1626435900-2be340c6a244b99156a9dca9d508df44 (844337), страница 20
Текст из файла (страница 20)
[[2Ь вЂ” 1) 20 (2Ь+ 1) (26 -,'-2) [2Ь+ 3) (2с — 2) (2с — 1) 2с [2с+ 1) (2с т 2)]",» [а Ь с 1» Х 4 [[а+Ь+2На — Ь вЂ” ! ! — [с — 1)(0+с+2) ][(и — 2Ь вЂ” ! )[и — 20)(ь — 2с-!-! ) [ь — 2с+2[]Ч» [2Ь [2Ь+ 1) [2Ь+ 2) (2Ь+ 3) (2Ь+ 4) (2с — 2) [2с — !) 2с»гс+ 1) [2с+ 2)]г* ф 13! коэзеигпзззнты вектоеного сложения моментов 105 аЬс) 2 [ЗХ (Х+ !) — 4Ь(Ь+ 1! с (с ' !)) [(2Ь вЂ” 1)2Ь(2Ь+1)(2Ь+2)(2Ь+З)(2с — 1) 2с (2с+1)(2с-!-2)(2а —;-'(!)1' ' В формулах (13.64) — [13.66) в=а+Ь+с, Х = а [а + 1) — Ь [Ь+ 1) — с [с+! ). (13. 67) [13.68) Приведем также две формулы для %'-коэффициеззтов, которые будут особенно часто встречаться в дальнейшем: а (а+1) +Ь (Ь+ !) — с (а+ !) 2 !' а (а+ 1) (2а+ 1) Ь (Ь+ 1) (2Ь+ 1) (г' [аЬ аЬ; с2) = =( — 1)"" аз-аз-з 2 [ЗС (С вЂ” 1) — 4а (а+ 1) Ь (Ь+ 1)! )' (2а — 1)2а(2а)-Р52а+2)(2а+З)(2Ь вЂ” ! )2Ь(2Ь+1)(2Ь+2)(2Ь+3) ' (13.70) С = а [а+ 1) + Ь[Ь+! ) — с (с+ 1).
[13.71) 5. 9/-символы. Расс!загряз! переход между следугощими двумя схемзмн слозкения четырех моментовз ЛЛ [/ы[! / /. У 1 / (13.72) (13. 73) Этот переход можно осуществить в три приема, меняя каждый раз порядок сложения каких-либо трех моментов: ЛЛ У,.!' ЛЛУ„[/ Л' /. ЛЛУ.,[/'/ -Л' Л, Л/. [/..[/'/-/,/. [/,.К /;Л У.,[./. /з /г /зз1 =)г[2/„+ 1) [2./„+ 1) [2/„+ 1) [2/„+ 1) /, /з /зз 7 з [13.75) В результате [/,/.У.,[ЛЛ У..1 /[/ь/. У,з1, Л/. У,.1/) = =~(ЛЛ [/„[/,./[Л! Л/,.
У'! /)[Л)!„/, [/„1/'[Л! Л/,У„1/') х Х [/,' /,/ы [/1/[/',/, У„[/„/), [13 74) Каждый из коэффициентов преобразования в правой части [13.74) выражается через [зг-коэффициент по формулам [13.43), [13.45). Заменяя в окончательной формуле Ж'-коэффициенты на 6-/ символы, получаем [/зЛ [/зг[' /зЛ Узз)'/[/з/з 1'/зз[' ЛЛ Узз[ /) НЕПРИВОДИМЫЕ ТЕНЗОРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ряют также ряду прзвил сумм. Приведем наиболее простое из этих правил, которое понадобится наи в дальнейшем: )абе ~абе1 (пай(кДЦ~ л (2е + 1) (2г" + !) й 14. Неприводимые теизориые операторы 1.
Сферические теизоры. При вычислении матричных элементов различных операторов целесообразно классифицировать эти операторы по их поведению при повороте системы координат. С этой точки зрения обычное определение тензора в декартовой системе координат неудобно по той причине, что из компонент тензора ранга и ) 2 можно составить ряд линейных комбинаций, которые ведут себя различным образом при вращении системы координат. Естественно возникает необходииость такого определения тензора, при котором все его компоненты и любые линейные комбинации из этих компонент преобразовывались бы при повороте системы координат единым образом.
Такому условию удовлетворяет совокупность (2к + 1) сферических функций: г'„р; д =к, х — 1, ..., — х. Определим поэтому тензор ранга х как такую совокупность (2х + 1) величин, которые при вращении системы координат преобразуются так же, как сферические функции 1'„р. Определенные такии образом тензоры называются сферическими тензорами или неприводимыми тензорами.
В соответствии с этим определением неприводимый тензорный оператор Т„ ранга х представляет собой совокупность (2м + 1) операторов Т„ (14. 1) (14. 3] функции (14.4) (у,т ) =утки Простейшим примером операторов такого типз являются У (Г) ) кр((), 'Р), где у(г) †произвольн функция г. При к = 1 правила коммутации (14.2), (14.3) совпадают лами коммутации для сферических компонент вектора А: А =А,; А„,= — = (А„+)А ); А,=~= — (Ак — )А ), 1 1 Ф к +к 2 к у -л 2 к с прави- (14.5) удовлетворяющих тем же правилам коммутации с угловым моментом системы Р', что и 1'„р. Эти правила коммутации согласно (12.11) имеют вид О ЛКУ Г У УГУ РР КК.Р~) Г..., ~1КК 108 )гл.
щ ю ловые моменты поскольку эти компоненты следующим образом выражаются через сферические функции: 4л~А~ )г 3 3гг 3 !А) )гг 4г =~А~С4г, !146) Аг = ) А ) соа 8 =— Ач.г =- — ( А ) 1' 2 А,=)А) 1' 2 )/ — !А1г,. —,=!А~С Таким образом, сферические компоненты вектора образуют ненриводниый тензорный оператор первого ранга Т„=А,; Т,,=А 1 1 — )ага — ага), 1 — (а;„-+аг; — 2аб14). агг = а,а= След тензора а инвариантен относительно вращения системы координат, поэтому а является неприводимым тензором нулевого ранга Т„= — а. 114.9) Из компонент антисимметричного тензора ага можно построить не- приводимый тензор первого ранга Т„= агю 1 г' 2 !1 4.10) симметричного тензора ага†неприводимый тензор а из компонент второго ранга Т„= амь 114.11) !14.12) / 2 — — 1а,~ ~ага), .Г! Тг, гг= Р' б (а — а„„~2!а„а).
114.18 Рассмотрим также, каким образом выражаются через Тг компоненты тензора второго ранга а; (1, л =-х, у, а). Этот тензор можно представить в виде а;„=аб; +ага+апп 114.8) где 14) ньпгизоднмые ткнзогные опеглтогы 109 Аналогичным образом тензоры более высокого ранга можно разложить на неприводимые тензоры.
В дальнейшем мы будем использовать для компонент неприводимых тензоров одно из двух обозначений Т„или Т". 2. Матричные элементы. Из формулы (13.34) следует, что 7. 7.' к'1 (7.М) У )7 М)=( — 1) Ус Уь м У г(Ож( — 1) (, ). Это соотношение можно получить также непосредственно из правил коммутзции функций У„ с орбитальным моментом Е. Точно таким же образом из правил коммутации Т и 7 можно найти занима симость матричных элементов Т от квантовых чисел ММ'д. В общем случае матричные элементы оператора Т„ определяются выражением у ху~ (ууМ~ Т„)уу'М)=( — 1)'- (уу))тду у),) (14.14) (теорема Эккарта — Вигнера).
Не зависящие от ММ' и д множители (14.15) (уУ))ТДу У) носят название приведенных матричных элементов. Из свойств ортогональности 3/-символов (13.14) следует важное правило сумм )(у.~М) Т„,) у'/ М )) =, )(у.~~) Т„)).1'у')~'. (14.16) мм Правая часть (14.16) не зависит от д, поэтому )<ууМ! Тя)у'у'М'))'=)(уу',)Т„))т'у')~'. (14.17) При решении ряда задач в окончательные формулы входят не сами матричные элементы, а суммы (!4.16), (14,17). Г!оэтому достаточно знать приведенные матричные элементы.
Г!оследние находятся следующим образом: выбирается простейший с точки зрения вычисления матричный элемент (уЛИ! Т„~(у'УМ') и сравнивается с общей формулой (14.14). Например, в случае х=- 1, как правило, наиболее просто вычисляется матричный элемент М= М' = д= О. Из формулы (14.14) в этом случае имеем l 11'~ <ууМ) Т ~ у УМ у ( 1)г-:и(у/Ц Т ))уУ) ( ~ (14 18) (гл. ш УГЛОВЫЕ МОМЕНТЫ При х=О (УЦУ,ЦУ')= ~У вЂ”,бп,, l 21+ 1 ЩСь()У~) )/27+ 1 бн (14.26) (14.27) Поскольку 1 ао (14.28) (14.29) (УЦ!ЦУ)= У'2У -1-1 Ьп .
При х= 1 П У У 1 У' Умах у у 0 0 0 ( ) У (2! + !) (21'-1- 1) ' (14.30) Отметим, что приведенные матричные элементы (уУЦ Т,Цу'У) следующим образом связаны с величинами (уУ( Т,,' у'У), введенными в !К. Ш.|: (у/Ц Т))у3) = У .У (У+ 1) (2У+ 1) (уУ'; Т,1у',У), (уУЦ Т,Цу'У вЂ” 1) = )Уг/(2/ — 1)(2У+ 1) (уУ! Т, .', у'.У вЂ” 1), (уУЦ)Т,Цу У+ !) = = — )У (У+1)(2У-)-1)(2У+3)(у/;: Т, ':у'.7+ 1). Для эрмнтовых операторов Т приведенные матрнчные элементы удовлетворяют соотношению (уУЦТ„Цу У) =( — 1)з У'(у'У~~(ТДуУ) *.
(14.21) 3. Ряд примеров на вычисление приведенных матричных элементов. Начнем с вычисления приведенного матричного элемента сферической функции г'„ . Согласно (14.14) имеем / У хУ''( <У ( у„(У'гл') = ( — 1)' д У„ЦУ') ~,) . (14.22) С другой стороны, формула (!3.34) дает ~ 'т) Г„~Уп ° я!!!)г(!)гор=( — 1) ~ У, У„~уп,„япйг(йгйр= ,„ /(21-1-!] (2н+!) (21'+!) ( х ) ( 4п '(0 0 0 У' (,— т д т'/ ' Сравнивая (14.22), (! 4.23), получаем для случая У+ х+ У = 2д, где д †цел число, (ХЦУ,Ц )=( — ) у + )( ), « .24) УУхУ", 4п ),ооо)' УУ х У') (У))С" ЦУ') = ( — 1)~ 1l (2У+ 1) (27'+ 1) ~ ) . (14.25) ,0 00) 8 14) ИЕПРИВОДИМЫЕ ТЕНЗОРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ где 1м,„— наибольшее из чисел 1, 1'.
Поэтол!у (1(! ) ((Г) = ( — 1) ~/ 4 )/1, Г = 1~ 1, (14.31) (1((С ((Г) = ( — !) ) 1пзвх, 1' = 1~1 (14.32) Для Г+1~1 приведенные матричные элене)!Ты г', и С' равны нулю. Сферические компоненты единичного вектора а следующим образом выражаются через функции п ~// Уы, / 4п "-"= У 3 (14. 33) Поэтому (1((л((Г)=( — 1)'+ )/1,„, Г=1~1. (14.34) При и= 2 отличны от нуля ( ') „.г 1 2 1)) 1 (1+ ! ) ТО 0 О)) ( ) Р' (2!+3)(21+!)(2! — 1) ' 21 2'), " з!(1 — !) 0 0 0 )) У 2 (21 -(- ! ) (21 — ! ) (21 — 3) ' ( 1)к с ! 2 1-, '2)) / зп+!)(!+2) 0 0 0 1) ( )' 2(21+5) (21+3)(2!+!) ' (14.35) (14.36) (14. 37) Отсюда нетрудно получить выражения для приведенных матричных элементов ум С'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
