1626435917-d26f9677b92985e7688f24b5e74711ce (844351), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Во втором методе гамильтопиан Н=-Не+аз!1!'Уг стремится к невозмущенному гамильтониану Н, как при 1- — аа, так и при 1- +аа, а при 1=0 задается в виде Н=Н,+)г. В конечном счете параметр е устремляют при вычислении к нулю, и «включенне» производится адиабатически. Конечное состояние Ч'ь(+ аа) связано с начальным состоянием Ч"«( — аа) уравнением (6.10.1) и может быть выражено через оператор 3 соотношением й !!. Возбуждение и ионизация атома водорода электронным ударом Как было указано ранее. о теории процессов, зависящих о1 времени, в этой главе больше упоминаться не будет.
Теперь мы переходим к обсуждению некоторых элементарных аспектовтеории неупругих столкновений, в которой рассматриваются стационарные процессы. С физической точки зрения самой простой задачей, пожалуй, можно считать возбуждение ') атома водорода протонным ударом. Действительно, в этом случае мишень имест наиболее простую структуру из всех атомарных частиц, а налетающая частица может рассматриваться как материальная точка, обладающая массой и зарядом. Кроме того, налетающая '! Т ! ернии «вазбуждение» здесь применяется в шираком смысле слова я охватывает понятие ианизвнии, которая, па существу, предстввляет сабаь возбуждение с перехадам в несвязанные состояния непрерывнага спектРа. неьппугне сзо,1кновения тяжелых члс!нц частица отличается от электрона атома, и поэтому здесь не проявляется эффект электронной симметрии, а возможно только прямое рассеяние (т.
е. нет обмена электронами). Но задача возбуждения атома водорода электронным ударом проще в другом отношении (еслп не учитывать эффекта симметрии и обмена электронами), поскольку в этом случае есть только одна тяжелая частица, а именно ядро атома мишени, Это позволяет полностью пренебречь движением ядра, и если в дальнейшем считать его массу бесконечной, то оно не будет испытывать отдачи при столкновении. Если в дополнение к этому пренебречь спинам электрона, то остается действительно простая в математическом отношении задача, которая тем не менее иллюстрирует основной метод подхода к большому классу задач неупругихстолкновений.
Получив решение этой простейшей задачи, можно далее обобщить его на случаи конечной массы сталкивающихся частиц, сложной структуры частицы, обмена электронами и других столкновений с перераспределением частиц, эффекта симметрии и наличия спина у электрона. Но у читателя ие должно создаваться впечатление, что сформулированные задачи легко решить. Детальные вычисления затруднительны даже для простейших систем, а уравнения, к которым приводит анализ сложных систем, крайне сложны и, может быть, вообще не разрешимы, Здесь мы будем близко следовать изложению Мота и Месси (261). а. Определение сечения возбуждения.
Рассмотрим теперь пучок моноэнергетических электронов, движущихся вдоль оси — д к началу лабораторной системы координат, в котором расположено ядро атома водорода, находящееся, по предположению, в основном состоянии. Интенсивность падающего пучка принимается равной ! электрону в 1 сек на единичную площадку, перпендикулярную направлению движения пучка. Число электронов, рассеиваемых в ! сек на угол Ю в пределах телесного угла дйлна с возбуждением п-го состояния атома мишени, имеет размерность площади и называется дифференциальным сечением возбуждения Та,(б)г)ь! яа (ср.
(!.4.2) и (1.43)1 Полное сечение возбуждения п-го состояния дается выражением б. Разделение временной и пространственной зависимости волновой функции. Поскольку ядро атома мишени значительно тяжелее налетающей частицы и орбитальных электронов, его ГЛАЕА а можно считать неподвижным в процессе столкновения, и по этому в зависящем от времени волновом уравнении дЧ'(гм га, Ь! Г Ь' 2 Л~ ьп ). 2гае е 2»1е а +~ (Гь Га)~Ч'(га, г„, Г) (6,11,2) член, соответствующий кинетической энергии ядра, отсутствует. Здесь пге — масса электрона, а $' — возмущающии потенциал взаимодействия, который зависит от координат электронов пучка гм координат электронов атома г, и межэлектронного рассеяния гь„согласно формуле ее е' е' 11'(гм г,) = — — — — -!- —. ГЕ Га Геа (6.11.8) Поскольку потенциальная энергия не зависит явно от времени, волновую функцию можно представить в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от пространственных координат, а другая только от времени: ЧТ(гм г, Г)=ф(гм га)Ф(Г).
(6.1 1.4) Выражение (6.11.4) дает частное решение, а общее решение можно записать в виде суммы таких частных решений. Подставив правую часть выражения (6.!!.4) в уравнение (6.11.2) и разделив затем правую н левую части на произведение фФ, по- лучим ьй дф ь ! Ле 2 !1е 2 — — — — — П, ф — — Ч, ф+ )1'ь(ь). (6.11.6) (6.11.6) ьде с — произвольная постоянная.
Уравнение для ф представляет собой стационарное волновое уравнение Г12 2 Л 2 — — — — Че +1 (21„Га)ф(ГИ Г,) = Еф(Г„, Га). (6.11 7) Поскольку уравнение (6.11.7) является однородным по Нь, по. стоянную с можно выбрать так, чтобы функция ф была норми- Поскольку левая часть уравнения (6.11.5) зависит только от времени, а правая — только от пространственных координат, обе части уравнения должны быть равны одной и той же постоянной, которую мы обозначим через Е. Интегрируя полученное временнбе уравнение, найдем решение для Ф: Ф(!) = се -ьеььа, ИЕУПЕУ ГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ ТЯЖЕЛЫХ ЧАСТИЦ 343 ров ованиой.
Тогда частное решение зависящего от времени волнового уравнения будет иметь вид Ч'(г,, г,. Г) == Нь(ге„г,) е-ьеььа. (6.1 1.8) в. Вычисление эффективного сечения возбуждения. Разложим теперь волновую функцию ьр(ГУ, г,) по полному набору собственных функций невозмущеиного атома водорода ие(г,) и функций Еа(гу), описывающих налетающие электроны: ф(гм г ) = ! э + ) ) и, (г,) Е, (ге) с— :- В 122 (г,) Ее (г ). (6.11.10) а а Функции и, (г„) удовлетворяют уравнению — — П„'и„— — и„= — Е,п„ (6.11.11) 2аь„"а где Е, — энергия атома водорода, находящегося в невозмущенном л-м состоянии.
В выражении (6.1!.10) мы суммируем по всем состояниям дискретного спектра и интегрируем по всем состояниям сплошного спектра. Поэтому выражение для эффективного сечения, которое мы получим, применимо как к ионизации, так и к возбуждению с переходом в связанные состояния. Подставляя выражение (6.11.10) в уравнение (6.1!.7) и используя (6.11.1! ) получаем В и,(г.) ~- — т2',,+(Š— Еа)~ Ее(ге)=- ~ — „-- — „)Н'(гм г„). (6,11.12) !Нвантовохьеханььческий оператор полной энергии системы имеет аид ьгь(дьд!). Если этот оператор применить к полной волновой функции системы (6.11.8), то получим следующее уравнение: ь'д — =-. ЕЧ'.
(6.1 1.9) ТМ Это уравнение для собственных значений; Ч" -- собственная функция оператора, стоящего в левой части уравнения. а константа Е справа — соответствующее собственное значение. Таким образом, мы видим, что константа Е равна полнойь энергии системы. Можно вычислить величину Е как сумму внутренней энергии атома-мишени в основном состоянии и кинетической 2 энергии падающего электрона Т„аз=-пьеоаь2, когда он находится вдали от мишени.
0 собственных функциях оператора энергии типа Ч' в выражении (6.11.8) говорят, что они представляют стационарные состояния системы, поскольку плотность вероятности Ч'"Ч", связанная с этой волновой функцией, не зависит от времени. ГЛАВА В Умножим обе части этого уравнения на и,(г,) н проинтегрируем по пространственным координатам электрона атома Вследствие ортонормированности волновой функции имеем А' — )Г,, -)- (Š— Е,)~ Е„(гл) = еле = ) ( — — — )~~ (г, г,)ц",(г,)с1г . (6.11.13) Заметим, что правая часть уравнения (6.1!.13) при больших гз стремится к нулю. Поэтому при больших га функция Е„(гь) есть не что иное, как волновая функция свободных электронов с энергией (Š— Е ), удовлетворяющая волновому уравнению ~)),, + — „,' (Š— Е„)~ Е„(г,) = О. (6.11.14) Длина волны, связанная с энергией электрона, составляет Х,=2и)н, где 2ел [Š— Ел) п (6 11.16) Мы видим„что эта длина волны вещественна только прн Е)Е, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
