1626435917-d26f9677b92985e7688f24b5e74711ce (844351), страница 64
Текст из файла (страница 64)
е. когда энергия электрона достаточна для возбуждения л-го состояния атома-мишени. Будем рассматривать только такие и, при которых это условие выполнено. По предположению, атом водорода находится в основном состоянии, поэтому функцию Еп(гь) можно представить как с мму волны падающего электрона и волны упруго рассеянного электрона. Все остальные функции Е„(ГА) могут представлять только волны неупруго рассеянных электронов. Следовательно, асимптотнческая форма этих волновых функций такова; Еп — е " + — е и А)п(Ь) (6.11.16) и Еп —,. с 'п)~(б) (н=1, 2, 3 ...).
(6 !! !7) Соотношениями (6.1!.!6) и (6.1!.!7) определяются граничные условия рассеяния. Из соотношения (6.! 1.17) следует, что гп [,(Ь) [~ равно числу электронов в единице объема на расстоянии ГА от атома-мишеьн, которые возбудили атом в и-е состояние. Число электронов, проходящих за 1 сек через единичную площадку, перпендикулярную направлению их движения, ПрОПОрцнаиаЛЬНО Хлса 1),[~. ПОСКОЛЬКУ ЧИСЛО ЭЛЕКтрОНОВ Падающего пучка, пересекающее единичную площадку в 1 сек, пропорционально их волновому числу нп, то дифференциальное НРУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ТЯЖЕЛЫХ ЧАСТИЦ З45 (6. 11.
19) эффективное сечение возбуждения атома из основногосостояния в и-е состояние определяется соотношением 7ал (б)С7[)лла =," ([л(б) [ С)""лла (см. гл. 3, э 14). Отсюда видно, что для получения эффективного сечения возбуждения достаточно знать асимптотическую форму функций г„(гь). Однако функции 1, нельзя точно вычислить, хотя все волновые функции невозбужденного атома водорода точно известны. Поэтому для их вычисления необходимо прибегнуть к приближенным методам.
Одним из наиболее важных и часто применяемых приближении является приближение Бориа, которое справедливо при больших скоростях сталкивающихся частиц. Прежде чем подробно говорить о приближении Бориа, перепишем уравнение (6.!1.!3), чтобы оно имело более подходящий вид и вместе с тем яснее показывало, что точное решение для эффективного сечения получить нельзя. При этом введем матрицу, описывающую взаимодействие электронов с ядром и орбитальными электронами атома мишени. Эта матрица состоит из элементов = )' ц*„(г ) ( и — — ) и,„(г,) дг, где штрих показывает, что член с т==л исключаемся из суммирования. Теперь ясно, что для получения асимптотической формы волновых функций Ел(г„) нужно решить систему бесконечного числа дифференциальных уравнений. Очевидно, приходится воспользоваться приближенными методами, суть которых заключается в том, чтобы оставить только наиболее важные элементы матрицы и приравнять все другие к нулю.
г. Эффективное сечение возбуждения в первом приближении Бориа '). Основным предположением в приближении Бориа является то, что взаимодействие между налетающей частицей и мишенью мало. Точнее говоря, допускается следующее. 1) Падающая волна не искажается при взаимодействии, так что пучок электронов можно представить в виде невозмущенной ') Сч. [267[.
Тогда, подставляя выражения (6.1!.10) и (6.1!.19) в уравнение (6.!1.13) и вводя волновое число х„, согласно формуле (6.1136), получаем (П~ + не —.",',ь )е~~) Е~(гь) = ),д'8'$ ~„Е,„(ГА), (6.11.20) ° пв [[ЙМВп ГЛАВА б плоской волны, распространяющейся в направлении единичного вектора пб (обычно совпадающем с выбранным направлением полярной оси координат): Ео(гь) ехр !ябпб г,. Ф(гб, г,) = ехр(гя,п,. г,) и„(г,). (6.11.21) При таких допущениях бесконечная система уравнений (6.11.20) сводится к одному уравнению для возбуждения в и-е состояние.
(у,' + я'„) Ел(гб) =- —;)2 л ехр бя пб г,. (6.11.22) Теперь прн вычислениях для каждого значения л мы имеем дело только с одним матричным элементом )22„— — 'у' б. Нам нуж- но решить уравнение (6.1!.22) при граничных условиях Ел(гб) — — 1„(Ь) ехр бя,пл гб, 1 г Ел (О) =О. (6.11.23) Как показали Мотт и Месси [261], решение уравнения (6.11.22), имеющее асимптотнческую форму, записывается в виде ~лл[а аб! Ел (г) = —; )' ехр (бя,.пб .
гь) )2'ол гагб. (6.11.24) "Асимптотическая форма этого решения такова: Е,(Г) — —,', — 'е'"л'~ ехр[7(ябп — нлп) гб['у'„,й'. (6.11.25) 2) Переход в любое возбужденное состояние происходит как результат прямого перехода из начального состояния, а промежуточные состояния не играют заметной роли. Поскольку процесс не связан с промежуточными состояниями, то мы имеем право положить $',„2=0 при Л2~0, где нуль обозначает начальное состояние.
3) Потенпиальная энергия взаимодействия между рассеянным электроном, который производит возбуждение, и атомом в его конечном л-м состоянии считается малой,так что искажением рассеянной волны можно пренебречь. Поскольку, согласно определению (6.!1.!9), )2„„ является мерой этого взаимодействия, то полагаем у',„=-О. Таким образом, волновую функцию системы можно записать в виде НЕУПРУГИГ СТОЛКНОВЕНИЯ ТЯЖЕЛЫХ ЧАСТИЦ 347 Здесь и — единичный вектор, направленный вдоль г. Таким об- разом, мы окончательно получаем для дифференциального эф- фективного сечении возбуждения выражение Путем повторного применения этого метода получим второе приближение Бориа (см. гл.
3, э !6). Однако эта процедура очень трудоемкая, и поэтому для достижения большей точности вместо того, чтобы переходить к более высоким приближениям Верна, лучше начинать с более точного приближения для волновой функции. Небезынтересно отметить, что нз уравнений, представленных нами, можно получить эффективное сечение также и для упругого рассеяния.
Допустим, что начальное и конечное состояние одно и то же, а промежуточные состояния несущественны. Тогда матричный элемент в уравнении (6.11.25) есть Г = )' и,"(г,) ~ — -- — ) а„(г,)б!г, = (г'), (6. 11. 27) и мы сразу получаем формулу, которая была выведена в гл. 3, э 16. й 12. Общий случай столкновения двух систем Обобщим теперь результаты предыдущего параграфа на случай столкновения любой пары атомарных нли молекулярных частиц„отказавшись прн этом от требования, чтобы одна из частиц оставалась неподвижной в лабораторной системе координат.
Разложим движение полной системы частиц на движение центра масс всей системы, относительное движение центров масс сталкивающихся сложных частнц н движение отдельных элементов каждой составной частицы относительно ее центра масс. Поскольку движение центра масс всей системы несущественно при вьшислении эффективного сечения, его вкладом в полное движение можно пренебречь. В поисках путей обобщения подставим выражение для потенциальной энергии (6.11.3) в волновое уравнение (6.11.7) и разложим волновую функцию, как это было сделано в фор- Тбл(а') «а~лаб, [2л (6)[ б"~лаб ' 2 —,', 1 ~ ехР [1(кбпб — Ялп) ° та[ Гб„б(гл б(1)лаб.
(6.11.26) ГЛАВА Е где Мгее Кр —— (6.12.?) (6.12.3) ге,3 муле (6.1!.10). Тогда, подставляя Е=Ее+ т,чг~/2 и учитывая только член с л=О, получаем с Ь~ 2 и„(г ) 2ш Р~ьЕе(гь) + 2 Ее(гь) + юг Гйз з I езз + Ре(гь) (' — Чг,гй (ге)+ ~Ее+ —,~ ие(ге)~+ + ~ —, —,— ) ие (г,) Ре (г,) ) = О, (6. 12.1) где, как уже было сказано, Е,— полная энергия атома мишени в основном состоянии.
В уравнении (6.!2.!) первый член, за- ключенный в квадратные скобки, очевидно, описывает невозму- щенное движение налетающих электронов, второй член в квад- ратных скобках — внутреннее движение невозмущенной мишени, а последний член — отрицательную энергию взаимодействия ме- жду налетающими частицами. Уравнение для обобщенной за- дачи должно содержать члены, аналогичные каждому из ука- занных трех членов ').
Итак, в обобщенной задаче вышеупомянутый первый член следует заменить членом, описывающим относительное движе- ние двух сложных частиц: '! 2М '+, )Е(г) (6.12.2) Здесь через г обозначены относительные координаты, т. е. пространственные координаты центра масс одной сложной ча- стицы по отношению к другой, ̄— приведенная масса обеих частиц, а о,— их относительная скорость сближения, когда онн еще находятся на большом удалении, т.
е. до начала взаимо- действия. Затем необходимо рассмотреть внутреннее движение каждой из двух сталкивающихся частиц. Оно описывается уравнениями [Нд (г А) — Ед( и (гд) =- О, (Нв(га) — Ев! щ(г,) =О, где Нд и Нв — гамильтонианы двух невозмущенных сложных частиц. Этим уравнениям соответствуют наборы собственных функций и собственных значений 1ие(гд), Ед~ и [щг(гв)Еа1.
Для упрощения записи мы не будем различать эти два набора соб') Кроме того, в згем волновом уравнении должен быть член, сеагвег- сгвующпй двпжевпю пепгра масс всей системы, яо ен может быть опущен пс указанной выгпе причине. Этот член выпал вз абобщенпя простейшей за- дач~, гле центр масс всей системы считается пепедвижпым в лаборвгораей системе координат. нскпрргие столкновения тяжалых чдстиц ственных функций, а будем обозначать каждую пару состояний одним и тем же индексом п. Тогда общая функция двух сложных частиц йв(гд, гв) записывается в виде произведения двух функций и (г ~)о~(гв), а соответствующие собственные значения д д ~ в, е энергии Е„будут выражаться суммой Ел+Ел. Волновая функция й будет удовлетворять уравнению (Нд(г„)+На(га) — Ед-- Еа)~=-.0.
(6.124) Если, наконец, мы обобщим член, описывающий взаимодействие, введя потенциальную энергию )г(г, гд, г„), то получим не зависящее от времени полное волновое уравнение всей системы без учета тривиального движения ее центра масс: йА2 М г,*— н„я! — ~г,й~ ь — ",'"'-;-е,— г и, „.,д~г=о. (6.12.5) Используя тогда метод, о котором говорится в 5 1! настоящей главы, можно показать, что дифференциальное эффективное сечение в системе центра масс для возбуждения всей системы из р-го в д-е состояние в первом приближении Бориа определяется соотношением ? (В) гЮ„„- —— -- 4 ~~~ ~ 1 ~ ~ 1 (г гд га) ехр (1 (крпе кап) г1 Х кр !2 Х 1*,,(гд, гз) 1 (гд, гл) г?гд г(гз г?г ~ сИ„м,, (6.12 6) а о, — начальная скорость сближения сталкивающихся частиц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
