1626435587-55f52a4de97976f3c6215fa7c103f544 (844241), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Записывая систему (108) в базисе(0,0 , 0,1 , . . . , 0, −1 , 1,0 , 1,1 , 1,2 , . . . , 1, −1 , 2,0 , 2,1 , . . . , −1, −1 ),легко понять, что матрица системы является ленточной с шириной ленты 2 + 1. Следовательно, для выполнения одного шага по временис использованием схемы (108) потребуется ((2 + 1) ) = ( 3 )арифметических операций при ≈ ≡ . К аналогичному выводу можно прийти и при рассмотрении двумерного обобщения схемыКранка — Николсона. В трёхмерном случае проблема ещё более усугубится: ширина ленты матрицы системы будет ≈ 2 , и, следовательно,число арифметических операций будет расти как ( 5 ). Ниже мы рассмотрим так называемыесхемы, позволяющие повыситьэффективность построения численного решения уравнения теплопроводности.экономичные3.6.
Продольно-поперечная схемаПостроим безусловно устойчивую численную схему, требующую выполнения ( 2 ) операций для перехода на следующий слой по времени. Для этого разобьём шаг численного интегрирования на два засчёт введения дополнительного (вспомогательного, полуцелого) слояпо времени = +1/2 . Вначале сделаем половину шага по времени, /2, используя неявную схему по и явную по .
Затем делаем оставшуюся половину шага /2, используя схему, явную по и неявнуюпо :+ 11 2 − + 1ˆ + 2 + ˆ =+ 2 ,(109) /2+ 21+1− /211ˆ + 2 + ˆ +1 + + 2 .=(110)Проследим за зоной влияния в схеме (109, 110): предположим, чтов узле возникло возмущение (рис. 15 (а)) и проследим, на какиеузлы сетки оно распространится при = +1 .
Поскольку на первойполовине шага (109) используется неявная по схема, возмущение вузле распространится вдоль всей оси , так что окажутся затрону+1/2+1/2тыми узлы 0, . . . , . В направлении схема (109) явная, такчто по возмущение распространится всего на два узла ,±1 промежуточного слоя +1/2 (рис. 15 (б)). На второй половине шага (110)используется схема, неявная в направлении , благодаря чему возму+1/2+1/2щение из узлов 0, . . . , передастся вдоль оси на все без80(а)yt=0(в)t=τ/2yx0Рис. 15.(б)t=τyx0x0Распространение возмущения при использовании продольно-поперечной схемыисключения узлы сетки при = +1 (рис.
15 (в)). Таким образом, зона влияния продольно-поперечной схемы (109, 110) неограничена, чтопозволяет ожидать безусловной устойчивости данной схемы.Исследуем устойчивость более формально, проследив за эволюциейамплитуды базисной функции (105).
Используя (106), получаем дляамплитуды после первой половины шага (109):(︂)︂(︂)︂188 ℎ ℎ+ 2 · 1 + 2 sin2= · 1 − 2 sin2.ℎ2ℎ2Аналогично на второй половине шага (110):(︂)︂)︂(︂188 ℎ ℎ+1 · 1 + 2 sin2= + 2 · 1 − 2 sin2.ℎ2ℎ2Поделив полученные выражения друг на друга, вычислим отношениеамплитуд базисной функции на соседних слоях по времени:1−+1=1+8ℎ28ℎ2 ℎ2sin2 2ℎsin2·1−8ℎ2sin2 ℎ21+8ℎ2sin2 ℎ2.Вводя обозначениеκ, ≡8, ℎ,sin22ℎ,2и учитывая, что κ, > 0 ∀, ℎ , ℎ > 0, имеем:⃒ +1 ⃒ ⃒⃒ ⃒⃒⃒⃒ ⃒ 1 − κ ⃒ ⃒ 1 − κ ⃒⃒·⃒⃒⃒⃒=⃒⃒ ⃒ ⃒ 1 + κ ⃒ ⃒ 1 + κ ⃒ < 1 ∀, ℎ, > 0.81Таким образом, амплитуда всех базисных решений монотонно убываетво времени при любых значениях шага сетки, что означает безусловнуюустойчивость продольно-поперечной схемы.Найдем порядок точности продольно-поперечной схемы.
Вычитаяуравнение (110) из (109), выразим значение численного решения наполуцелом слое:)︁ (︁)︁1 (︁ + 1+1+1ˆ + + 2 =− .24+1/2Суммируя (109) и (110) и подставляя ражения, имеем:+1− из полученного выше вы-(︁)︁ + +1)︁ ˆ ˆ (︁ +1+ 1ˆ + ˆ = + 2 − − . 24Первые два члена в полученном равенстве аппроксимируют частныепроизводные и + в точке ( , , +1/2 ) со вторым порядком точности. Следовательно, при подстановке в полученное равенствоточного решения (, , ) уравнения теплопроводности вместо численного (, , ), первые три члена сократятся с точностью до невязки = ( 2 + ℎ2 + ℎ2 ). Тот же порядок малости имеет и последнийˆˆ (+1 − ).
Действительно,член в полученном равенстве, ( /4)+1′2+1≈+,откудаследует,что·(− ) = ( ). Такимобразом, продольно-поперечная схема (109, 110) обеспечивает второйпорядок аппроксимации по времени и пространственным координатам.Для организации счёта по продольно-поперечной схеме на первойполовине шага необходимо в цикле по индексу делать шаг /2, используя неявную схему (109).
На второй половине шага следует организовать цикл по индексу , выполняя для каждого значения шаг /2по неявной схеме (110). Использование неявной схемы описано в п. 3.3на с. 73.3.7. Локально одномерный методРассмотренная выше продольно-поперечная схема не обобщается наслучай трёх и более измерений без потери порядка точности и абсолютной устойчивости [2, с. 395]. В этой связи для численного интегрирования многомерных параболических уравнений используют другую эффективную схему —.
Идея данного метода такжеоснована на разделении шага по времени на несколько частей и выполнении каждой части шага с использованием схемы, неявной по одной82локально одномернуюпространственной координате. В отличие от продольно-поперечной схемы, здесь на каждой части шага учитывается распространение теплатолько вдоль одной оси (что и отражено в названии метода), а в качестве неявной схемы используется схема с полусуммой (100) на с. 75.Введём промежуточных слоёв (где — количество пространственных координат). Для сокращения записи будем опускать нижние (пространственные) индексы, а также использовать для обозначения численного решения на промежуточных слоях по времени: ≡ +/ , = 0, .
. . , .Величины , зависящие от пространственных координат, подчиняются уравнениям:+1+ +1 − ˆ =+ ,2∑︁ = , = 1, . . . , .(111)ˆ — разностный аналог дифференциального оператора 2 /2 .Здесь Поскольку переход к каждому следующему промежуточному слою (от к +1 ) выполняется по абсолютно устойчивой неявной схеме, всемалые высокочастотные возмущения затухают, что обусловливает абсолютную устойчивость схемы (111) в целом.Можно показать [2, с.
397], что в частном случае отсутствия зависимости от пространственных координат коэффициента теплопроводности и распределения источников тепла схема (111) имеет второйпорядок аппроксимации по времени и пространственным координатам,( 2 + ℎ21 + ℎ22 + . . . + ℎ2 ). В общем случае, при наличии зависимости от ∑︀координат, схема имеет первый порядок точности по времени,( + ℎ2 ) [A11], что позволяет использовать вместо схемы с полусуммой (100) чуть более компактную в записи неявную схему (98), см.с.
73.Упражнения.1) Запишите численную схему, соответствующую шаблонуК какому классу численных схем — явных или неявных — она относится?2) Исследуйте устойчивость схемы из задачи 1.3) Температура воздуха на улице осциллирует по закону из задачи 4 на с. 66, внутри помещения поддерживается температура+20∘ C. Пренебрегая краевыми эффектами, вычислить средний83поток тепла через участок стены площадью 50 м2 , не освещаемый прямыми солнечными лучами. Толщина стены 150 мм, теплопроводность 0,05 Вт/м·К, плотность 75 кг/м3 , теплоёмкость1,3 кДж/(кг·К).4) Рассчитайте амплитуду суточных и годовых осцилляций температуры в сухом песчаном грунте. На какой глубине амплитудаосцилляций не превышает 1∘ C? 0,1∘ C? Теплопроводность грунтапринять равной 1,2 Вт/м·К, теплоёмкость 1 кДж/кг·K, плотность1,4 т/м3 .5) Горячая вода = 95∘ C прокачивается по трубе = 100 м, = 3/4′′ со средним объёмным расходом = 0,1 л/с.
Считаятечение в трубе ламинарным, исследовать зависимость температуры воды на выходе от коэффициента теплоотдачи между трубой и окружающей средой.6) На границах квадратной области 0 ≤ , ≤ поддерживаетсятемпература = 0, внутри области происходит тепловыделение (, ) = 1 − (1 − /)(1 − /)/2 . Исследовать зависимостьтемпературы (, , ) от времени в центре квадрата, полагая начальную температуру (, , 0) равной нулю. Как меняется вовремени величина = max | (, , ) − 0 (, )|,,где 0 (, ) — равновесное распределение температуры (0 =lim→∞ (, ))?7) Два длинных цилиндрических электрода расположены параллельно друг другу в электропроводящем пространстве. Исследуйте эволюцию распределения температуры в пространстве от времени после подключения к электродам постоянного напряжения;постройте графики распределения плотности тока и стационарной температуры.
Указания: для простоты рассмотрите двумерную задачу, пренебрегая краевыми эффектами. Используйте нулевые граничные условия, полагая температуру на поверхностиэлектродов и большом удалении от них равной нулю.844. Нелинейное уравнение ШрёдингераРассмотрим ещё одно параболическое уравнение в частных производных второго порядка — нелинейное уравнение Шрёдингера: =2 2 − ||2 ,2 (112)где — огибающая волнового пакета29 , распространяющегося в среде сдисперсией 2 и нелинейностью вдоль — пространственной координаты; — время всистеме координат, см.
п. 4.1 и формулу (122)на с. 90. Своё название уравнение (112) получило ввиду формальногосходства с квантовомеханическим уравнением Шрёдингера, в котороеоно переходит в линейном пределе = 0 после переобозначений ↔ .Нелинейное уравнение Шрёдингера (112) описывает эволюцию огибающей волнового пакета () при распространении в среде с дисперсией групповых скоростей и кубической нелинейностью. Соответствующие задачи возникают, например, в физике плазмы, где наличие кубического члена может быть обусловлено действием пондеромоторныхсил либо нагревной нелинейностью. Другим важным примером является нелинейная оптика, где уравнение (112) широко используется дляописания распространения коротких (длительностью & 10−12 с) оптических импульсов.
В настоящее время такие импульсы повсеместно применяются для передачи информации на магистральных линияхсвязи. Ввиду быстрого роста потребления Интернет-трафика во всёммире актуальной проблемой является повышение пропускной способности информационных каналов. Поскольку экстенсивное решение — прокладка новых линий телекоммуникаций — связано с большими финансовыми затратами, приоритетным направлением является использование новых способов передачи данных по уже имеющимся волоконнооптическим линиям связи. В этой связи нелинейное уравнение Шрёдингера (112) активно используется для решения широкого круга инженерных оптимизационных задач в области телекоммуникаций.В отличие от многих других уравнений математической физики,описывающих эволюцию состояния некоторой системы во времени,начальные условия для (112) ставятся при = 0: (0, ) = 0 (),при этом в роли эволюционной координаты выступает — расстояние, пройденное волновым пакетом в среде (например, волоконнооптической линии связи).бегущей29 Модуль электрического поля волны |E| ∝ Re( ), где — несущая опти0ческая частота.
В оптике нормировку удобно выбирать так, чтобы ||2 был равенмощности излучения.085Аналитические решения задачи Коши для уравнения (112) могутбыть получены лишь в относительно узком классе частных случаев спомощью метода обратной задачи рассеяния [A12]. В общем случае произвольных начальных условий для решения уравнения (112) используют численные методы, с наиболее употребительными из которых мыпознакомимся в п. 4.5. Однако перед этим в пп. 4.1–4.3 будут рассмотрены основные предельные случаи, допускающие построение точногорешения, что необходимо для понимания физики явлений, описываемых уравнением (112), и верификации результатов численного моделирования.4.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
