1626435694-d107b4090667f8488e7fa1ea1b3d0faa (844295), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Х о 4 и о, о е. о о, о . сч о ее 'о и и д о. но о «ейй гл. з. ллгоеитмизлция еехаажони а|ееаеЕех~ !-! о~- х !со 1Ос , 'сО): ы Ф н с'1 !О СО 1СЧ с ! чс!. 1СЧ СО 1О чч1, х и о о Й о , ссо ъ 1сч ! со !сс чх 1-: сч 1- со ! ! -!сч со ~с'4 о! ! о~- сс1 ', сс !с с- !о ч. ! со !:о со 1 сч! ! сч! сч ~сч 1 с о и о о И'4 с И о "' З о.З Зоох О о 1- 3 сс' сО оос о хо о с о !А,соО о % 3.!.
ИНФОРМАНИОЫНЫЙ ГРАФ гл. 3. Алгогитмизхция подготовит его к «арифметизации» алгоритма, которой мы займемся в главе, посвященной реализации. Построение транзитивных образов показано на таблице А Колонка таблицы соответствует построению Тг()г(г))Л(Ь(г)))для некоторого реаультата г. Операторы, воспринимающие Х(г), подчеркнуты. Возникающие информационные связи указываются в верхней части соответствующей позиции.
В соседних столбцах Ф Рвс. ЗЛ. Пример ч нпстроению анфпрмеционапго графа. а) Операторная схема. б) Информационный граф. показано формирование текущих компонент. В числителе указаны объединяемые результаты, в знаменателе — аргументы. Результирующий информационный граф показан на рис. 3.1, б). Существует одно распределение памяти, которое можно осуществить без построения графа несовместимости: зто сопоставить каждой компоненте свяаности свою величину. Это, самое незкономное, распределение памяти называют каноническим. Так оно называется потому, что все возможные распределения памяти могут быть получены из него процедурой, которая аналогична замене переменных: все вхождения в схему одной величины заменяются символом другой величины. Естественно, допустимая зкономия имеет место тогда, когда новая величина заменяет несколько величин, которые в каноническом распределении сопоставлены попарно совместимым областям действия.
» 2.2. ГРАФ НЕСОВМЕСТИМОСТИ э 3.2. Граф несовместимости Вспомним формулировку теоремы 3: две области действия г« и д' несовместимы тогда н только тогда, когда В( ()() В( Г2) () В(б) П Т( Г) 0 В( Т) Д Т()) + а, где В(п) — множество операторов, у которых есть результат, принадлежащий «(, а Т(Н) — множество операторов, каждый из которых является транзитным оператором хотя бы одного из маршрутов, реализующих информационную связь, принадлежащую И Множество В(Ы) строится элементарно: если дано разбиение полюсов по компонентам связности, то из д выбираются все входящие в него результаты гь,..., г;,, так что В(И) = (Р(г;,), ..., Р(г,,)). Прямое замыкание.
Для построения ТЩ намну>кно «пройтись» вдоль маршрутов информационных связей из О и отметить «проходимые мимо» операторы. Материал предыдущего параграфа побуждает нас при слове «пройтись» вспомнить определение транзнтнвного замыкания и попробовать применить его в нашем случае. Действительно, если мы будем строить транзитивный образ некоторого оператора Г(г), то мы заведомо включим в него все транзитные операторы маршрутов, начинающихся с.
«'(г). Нас, однако, интересуют все результаты компоненты д, поэтому у нас получается естественное определение: Тг(Ы)= () Тг(К(г~„)), »=1 из которого мы получаем, что Т(д) ~ Тг(4. Это, однако, очень слабое включение, так как транзитивный образ содержит в себе все операторы, достижимые от В(Ы). Вспомнив определение маршрута, мы сразу соображаем, что Т(«2) можно ограничить более точно, ваяв ограниченный транзнтивный образ Е(г, ).
Полон<ив с « Е (д) = Тг ( В («() ) В (б)) = ( ) Ч'г (Р (г; ) ( В (сК) ) = Ц К (т.2»), «=2 (1) получаем, что ТЯ с:.ЕЯ. Отвлечемся на минуту от основной линии изложения. Предыдущий абзац дает нам еще один пример лаконизма математического языка, требующего от читателя способности различать определяющие и использующие вхождения обозначений рассматрнва- 1оо Гл. 3. АлгогитмизАцня емых объектов. В строке (Х) разные члены этого комбинированного равенства имеют равный смысл. У нас есть множество Е «гс„), которое по определению равно Тг(г" (гс„)~В(с()).
РавепстэоЕ(сс)= с «) Е «гс„) — зто определение нового множества Е (д). Равенство Ь=с с Тг(В (сс) ~ В(с()) = () Тг«г «гсь) «Л(с() ) — это определение огра- А-1 ннченного транзитивного обрааа некоторого множества (в данном случае Л(с()), аналогичное только что сделанному определению обычного транзитгвного обрааа множества вершин. Равенство Е(с() = Тг(Л(сс)«В(сс)) — это следствие из сделанных определений, своего рода микротеорема. Заметим, что это чтение не единственное. Можно было бы определить Тг (В(сс)«В (сс)), затем через него с Е(с(), а потом вывести заключение, что Е(сХ) =- () Е(гс ).
А=с Кроме этого, нам необходим еще один логический шаг. Мы ввели понятие транзитивяого образа вершины для того, чтобы формализовать такие свойства, как достижнмость одной вершины до другой. Мы получили определение транаитивного образа множества чисто формально как объединение транзитивных образов его элементов. Возникает вопрос, как понятие транэитивного образа множества формализует свойства достиясимости. Перечитав еще раз начало параграфа, мы можем сформулировать следующую лемму (для случая свободного транзитизного замыкания): Л е и и а. Пусть в некотором графе сс М = «тс,..., т„)— множество вершин, Тг(М) = «) Тг(ть), а Я(ЛХ) = (г) — мной=! жество вершин (г), таких, что для любого г существует такая версоина т ~ ЛХ, что в графе 6 имеется путь от т до г.
Тогда Я(М) = Тг (М). Доказательство. а) Я(М)с:Тг(М). Предположим противное, т. е. существует вершина ге=Я(М) и вершина т;, для которых существует путь от т; до г, но г не принадлежит Тг(ЛХ). Но в этом случае г не принадлежит также и Тг (тс), что противоречит свойству Тг (тс). б) Тг(М) с: Я(М). Рассмотрим любой элемент ЛыТг (М). Принадлежа сумме, он тем самым принадлежит одному из слагаемых Тг (т,). Из этого следует, что в графе существует путь от т, к с, что доказывает принадлежность к Я(М). ху Аналогичное свойство для ограниченного транаитивного замыкания читателю предлагается доказать самостоятельно. Обратное замыкание. Теперь нам нужно посмотреть внимательнее, что же лишнее содержит з себе Е(д).
При движении по дугам графа переходов мы можем попасть либо з цикл, нз которого есть выход, либо в тупиковый цикл, либо упереться в оператор, "ь г г. ГРАФ несОВместимОсти вырабатывающий ту же величину, либо остановиться у конечного оператора. Нарисуем наугад произвольную операторную схему в упрощенном виде, только с одной областью действия, лишь бы в ней реалиаовывались все только что перечисленные логические воэмон1- ности движения вдоль дуг графа переходов (рис. 3.2, а). Отметим па нем как операторы из Е (д), так и иа Т (Ы).
Продвига»свпо дугам, отправляясь от задающих операторов и откладывая в Е (д) проходимые операторы, мы прихватываем лишние операторы, потому что не знаем заранее достигнем ли мы на этом пути воспринимающие операторы. Транаитные операторы, в отличие от перечисленных, достижимы не только от задающих операторов, но и от воспринимающих (если двигаться навстречу стрелкам). Высказав с раагона это очевидное наблюдение, нам нелишне будет сделать логическую паузу и осмыслить скааанное. Мы связали движение по дугам графа с построением транэитивного замыкания. Движение против ориентации дуг наводит нас на мысль ввести понятие обратного транзигпивного замыкания и определить транзитивный прообраз вершины а, как множеств Тг-'(а) таких вершин х (Тг-г(а) = (х)), для которых пара (х, а) удовлетворяет отношению Тг(Г), где Г, как обычно, множество дуг рассматриваемого графа.
Поскольку каждый путь в графе может быть пройден как вдоль дуг, так и навстречу им, введя обозначение à — '(а) как множества предшественников а, ораву получаем аналогичную (предыдущему параграфу) процедуру для нахождения транэитивного прообраза. Е>о> (а) Г>о> гл Г>и-1-1> 7(и> Πà — 1 (С>и>) Я(иь1> Г>и~-1> ъ Г>и> Аналогично определим ограниченный (по отношению к мно>кеству вершин Х) >пранзи>пивный прообраз Тг->(а>Х): .С>о> (а) Г>о> гк Г>и+1> = T(и> () à — 1(Я>и>), Я>и+11 = 71иь>>'~1Г(»>~ Х. В обоих случаях Тг-' берется как первое Т>и>, равное Т<"-г>. Пусть в область действия >( входят аргументы а;„...,аг,. Опять-таки рассуждая по аналогии и, вспомнив, что Е(гг) = = Тг(В(1>,')Е(г()), приходим к заключению, что Т(г)) с: Тг-1(А(д)( )Л(а)), где А(Ы) = (У(а;,),, У(а,,)) — множество операторов, воспринимающих величину, сопоставленную области действия г> (рис.
3.2, б), а Тг — ' (А (а) ( Е(г()) = () Тг — ' (Ъ'(ан)(Л(а)). ! ! ГЛ. 3. АЛГОРИТМИЗАЦИЯ В ~А В 4, ! ОЭ И о о $ О Х о, Ф Х о м Д Х Х Х О Х о 4 5 за ГРАФ нисовмвстимости Повторив теперь снова нашу мимолетную догадку «транзитные операторы достижимы не только от задающих операторов, но и ог воспринимающих», мы сразу можем облечь ату гипотезу в точное утверждение: Т ф) с: Е (>()()Тг->(А (>г)~В (и)).
Читатель, заразившись азартом в поиске решения задачи, может нетерпеливо спросить, почему мы пишем здесь включение, а не равенство. Заметим, что, хотя именно это предположение оказывается ошибочным (пересеките множество Е(«>) из рис. 3.2, а) с множеством Тг->(А(д)>В(>()) из рис. 3.2, б, и вы сразу увидите четыре лишних оператора), тем не менее направленность вопроса весьма плодотворна, и мы поищем, как подправить определение накрывающего множества, которое мы строим с помощью обратного транаитивного замыкания (сразу дадим ему, еще не существующему, обозначение — Ь (>()), чтобы сохранить подход к нахождению транзитных операторов: Т («() = Е (д)()Ь (д). Анализ нашего примера с рис.
3.2 показывает, что ограниченное обратное транзитивное замыкание может содержать в себе задающие операторы, которые, не будучи «проходимыми», являются тем не менее дестин>имыми. Аналогично, во множестве Е (д) задающие операторы тоже могут оказаться достижимыми. Из-эа эгого задающие операторы могут попасть и в пересечение. Похоже, что концевые (т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
