1626435587-55f52a4de97976f3c6215fa7c103f544 (844241), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Дифференцирование (133) по даст вид уравнения (112) в представлении взаимодействия:ˆ ,=(134)гдеˆ = −(−0 )^ ˆ (−0 )^ .(135)ˆИсключение дисперсионного оператора из уравнения (134) в представлении взаимодействия позволяет интегрировать (134) с помощьюявных разностных схем, которые в данном случае являются устойчивыми.
Вместе с тем переход между представлениями с помощью опеˆ в (135) должен выполнятьсяратора exp(±ℎ), путём выполнения быстрого преобразования Фурье, домножения на exp(± 21 2 2 ℎ)и последующего обратного преобразования Фурье. В таком случае мыполучим устойчивое численное решение, точность которого будет определяться точностью разностной схемы, используемой для интегрирования (134).Рассмотрим алгоритм построения решения на примере трёх разностных схем, начав с наиболее простой схемы ломаных и переходядалее к схемам более высокого порядка точности. В каждом случаебудем полагать, что численное решение Ψ(, ) известно нам в точке = , и покажем, как продолжить его в точку = + ℎ..
Положив 0 = в (133), получим начальное условие для уравнения (134) в представлении взаимодействия: Ψ () =Ψ(). Используя для решения (134) метод Эйлера [1, с. 86], имеем:⃒ˆ Ψ ⃒ˆ Ψ().Ψ ( + ℎ) = Ψ () + ℎ= Ψ() + ℎ=точноМетод ЭйлераВозвращаясь от представления взаимодействия к исходному36 в соответствии с (133):)︀^^ (︀ˆ Ψ().Ψ( + ℎ) = ℎ Ψ ( + ℎ) = ℎ 1 + ℎ(136)35 Напомним, что в квантовой механике делается аналогичная замена, позволяющая исключить из рассмотрения эволюцию решения под действием невозмущённого гамильтониана ^ 0 , что упрощает анализ эффектов, связанных с поправкой ^ 1 ,описывающейвзаимодействие в исследуемой системе.36 Аналог представления Шрёдингера в квантовой механике.97Обратим внимание, что выражение в круглых скобках с точностьюˆ ), а формула (136) в целом — сдо членов (ℎ2 ) совпадает с exp(ℎвыражением (128).Расчёт по формуле (136) требует однократного вычисления нелиˆ , однократного действия exp(ℎ)ˆ и пары дискретнейного оператора ных преобразований Фурье на каждом шаге, что эквивалентно вычислительной сложности схемы (128)..
Снова выберем 0 = в(133), что даст Ψ () = Ψ() в качестве начальных условий для (134).Для построения численного решения (134) будем использовать модифицированный метод Эйлера [1, с. 92]:)︂(︂⃒ℎℎ ˆ⃒= Ψ () + ,Ψ + Ψ ⃒22=⃒ˆ Ψ ⃒⃒Ψ ( + ℎ) = Ψ () + ℎ.ℎМодифицированный метод Эйлера+ 2С учётом (133) и (135) имеем:(︁)︁1ℎ ˆ^ ˆ 1 ℎ^^2Ψ() + Ψ() .Ψ( + ℎ) = ℎ Ψ() + ℎ 2 ℎ 2(137)Расчёт по формуле (137) требует двукратного вычисления нелинейˆ , троекратного действия exp(ℎ)ˆ и шести дискретныхного оператора преобразований Фурье на каждом шаге, что делает более предпочтительным использование формулы (130) и в особенности экономичнойсоставной формулы (131), также обеспечивающих второй порядок точности по шагу сетки ℎ..При использовании для интегрирования уравнения (134) методаРунге—Кутты четвёртого порядка [1, с.
95] удобно выбрать 0 = + 12 ℎ.С учётом этого можем записать [A16]:Метод Рунге—Кутты четвёртого порядкаℎ^Ψ () = 2 Ψ(),ℎ^ˆ Ψ(),1 = ℎ 2 (︂)︂1ˆ,2 = ℎ Ψ () +2(138)98ˆ3 = ℎ(︂Ψ () +22)︂,ˆ ℎ2 ^ (Ψ () + 3 ) ,4 = ℎ(︂)︂ℎ ^1234Ψ( + ℎ) = 2Ψ () ++++ .6336(139)Расчёт по формулам (138), (139) требует четырёхкратного вычисленияˆ на каждом шаге, четырёхкратного вычиснелинейного оператора ˆ и восьми преобразованийления дисперсионного оператора exp( 12 ℎ)Фурье. Скорость счёта с использованием данного метода сопоставималибо даже чуть выше [A16] скорости метода расщепления по физическим процессам (132), также имеющего четвёртый порядок точностипо шагу сетки ℎ.Упражнения1) Численно исследуйте распространение оптических солитонов вуравнении = 21 2 −||2 с начальными условиями (0, ) =/ch на различные расстояния < 10.
Проследите за неизменностью формы фундаментального солитона ( = 1) и осциллирующей динамикой солитонов целых порядков ≥ 2.2) В предыдущей задаче выберите начальные условия в виде суммы(разности) двух фундаментальных солитонов(0, ) =11±,ch ( − 0 ) ch ( + 0 )разделённых небольшим временны́м интервалом 0 ≈ 2 . .
. 3. Наблюдайте притяжение (отталкивание) солитонов при распространении вдоль z.3) Напишите программный код для интегрирования уравнения (112)по схеме (130), вычисляя действие дисперсионного и нелинейногоˆ и exp(ℎˆ ). Насколько изменитсяоператоров точно, как exp(ℎ)скорость работы программы, если вычислять комплексные экспоˆ только на первом шаге ℎ, используя на последуюненты exp(ℎ)щих шагах ранее вычисленные и сохранённые в памяти значения?ˆ ) на cos + (1 − cos2 )1/2 , а cos вычисЕсли заменить exp(ℎлять как сумму первых нескольких членов ряда Тейлора?994) Интернет-трафик передаётся по оптическому волокну 2 =−2 × 10−26 с2 /м, = 1,3 (Вт·км)−1 последовательностями по100 импульсов, форма огибающих которая близка к гауссовой0 exp(− 21 (/ )2 ), = 10−11 с, |0 |2 = 10−3 Вт.
Импульсы в последовательности изначально разделены временны́м интервалом5 × 10−11 с. Фаза каждого импульса (arg{0 }) может приниматьодно из четырёх значений 0, /2, , −/2. Проследите за эволюцией мгновенной мощности |()|2 последовательности импульсовпосле прохождения расстояния = , 3 , 10 .5) В условиях предыдущей задачи оцените отношение / длямагистральной оптической волоконной линии связи длиной =800 км. Как выглядит временно́е распределение мощности передаваемой последовательности импульсов при = ?6) Для восстановления информации на принимающем конце линии связи (при = ) необходима компенсация хроматической дисперсии групповых скоростей, что может быть учтено вмоделировании путём домножения комплекснозначной функции˜ˆ + (, ) = (,) на exp(− 2 2 2 ).
В условиях задачи 4 постройте график мгновенной мощности |(, )|2 последовательности импульсов на выходе из волокна = 800 км после компенсации дисперсии. Выполните декодирование сигнала — вычислитефазу arg{(, )} в центре импульсов и восстановите передаваемую битовую последовательность.7) Одним из ключевых факторов, ограничивающих пропускную способность линий связи, является нелинейность, приводящая к смешению различных спектральных и/или временны́х компонент передаваемого сигнала.
Промоделируйте данный эффект, используя параметры из задачи 6. Постройте, отобразив точками на комплексной плоскости амплитуды () импульсов, принимаемых после прохождения линии связи и компенсации дисперсии. Увеличьте мощность импульсов до2, 5, 10 мВт. Как изменится констелляционная диаграмма и почему? Какую роль играет разброс точек на диаграмме при передачесигнала? Какие физические эффекты, не учитываемые в используемой модели, могут привести к увеличению разброса точек надиаграмме?граммуконстелляционную диа-8) Четырёхпортовый сплавной волоконный ответвитель (рис.
17 (а))представляет собой линейный пассивный оптический элемент, выполняющий унитарное преобразование амплитуд сигнала (1 , 2 )100на своих входах 1, 2 в амплитуды сигналов (1′ , 2′ ) на двух выходных портах 1′ , 2′ :(︂)︂ (︂)︂ (︂)︂1′cos sin 1=,2′ sin cos 2где — параметр ответвителя. При соединении портов 1′ и 2′ ответвителя отрезком оптического волокна длины (рис.
17 (б)),получается нелинейное петлевое волоконное зеркало (Nonlinearoptical loop mirror). Преобразование амплитуды сигнала 1 навходе волоконного зеркала в выходной сигнал 2 может бытьописано выражением 2 = cos ˆ {cos 1 } − sin ˆ {sin 1 }, гдеˆ ˆ )) — оператор распространения сигнала в оптичеˆ = exp((+ском волокне длины . Получите аналитическое выражение длязависимости коэффициента пропускания ≡ |2 /1 |2 от мгновенной мощности на входе |1 |2 в пределе → ∞. Постройте графикзависимости∫︀∫︀ коэффициента пропускания по энергии = ( |2 ()|2 )/( |1 ()|2 ) от пиковой мощности гауссовыхимпульсов длительностью 5 × 10−12 с, используя точный ответв приближении 2 = 0 и численный счёт для следующих параметров нелинейного петлевого зеркала: 2 = 2 × 10−26 с2 /м, = 1 (Вт·км)−1 , = 100 м, cos2 = 0,6.9) В условиях задачи 8 смените знак дисперсии на противоположный (2 = −2 × 10−26 с2 /м), а в качестве входных импульсовиспользуйте 1 () = 0 /cosh (/ ) с различным уровнем мощности |0 |2 .
Выберите длительность импульсов так, чтобы онабыла близка к длительности фундаментального солитона. Какизменилось максимальное значение коэффициента пропусканияmax2 [ (|0 |2 )] нелинейного петлевого зеркала и почему?|0 |Рис. 17.(а) Четырёхпортовый сплавной волоконный ответвитель и (б) нелинейное петлевое волоконное зеркало101Рекомендованная литература[1]Смирнов С. В.Основы вычислительной физики. Новосибирск :Новосибирский государственный университет, 2015. Часть 1.
113 с.Калиткин Н. Н. Численные методы. М. : Наука, 1978. 512 с.[3] Самарский А. А. Введение в численные методы. М. : Наука, 1987.[2]286 с.[4]Press W. H., Teukolsky S. A., Vetterling W. T., Flannery B. P.Numerical recipes The art of scientific computing.
N. Y. : CambridgeUniversity Press, 2007. 1235 p.Дополнительная литература и Интернетресурсы[A1]Абрамов А. А., Андреев В. Б. О применении метода прогонки[A2]Rice J. R. Numericalmethods, software, and analysis. San Diego :к нахождению периодических решений дифференциальных иразностных уравнений // Вычисл. матем. и матем. физ. 1963.Т.
3, № 2. С. 377–381.Academic Press, 2ed., 1993. 720 p.Уилкинсон Дж. Х.[A3]Алгебраическая проблема собственных значений. М. : Наука, 1970. 564 с.[A4]An algorithm for the machinecalculation of complex Fourier series // Math. of computation.1965. V. 19, № 90. P.
297–301.Cooley J. W., Tukey J. W.[A5]Wilkinson, J.H., Reinsch, C. Linear Algebra, vol. II of Handbook[A6]Дасгупта С., Пападимитриу Х., Вазирани У. Алгоритмы. М. :[A7]Rader C. M. Discrete Fourier transforms when the number of data[A8]Науссбаумер Г.for Automatic Computation.
N. Y. : Springer-Verlag, 1971. 439 p.МЦНМО, 2014. 320 с.samples in prime // Proceedings of the IEEE. 1968. V. 56, №. 6.P. 1107–1108.Быстрое преобразование Фурье и алгоритмывычисления свёрток. М. : Радио и связь, 1985. 248 с.102[A9] FFTW homepage. URL: http://fftw.org/.[A10] Температура воздуха около НГУ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
