1626435900-2be340c6a244b99156a9dca9d508df44 (844337), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Например, / 5 / 1(! + 1) (21+ !) (1)()'*()1) = — )) 4п 1) (21+з) (2! !), (14.38) (1((С*((1) = — ~// ! (1+ !) '"+ " . (21 + 3)(2! — !) ' (14.39) (14.40) тогда как общая формула (14.14) дает сыч!),1)л)=у)л))= ь„ь . )))))) )~.))))~), )) Значения (1!(С()Г) для 1( Г~4 приводятся в таблице 16. Перейдем теперь к вычислению приведенного матричного элемента углового момента. Собственное значение е-компоненты момента l = l, равно Л4. Таким образом, <УМ(У,(ГМ > = Л(б„бмж, й 14! непеиводимыв твнзоеныв опн лтоеы 113 В частных случаях орбитального момента и спина электрона форму- ла (14.42) принимает вид (![Лр)=)г 1(!+1) (21 —,1) бп, 1' 2 (14.43) (14.44) 4.
Тензорное произведение операторов. Из тензоров Т', (г можно построить неприводимый с компонентами О', = ~~' (Ига).['кгзо) Т Бг, ох где двух неприводимых тензор 1;)' ранга з (1 4е45) а=й+г, )а+г — 1, ..., [й — г[ и (веда ! вгао) — коэффициенты Клебша — Горлана. Выражением (14.45) определяется тензорное произведение операторов Т~, (l', которое ниже будет обозначаться как О'= [Т'г, и]', а'.= [Т" х и'1'. (14.47) Удобнее, однако, определить этот скзляр соотношением (Тли)=~( — П Т и- =У ( 1) Т и'. (1449) и Ч Выражение (14.49) носит нззвание скалярного произведения тензорных операторов Т» и (У . Простейшим примером скалярного произведения тензорных операторов является теорема сложения сферических гзрмоник (12.16) (С (11, р,) С (О, р, В =,У, С ((), ср,)"С ((), р,) = =-~( — 1)яС д (3), ср,) Сд(Г), ф,).
(14.50) В качестве второго примера можно привести обычное скалярное про. изведение двух векторов А и В, записанное в сферических компонентах (1 4 5): АВ=~~Р~( — 1) АмВ- я (14.5!) Приведем также пример тензорного произведения неприводимых тензорных операторов. В 9 23 будет показано (формула (23.21)), что С помощью (!4 45) можно построить (2к+1), если П (г, или (2г 1-1), если Гг>г оперзторов [Т х сг'~. Если Ф = г, то среди возможных значений а есть а=О. Таким образом, из двух тензоров одинакового ранга можно построить скаляр [Т'х и"';= '(йЬ| — д~М99)т',и',= —; — — ~Х' ( — 1) Т (У- (14 43) Ю + а 114 [гл. ~ч угловые моменты взаимодействие магнитного момента ядра с собственным магнитным моментои электрона имеет вид )Г= а,(3 (ап) и — в) 1= а,К!, (14.52) где в — спин электрона, 7 — спин ядра и а,— константа.
Компонента и вектора К сюжет быть записана следующим образом: К„= ~ Ог,а (14. 53) (14.54) О„, = (Зл„л — б„зл'). является тензором первого ранга, и поэтому д-компонента (14.55) [О Х У ~д — — ~~'„(21тт' [ 21)г7)ОчЯ, (14.56) с точностью до постоянного множителя должна совпадать со сферической компонентой К вектора К К =сопя! ~ (21тлг'[2!14)С,'„(б,гр,)3 ПРМ Для определения постоянной в (!4г57) сравним К, из (14.53) с К, из (14.57) (14.57) К, = О, а„-)- О, а + Ог ам (! 4.58) К, = сопя! ~ (21т — т ) 2110) С' 3 [томпонента а, = — 5, входит лншь в последний член (14.58), поэтому О„а, = сопя! (2100 [ 2110) С,'3,. (14.59) Учитывая, что О„=Зсоза0 — 1, С, = )/ 4 (3 соз !> — 1), (2100 [ 2110) = ~/ †, получаем -/2 — У 5 К„= — )' 1О ~~а (21лгт'[2117) С' ([!ср)З = — У10 [С'ХЗ')„(14.60) ,Х( — !) К 7 а = — а,)7 !0 чр( — !) [С'Х Ь'),7 ,.
(!4.6!) ч Поскольку тензор О„симметричен и имеет равный нулю след, из компонент О„можно построить сферический тензор второго ранга (см. (14.11) — (14.13)). Компоненты этого тензора О' пропорциональны сферическим функциям С (!!гр). Сферические компоненты а вектора э образуют тензор первого ранга У. В соответствии со сказанным выще тензорное произведение [О'х Ь')' 9 14) НЕПРИВОДИМЫЕ ТЕНЗОРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 115 Матричный элемент скалярного произведения (14.49) может быть вычислен с помощью общей формулы (14.14) <цум((т'й) ) у'у м> = ;)р ( — 1)Р <ули1 т, '~ у"у" м" > <у"у" м ~ и', ()Р у м> = 1"3 М" « = ~Л~ ( — 1)з+а" ам М! Таю'У )Ю"!!(/А~~У'У) >< — — м" — г'Р1' Выполняя суммирование по М", д с помощью (13.14) и учитывая, что 2У вЂ” 2РИ четно, получаем <цум~(т'иа))ц гм > = б.г,г' бмм' ( — 1)з л (уЛ! Т~,'~у"./") (у"У1!й!!у'У) ( ) — .
(14.62) аш" если операторы ть и 0, "действуют на координаты двух различных невзаимодействующих систем с моментами /, и уы то Т„ удовлетворяют соотношениям (14.2), (14.3) относительно моментов У, и .Р =У, + l, и коммутируют с а„ а 0", наоборот, удовлетворяет соотношениям (14.2), (14.3) относительно г„ / и коимутирует с У,. Можно показать, что в этом случае <уу,/,ли ИТ цл) 'у'.или> = = ( 1)'"" ' ~ (у ц т'Иу"у) (у"у,()ййуу) )тг(у,у,.у;;.И). (1463) Т" Например, для скалярного произведения операторов (С,"С;) =,'Р( — 1)РС';(1),р,) С',(3, р,), Р <111М, ~(САСА) ~ 1, '1,'Т,И,> = ( — 1)" + ' (1, ((С'ц1,) (1,))С~Щ %'(1,1,1, 1;1 тй).
(14.64) Для скалярного произведения моментов г,а, из (14.63) следует <у у ум~(гуун у ум)> =6,, 6,, (лйлйу)(ущ(у)>< >< К(/г/,1,У,; Л) = — (l(У-1- 1) —./, (I, -1-1) — l,(У, + 1)). (14.65) Матричные элементы тензорного произведения операторов Т», й, действующих на координаты различных систем, вычисляются по 116 (гл, ге угловыа иомьнты обшей формуле (14.14), в когорую надо подставить следующее выражение для приведенного матричного элемента: (уУ,У,71 У[Т' х (У'1' 1у У; Укр) = = ~~Р (У/, ~( Т'~ ~ УУ) (У / ~((У ))Т / ) )У (2/+ 1) (2У -Р 1) (2а — , '1) Х [./, l; А'1 му.у, у' г .
(14.66) (/ Уа Таким образом, матричные элементы такого типа выражаются через 9у-символы. В рассмотренном выше примере аз 1) (ауу))[С' х 511'~~ауу) =(ЦС'~(у) (а((а~(а)(2у+ 1) )у 3 у 1 2 1, . (14 67) 5. Матричные элементы нри сложении моментов.
Теперь ны выясним, какой вид имеют матричные элементы оператора Т», коммутирующего с У„в представлении згУгУМ. Из общей формулы (14.14) имеем <уу,у,ум~ т',(у О,у м у = .у уг у~ = ( 1)™ (ТУ,У,,/11 ТФ! ~Т'О,У') Х ,). (14.68) с — мдм)' Выражение для приведенного матри ~ного элемента в (14.68) можно получить из (14.66), положив г =0 и (У, '=1. При этом [ Т Х (У'1а =,~~(йОгу'О ) йОйгу) Т", = Т, (У з~~ ~~У У~) )' 2Уя+ 1 б~ бг"тч У' ))1 б ( 1)з,-~-з'ч.ь-гз» ууо( '*" /~ ~~( 1' (за+1) (2Уь+!) [ У У У,) (см. (14.29), (13.77)).
Заменив в окончательной формуле 6уссимволы на (Р'-коэффициент, получим (уУ,У,У)(Т'АУ,'У,У') = =( — 1)'*" ' '(уу,((Т'1)у у',) ~(27+1)(2у'+1)х Х Ф" ( lгУУ,У1 У,Уг). (14.69) 117 9 14! НЕПРИВОДИМЫЕ ТЕНЗОРКЫЕ ОПЕРАТОРЫ /»налогичны»! образом для оператора //, коммутирующего с,/„ Из (14.69], (14.70) следует (у/,./,./Ц7 ))у'.У»ЛУ)=( — 1) ' ' (узг/»УЦт ',)у'/Р/,.Г). (14.71) Рассмотрим ряд примеров. Для приведенного матричного элемента,/, в представлении l,./,ЛИ из (14.42) и (14.69) получаем (У,У,УЦУ,~!5 l,/)=(У,Ц5',Ц/)( — 1)Р*" ! '(2/+1) К(у Х/ У; У,1) = 1» )( — /О+!) — , '/»[/,+1) — / (/ +!) 2»' (/+ !) ( /~) /ц /) / ! т" !)+/» ( /» ! '/» ! /» т !) 22 (,",— !) а также <.У ./ ЛИ(.У ).У ./ ЛИ> = -' — '- ' ' ' М.
(14.73) »»»»1» 2/ (2+1) Последнее соотношение нетрудно получить, исходя из наглядных квазиклассических представлений, согласно которым среднее значение /, по состоЯнию 5'г/,l напРавлено по / / './» ./> / ./(/+1)п У»(7,+!) —,/,(/»+!) для орбитального момента / и спина а в представлении 5//т имеем ,'5 (/ + !) + / (/ + !) — 5( + !)) (5//ЦРЦ5//) = Р»/(/+ 1П2!+ 1) 2 1) (14 76) )/ (/+ !)+ 5 (5Ф!) — / (/-1-1)) (5/7))/()5/З) =)»/(у Р 1)(2/ р 1) ...(14.76) Приведем также общие формулы для привеленных матричных злементов С в представлении 5//гл !», ! /=/:Š—., /» =/'~ — ' 2' 2' ( —,' //ц С'ц —,'//') = 0'+» -/) (!' + /' — /»)! (/ + )! — !')! (/' + /» †/)! =( — 1) х !/+ /' + /»+ 1)и (/+/ — /» — !)" (!-т "— / )'! 0 + е — /)!! (14.77) м,у.уц(/'цу'у,у,'у) = =( — 1)5 "» '* 5'(уУ,Ц// Цу'/) 3Г(2/+1) (2У вЂ”,1)М >с )Р'(/»Л/'»',,/,/г) (14 70) (гл.
уя 118 УГлОВые моменты ( —, //'цс'ц —,,'/'/') = ('+' ) ('+ ' '(' + ')'х х, (У У, !",,; (14 78) (/+/' — й) !! (/+ й — Т вЂ” 1)" (/'+ й — / — 1!!" йй! =2 4 6.../с, если й четно, и й)! = 1 3.5.../с, если й нечетно. Существенно, что выражения (14.77), (14.78) не содержат П'. Для /с =1, /=/' и для /с =2, 7'=/' из (14.77), (14.78) получаем — 'Нс'Ц вЂ” ' /'/'! = 1/ ."."', /=/ ~1, ( — ' ''') 1г ( / цс'ц / ) = — ~Г ! /.,» ! /Д 1 / (2у — !) (2у+1) 12/+3) (14. 79) (14.80) х М М М Х М , (14.81) (/г/,Ц/с~'ЦУ, У,) = (з',Ц Т~Ц./,)(У,Ц//'Ц /,).
(14.82) Для различных приложений особенно интересен случай ,/, =Е, ') Хотя каждый на операторов Т, 1/» в отдельности удовлетворяет прав «' вилам коммутации (!4.2), (14.3) с полным моментом снгтемы /= У»+/», нх произведение Т И, этим свойством не обладает. Соотношениям (!4.2), (14.31 «» удовлетворяют лишь вполне определенные линейные комбинации этих произведеннй, а именно (14А5!. 6. Прямое произведение операторов.
Перемножая всеми возможными способами компоненты неприводииых тензорных операторов Тэ и (/", мы получаем совокупность (2/т+ 1) (2г+ 1) операторов 7л«(/ . Эта совокупность называется прямым произведением операторов Т», (/'. Пусть операторы Те удовлетворяют правилаи коммутации (14.2), (14.3) с моментом /, и коммутируют с моментом /„ а операторы (/, наоборот, — коммутируют с /, и удовлетворяют (14.2), (14.3) относительно /,. Тогда оператор /с~' с компонентами /7„ = = 7л«(/,' ведет себя как непрнводнмый тензор порядка й относительно /, и как неприводимый тензор порядка относительно /,').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
