую точку i/^pправосторонней критической области из равенства (правило 2)ф («кр) =(1'—2.0,05)/2=0,45.По таблице функции Лапласа (см. приложение 2) находим«к р = 1,645.Так как ^«абл < "кр—и^т оснований отвергнуть гипотезу о том,что вероятность брака в партии не превышает 0,02. Таким образом,партию можно принять.589.

Партия изделий принимается, если вероятностьтого, что изделие окажется бракованным, не превышает0,03. Среди случайно отобранных 400 изделий оказалось18 бракованных. Можно ли принять партию?У к а з а н и е . Принять нулевую гипотезу Но' р ==Ро=0,03,а в качестве конкурирующей Hii р > 0,03; уровень значимостиа=0,05.230590.

Завод рассылает рекламные каталоги возможнымзаказчикам. Как показал опыт, вероятность того, чтоорганизация, получиви1ая каталог, закажет, рекламируе­мое изделие, равна 0,08. Завод разослал 1000 каталоговновой улучшенной формы и получил 100 заказов. Можноли считать, что новая форма рекламы оказалась значимоэффективнее первой?У к а з а н и е . Принять нулевую гипотезу Яо: р = Ро=^»08,а в качестве конкурирующей Н^\ р > 0,08; уровень значимостиа = 0,05,591. В результате длительных наблюдений установ­лено, что вероятность полного выздоровления больного,принимавшего лекарство Л, равна 0,8.

Новое лекарство Вназначено 800 больным, причем 660 из них полностьювыздоровели. Можно ли считать новое лекарство значимоэффективнее лекарства А на пятипроцентном уровне зна­чимости?У к а з а н и е . Принять HQI р=:0,8; Н^: р уЬ 0,8.§ 9. Сравнение нескольких дисперсий нормальныхгенеральных совокупностейпо выборкам различного объема.Критерий БартлеттаПусть генеральные совокупности Хх, Лг, . . . , Xi распределенынормально. Из этих совокупностей извлечены независимые выборки,вообще говоря, различных объемов /г/ (некоторые объемы могут бытьодинаковыми; если все выборки имеют одинаковый объем, то пред­почтительнее пользоваться критерием Кочрена, который приведенв следующем параграфе). По выборкам найдены исправленные выбо­рочные дисперсии Si, Sj, . .

. , sj. Требуется при уровне значимости апроверить нулевую гипотезу об однородности дисперсий, т. е. гипо­тезу о равенстве между собой генеральных дисперсий:ЯогD (Хг) = D (А:.,) = . . .= D (Л:,).Введем обозначения: ki = ni—1 —число степеней свободы дисперсии sf;А? = 2^t—суммачисел степеней свободы; s^=l2^i^i )/^—сред-няя арифметическая исправленных дисперсий, взвешенная по числамстепеней свободы;V^ = 2,303 U l g s 2 - 2 ^ / l g s /;231B=V/C—случайнаявеличина (критерий Бартлетта), котораяпри условии справедливости гипотезы об однородности дисперсийраспределена приближенно как х^ с I—1 степенями свободы, еслиобъем каждой выборки Л х ^ 4 .Правило.

Для того чтобы при заданном уровне значимости апроверить нулевую гипотезу об однородности дисперсий нормальныхсовокупностей^ надо вычислить наблюдаемое значение критерия Барт­летта Bnn^ji=^V/C и по таблице критических точек распределения х-,по уровню значимости а и числу степеней свободы I—1 (I—числовыборок) найти критическую точку Хкр (а*. ^—О правостороннейкритической области). Если ^набл < Хкр—нет оснований отвергнутьнулевую гипотезу.

Если В„абл > Хкр—нулевую гипотезу отвергают.З а м е ч а н и е 1. Не следует торопиться вычислять постоян­ную С. Сначала надо найти V и сравнить с Хкр* ^^^^ окажется, чтоV < Хкр. то подавно (так как С > 1) B=^V/C < Хкр и, следовательно,С вычислять не нужно. Если же V > ХКР» ТО надо вычислить С и за­тем сравнить В с ХкрЗ а м е ч а н и е 2. Критерий Бартлетта весьма чувствителенк отклонениям распределений от нормального, поэтому к выводам,полученным по этому критерию, надо относиться осторожно.З а м е ч а н и е 3. При условии однородности дисперсий в ка­честве оценки генеральной дисперсии принимают среднюю арифме­тическую исправленных дисперсий, взвешенную по числам степенейсвободы:_592.

По трем независимым выборкам, объемы которыхn i = 9 , « , = 13 и Пз = 15, извлеченным из нормальныхгенеральных совокупностей, найдены исправленные выбо­рочные дисперсии, соответственно равные 3,2; 3,8 и 6,3.Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевуюгипотезу об однородности дисперсий.Р е ш е н и е . Составим расчетную табл. 10 (столбец 8 пока за­полнять не будем, поскольку еще неизвестно, понадобится ли вы­числять С).Используя расчетную таблицу, найдем:s* = ( 2 ^ | 5 / ) / ^ = ^59,4/34 = 4,688; Ig 12=0,6709;1^ = 2,303 [k IgT-^—2 ^/ ^g «n = 2,303 [34.0,6709—22,1886J = 1,43.По таблице приложения 5, по уровню значимости 0,05 и числустепенен свободы / — 1 = 3 — 1 = 2 находим критическую точкуХкр (0.05; 2) = 6 , 0 .Так как V < Хкр.

то подавно (поскольку С > l)i5„aбл=W^ < Хкри. следовательно, отвергнуть нулевую гипотезу об однородности дис­персий нет оснований. Другими словами, выборочные дисперсииразличаются незначимо.593. По данным задачи 592 требуется оценить гене­ральную дисперсию рассматриваемых генеральных сово­купностей.232Т а б л и ц а 10sf^^?Iffs?3.23,86.325,6 0,5051 4.040845,6 0,5798 6,957688,2 0,7993 11,19024НомервыборкиОбъемвыборкиЧислостепенейсвободыИсправ­ленныедисперсии i1''i^•I2391315812Z114Аг = 34763,1521159,4^Igs?1 S\/k.22,1886Р е ш е н и е . Поскольку в результате решения предыдущей задачиустановлена однородность дисперсий, то в качестве оценки генераль­ной дисперсии примем среднюю арифметическую исправленных дис­персий, взвешенную по числам степеней свободы:D?=:$2 = ( 2 М ) / ^ = 159,4/34 с^ 4,7.594.

Можно ли воспользоваться критерием Бартлеттадля проверки гипотезы об однородности дисперсий повыборкам объема ^1 = 3, п^ = 2, п^=20?595. По четырем независимым выборкам, объемы кото­рых Ml = 17, ^2 = 20, Пз = 15, ^4=^16, извлеченным изнормальных генеральных совокупностей, найдены исправ­ленные выборочные дисперсии, соответственно равные 2,5;3,6; 4,1; 5,8. Требуется: а) при уровне значимости 0,05проверить гипотезу об однородности дисперсий; б) оце­нить генеральную дисперсию.596. Четыре исследователя параллельно определяютпроцентное содержание углерода в сплаве, причем первыйиcCv^eдoвaтeль произвел анализ 25 проб, второй — 33, тре­тий— 29, четвертый — 33 проб. «Исправленные» выбороч­ные средние квадратические отклонения оказались соот­ветственно равными 0,05; 0,07; 0,10; 0,08.Требуется при уровне значимости 0,01 проверить гипо­тезу об однородности дисперсий, в предположении, чтопроцентное содержание углерода в сплаве распределенонормально.У к а з а н и е .

Для упрощения вычислений принять г/ = 100 s/.233597. Сравниваются четыре способа обработки изделий.Лучшим считается тот из; способов, дисперсия контроли­руемого параметра которого меньше. Первым способомобработано 15, вторым — 20, третьим — 20, четвертым —14 изделий. Исправленные выборочные дисперсии s? соот­ветственно равны: 0,00053; 0,00078; 0,00096; 0,00062.Можно ли отдать предпочтение одному из способов, приуровне значимости 0,05? Предполагается, что контроли­руемый параметр распределен нормально.У к а 3 а II и е. Для упрощения вычислений принять r f = 100000s?*598. Требуется сравнить точность обработки изделийна каждом из трех станков. С этой целью на первомстанке было обработано 20, на втором—25, на третьем —26 изделий.

Отклонения X, У и Z контролируемого раз­мера от заданного оказались следуюш.ими (в десятыхдолях мм):отклонения для изделийпервого станка Х/ 2 4 6 8 9частота П/ 5 6 3 2 4отклонения для изделийвторого станка (// 1 2 3 5 7 8 12частота т^ 2 4 4 6 3 5 1отклонения для изделийтретьего станка г^ 2 3 4 7 8 10 14частота р; 3 5 4 6 3 23а) Можно ли считать, что станки обеспечивают оди­наковую точность при уровне значимости 0,05 в предполо­жении, что отклонения распределены нормально?б) Исключив из рассмотрения третий станок (диспер­сия отклонений этого станка — наибольшая), с помощьюкритерия Фишера—Снедекора убедиться, что первый ивторой станки обеспечивают одинаковую точность обра­ботки изделий.§ 10.

Сравнение нескольких дисперсийнормальных генеральных совокупностейпо выборкам одинакового объема.Критерий КочренаПусть генеральные совокупности Xi, Хг, ...» Xi распределенынормально. Из этих совокупностей извлечены / независимых выбо­рок одинакового объема п и по ним найдены исправленные выбороч234ные дисперсии si, S2, ...» s/, все с одинаковым числом степеней сво­боды k = n — I.

Требуется при уровне значимости а проверить нуле­вую гипотезу об однородности дисперсий, т. е. гипотезу о равенствемежду собой генеральных дисперсий:Щ: D (Х|) = D (Х2) = . . . = D (X,).В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем крите­рий Кочрена—отношение максимальной исправленной дисперсиик сумме всех исправленных дисперсий:sl+4+...+syРаспределение этой случайной величины зависит только от числастепеней свободы k=^n—1 и количества выборок 1. Для проверкинулевой гипотезы строят правостороннюю критическую область.Правило.

Для того чтобы при заданном уровне значимости апроверить гипотезу об однородности дисперсий нормально распреде­ленных совокупностей, надо вычислить наблюдаемое значение критерия^набл == Smax/(si + sf + . . . + S?)и по таблице критических точек распределения Кочрена (см. при»ложение8) найти критическую точку G^cp (а; k; /). Если (/„абл < ^кр—'нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если 0„абл > ^кр —нулевую гипотезу отвергают.З а м е ч а н и е . При условии однородности дисперсий независи­мых выборок одинакового объема в качестве оценки генеральнойдисперсии принимают среднюю арифметическую исправленных дис­персий.599. По четырем независимым выборкам одинаковогообъема п = 17, извлеченным из нормальных генеральныхсовокупностей, найдены исправленные выборочные дис­персии: 0,21; 0,25; 0,34; 0,40.Требуется: а) при уровне значимости 0,05 проверитьнулевую гипотезу об однородности дисперсий (критиче­ская область—правосторонняя); б) оценить генеральнуюдисперсию.Р е ш е н и е , а) Найдем наблюдаемое значение критерия Коч­рена—отношение максимальной исправленной дисперсии к суммевсех дисперсий:Онабл=0,40/(0,21+0,25 + 0 , 3 4 + 0 , 4 0 ) = - 1 - .Найдем по таблице критических точек распределения Кочрена(см.

приложение 8) по уровню значимости 0,05, числу степеней сво­боды k = n — 1 = 1 7 — 1 = 1 6 и числу выборок/ = 4 критическую точкуСкр(0,05; 16; 4) =0,4366.Так как С/„абл < ^кр — "^т оснований отвергнуть нулевую гипо­тезу. Другими словами, исправленные выборочные дисперсии раз­личаются незначимо.2356) Поскольку однородность дисперсий установлена, в качествеоценки генеральной дисперсии примем среднюю арифметическуюисправленных дисперсий:Dr = (0,21+0,25 + 0,34 + 0,40)/4=0,3.600. По шести независимым выборкам одинаковогообъема п = 37, извлеченным из нормальных генеральныхсовокупностей, найдены исправленные выборочные дис­персии: 2,34; 2,66; 2,95; 3,65; 3,86; 4,54.Требуется проверить нулевую гипотезу об однород­ности дисперсий: а) при уровне значимости 0,01; б) приуровне значимости 0,05.601.

Характеристики

Список файлов книги