1626435894-d8fc059aa7a13c20ed940af85260205a (844333), страница 60
Текст из файла (страница 60)
В принятом нами определении углов Эйлера зги функции !ут а) связаны с функциями ~!та), линейными соотношениями ь Рт'т (а д 7) ~!те). (П8.1) где так называемые Р-функции Вигнера (или матрицы поворота) У)У можно представить в виде Р! (а, Я7)= ехр( — ута)й~ (Яехр( — уп у). Функции сУ! обладают следующими свойствами симметрии: уу (уу) — ( 1)т — т у! (8) ( 1)т — ю' ~! (!)) (П8.3) ( — д) = ( — 1)! У! ()У) = (-1)! ь сУ' (б) и могут быль с помощью рекуррентных соотношений выражены через пУ! ° (пу2), дпя которых используется специальное обозначение Ь! При у = ! — целых Р функции Вигнера связаны со сферическими функциями следующим образом: представление ехР(1лгп) гг лт Я'г !!гл(б,п)= сог~ф!+ — — -) я,,/ггп б 2 4 справедливое при б 3 1/!.
2) Сложение моментов. Коэффициенты Клебша — Гордана н Зл/-символы. Представим теперь, что .рассмотренная выше система С состоит из г!'невзаимодействующих подсистем С, Сг ... С!ч. В этом случае волновой функцией всей системы может быль совместная собственная функция опеРатоРов 1',, ..., ф, !' „, ...,/аг„котоРУю можно пРедставить в виде пРоизведения волновых функций невзаимодействующих систем.
При включении взаимодействия между системами сохраняется только полный угловой момент! =1, + ... + 1!ч, и пРи Расчетах по теоРии возмУщений пРедставлЯет интерес построить из введенных выше произведений совместные собственные функции!'2 и1,. При Ф= 2 эта задача решается однозначно путем построения функций 1/1 /г 1 1 1гл11а112аг > = Х 1!1 ш1я! П 12ш2 122) ' Юг Лгг Ш! гпг (П8.7) Здесь аг, а, — квантовые числа соответствуалцих подсистем, не связан 111 12 1„ ных с их моментами, ~ — коэффициенты Клебша — Гордана. Зти ~л!! лгг т1 //1 1г / ч! коэффиш!енты связаны с 31-символами ~ ( соотношением !Лг Лг2 Лг ! =(-1)! -1' ч/2!''1~ ' (П8.8) !л, !лг !лг гл 1 и!2 лг гг Коэффициенты Клебша — Гордана действительны и удовлетворяют следующим условиям ортогональности и полноты: (П8.9) т1 Щг т ' ' Лг! РЛ2 Л!1 + РЛ2 (П8 1!П Кроме того, эти коэффициенты обладают следующими свойствами причем предполагается, что здесь!„12,1' удовлетворяют условию треусольника: !/1 — 1', ~ </</! +12.
При практических расчетах следует иметь в виду, что в формулах (П8.7), (П8.8) суммирование фактически проводится не по двум, а по одному индексу, Зто легко увидеть, если в явном виде выразить условие отличия коэффициента Клебша — Гордана от нуля (л! = Ш! + Л!2)! симметрии 1)/' +/ / !2 11 1 тг тг ! 12 1г 1 /+ю, 21+1 1 12 ! 12 1 = ( 1) * ,/ тг тг 1л 2!г +1 — тг т т, (П8.11) 1,— т> ! 1 ! 11 !2 =(-1)' ' 1 2!221 т -т тг (П8.12) Для приложений представляет интерес следующее асимптотическое пред- ставление коэффициентов Клебша — Горлана с двумя большими и одним мзлым значением!', угловых момектов: (П8.13)' где и=/' — 1',, соИ=, 12, 1 > /г.
!'+ 1!2 (П8.14) ! 12 !г 122 ~ !з / 122 =(-1) ' ./, +/ с/' +у (П8.15) где ( ) — б!-символы Вигнера. Отметим, что б!-символы облацают рядом свойств симметрии. В частности, они инвариантны относительно перестановки любых двух столбцов, а также относительно перестановки нижних и верхних аргументов в кажцом из любых двух столбцов, Если какие-либо из аргументов в б!-символе велики, то для их вычисления можно использовать различные асимптотические представления.
В частности, ! а Ь с с/+./ е+У /+2' В случае, когда система с заданным полным моментом составлена из нескольких подсистем (Л/ ) 2), результат представления полкой волновой функции системы зависит от порядка сложения моментов количества движения различных подсистем, При этом различные наборы связаны друг с другом унитарными преобразованиями, не зависящими от магнитных квантовых чисел. Матрацы этих преобразований выражаются. через хорошо изученные Зл/'-символы, где л = /ч' — 1. Наиболее часто в приложениях встречаются б!- и 91-символы Виткера.
Матрица преобразования между двумя различными схемами сложения тРех моментов (1212122!21112/з/22/г!> свЯзана с б!'-символом ВигнеРа следующим образом: <й!г/гг!21!/г/з!22121'> = 1)2У444344244 У3 1. 2КЗ Ч ~ К- 4 — У (П8.16) Здесь величины а, Ь, с, 4/, е, У' могут принимать любые значения. 9/-символ Вигнера появляется при рассмотрении схемы сложения четырех угловых моментов и связан с матрицей преобразования между различными схемами сложения следующим образом: (/ 1 /2 /1 2 / 3/4 /3 4 / / 3 !Э У г 3 /2 /4 /2 4 У ) (2/3 г + 1)(2/зи + 1)(2/24 + 1)(2!зг + 1) /1 !2 /12 Х !3 /4 /34 /13 /24 / (П8.17) 9/-символ можно выразить в виде суммы произведений трех 6/-символов: /3 /г Уз 1г 1з кз Угг Угз Т(2 1) 1)гк уз /2 /з /г !г !з Усз кг Угз (П8Л8) .Ф (Угла ! Тч )/'гл'а') УЛ' Д УЛ Коэффициентом пропорщзонапьности является приведенный матричный элемент (/а ! Т" 1/ а ), определенный так, как это принято в теории атом- Суммирование в (П6.18) производится по всем целым и полуцелым значениям к, прн которых выражение в правой части не обращается в нуль.
3) Матричные элементы непрнводнмых теиэорньзх операторов. Неприводимые тенэорные операторы Тк при поворотах системы координат преоб. разуются так же, как собственные функции ) к9) операторов Уг и Уз. При к = 1 зти операторы являются сферическими компонентами обычных векторов, причем Те = Т„Т..'. = +(Тк +- !Ту )У 4/2. (П8.19) Операторы Тг являются сферическими компонентами симметричных тензоров с равным нулю следом. Случаю к = О соответствует обычный скляр. Из двух коммутирующих неприводимых тензорных операторов одинакового ранга ' Тик и г Т,к можно построить оператор ранга О, который обозначается как (2Тк ЗТк) т ( 1)ч 2Тк гТк (П8.20) и При к = 1 произведение операторов 'Т' 'Т' совпадает с обычным скалярным произведением двух векторов. По теореме Вигнера — Эккарта имеем ных спектров: (Ута ! Т" (! т а ) = =( — 1) ", ~ (Уа>Т"!! а').
1 к ! 1 1 (П8.21) т' Ч т ьУ21+ 1 Например, для приведенного матричного элемента оператора углового момента! имеет место следующее равенство: <>»>»' '> - >й >, >>>»>'' »»»7 (П8.22) Сферическая функция ук является тензорным оператором ранга к, и приведенный матричный элемент (У>'тк)! ) (состояния ! и ! описываются сферическими функциями у, и у,,„) имеет вид ( — 1)" к ! 1 >» У, » > Л>» »>> » (П8,23) 2,Iя О О О В случае, когда имеются две слабосвязанные подсистемы С, и Сг, приведенный ри.
ый элемент оператора гт,", эависящ й только от коорднат Сг и вычисленный с функциями )У,а,У,аг!'>, можно выразить через приведенный матричный элемент, вычисленный с функциями ~Уг а, ). Это достигается с помощью формулы (!го>1гаг! ! Т 11>аг!газ! ) = =Б» Б (->У' ' >>2»' >>2> »(,, ) х !г Х (У,а, | 'Т" !У,а, >. (11 а! 1г! т ! 1г !г г к (Уг аг > Т" (>г а,> Х Уг Уг (П8.25) 4) Явный вид коэффициентов Клебша — Горлана при частных значениях индексов: — компенсация моментов у, иуг(! = О): с О1 1)У, — >к> (2! + 1)- гУг.
т, — ул, Π— сложение параллельных моментов 1, иУг (! = Уг + Уг ): ! !1 Уг !1 +1г тг тг т> +та Для матричного элемента 'Т" зависит от координат дующее выражение: (!га>Уга Ут!'Т" 'Т" =8!1 Ь (-1)'"*" Х (!гаг ( Т !!гаг). (П8.24) скалярного произведения (гТ' гТ"), где С,, а Т" — от координат Сг, имеет месте сле- (2у',)!(212)!(У, + !а + тг + тг) !(уг +!а — тг — тг)! (21г + 2!г)!(уг + тг )! (уг — тг)! (уг + тг)! (!г — тг )! ! ! — вычитание параллельных моментов уг иуг (!' = 1, — уг ): !г уг 1~ — уг -( Нл+ х [, (!', + гя, ) ! (1, — ег, ) Н 2 уг ) ! (21г — 2уг + 1) ! х (2! + !)Нуг ч гаг))(уг егг) О~ уг ч ег! + тг) Нг уг тг ,,à — сложение моментов у, и уг в плоскости, перпендикулярной оси кван. тования (тг = тг = О): ! ( — 1)а у(22+ 1) 1 а'! Х О О О (а — !г)!(а — уг)!(К !)' у, =1!2 уг О, если Уг+ уг+ 1=2К +1, Х (2а — 2!! )!(2К вЂ” 2уг ) !(2К вЂ” 2!) ' ~ (2к+ 1)! если у', + !'г + 1' = 2», где я — целое число.
Ниже приведены таблицы алгебраических формул для коэффициентов ! !г !г 1 Клебша — Гордана ~ с!а=1/2и1 т,тгт1 СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1. Базь А.И., Зельдовие Я.Б., Переломов А.М. Рассеяние, реакции н распады в нерелятивистской квантовой механике. — Мл НаУка, 1971. 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
