1626435587-55f52a4de97976f3c6215fa7c103f544 (844241)
Текст из файла
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФНОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТФизический факультетКафедра высшей математикиC. В. СмирновОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ФИЗИКИЧасть IIУчебное пособиеНовосибирск2017УДК 519.6ББК 22.19я73С50Рецензентд-р физ.-мат. наук, чл.-корр.
РАН М. П. ФедорукСмирнов, С. В.С50 Основы вычислительной физики : учеб. пособие: в 2 ч. /С. В. Смирнов. – Новосибирск : ИПЦ НГУ, 2017. – Ч. 2. –104 с.ISBN 978-5-4437-0676-4ISBN 978-5-4437-0677-1 (часть 2)Настоящее учебное пособие соответствует материалу лекций7–11 по дисциплине «Основы вычислительной физики»,читаемых студентам 4-го курса физического факультета НГУ, исодержит рассмотрение ряда базовых вопросов методоввычислений, используемых в физике.
Пособие знакомитчитателей с численными методами решения задач линейнойалгебры, дискретным преобразованием Фурье и численнымисхемами для интегрирования уравнения теплопроводности инелинейного уравнения Шрёдингера. Отбор материала и уровеньстрогости изложения адаптированы для студентов-физиков.Для студентов 4-го курса физического факультета НГУ,студентов старших курсов и аспирантов физических итехнических специальностей вузов.УДК 519.6ББК 22.19я73Пособие подготовлено при частичной финансовой поддержкеМинобрнауки РФ (соглашение № 14.B25.31.0003, гос. задание№ 3.5572.2017/БЧ).ISBN 978-5-4437-0676-4ISBN 978-5-4437-0677-1(часть 2)© Новосибирский государственныйуниверситет, 2017© С. В.
Смирнов, 2017ОглавлениеПредисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1. Задачи линейной алгебры1.1.1.2.1.3.1.4.1.5.1.6.Метод исключения Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . . .Метод исключения Гаусса с выбором главного элемента .Погрешность и невязка . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .Определитель и обратная матрица . . . . . . . . . . . . .Метод прогонки для трёхдиагональных матриц . . . . .Модификация метода прогонки для периодических граничных условий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.7. Спектральная задача . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .1.7.1. Метод интерполяции . . . . . . . . . . . . . . . . .1.7.2. Степенной метод . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.7.3. Метод обратных итераций со сдвигом . . . . . . .1.7.4. Метод Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.7.5. Метод вращений Якоби .
. . . . . . . . . . . . . . .1.7.6. Сравнение методов . . . . . . . . . . . . . . . . . .Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. Дискретное преобразование Фурьеvs.2.1. Преобразованиеряд Фурье . . . . .2.2. Наводящие соображения . . . . . . . .2.3. Определение и свойства .
. . . . . . .2.4. Периодичность по времени . . . . . . .2.5. Подмена частот . . . . . . . . . . . . .2.6. Узлы обратной сетки . . . . . . . . . .2.7. Эффект частокола . . . . . . . . . . .2.8. Окно Ханна . . . . . . . . . . . . . . .2.9. Другие оконные функции . . . . . . .2.10. Быстрое преобразование Фурье . . . .2.10.1. БПФ и вычисление полиномов2.10.2. Запись БПФ через матрицы . .2.10.3. Общий случай составных . .2.10.4. Cлучай простого .
. . . . . .2.11. Библиотека FFTW . . . . . . . . . . .2.11.1. Установка . . . . . . . . . . . . .2.11.2. Использование . . . . . . . . . .Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . .3......................................................................................................................................................................................................5569111314161818192122232627293031333436373943464950535455575860663. Уравнение теплопроводности3.1. Граничные условия .
. . . . . . .3.2. Явная схема . . . . . . . . . . . .3.3. Неявная схема . . . . . . . . . . .3.4. Схема Кранка — Николсона . . .3.5. Обобщение на двумерный случай3.6. Продольно-поперечная схема . .3.7. Локально одномерный метод . . .Упражнения . . . . . . . . . . . . . . .........................................Линейный канал .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Бездисперсионный канал . . . . . . . . . . . . . . . . .Солитоны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Физическое обоснование . . . . . . . . . . . . . . . . .Численные методы . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .4.5.1. Метод расщепления по физическим процессам4.5.2. Переход к представлению взаимодействия . . .Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................4. Нелинейное уравнение Шрёдингера4.1.4.2.4.3.4.4.4.5.Литература........................................................................6767697375788082838586878890929396991024ПредисловиеНастоящее учебное пособие соответствует материалу лекций 7–11по дисциплине «Основы вычислительной физики», читаемых студентам 4-го курса физического факультета НГУ, и содержит рассмотрение ряда базовых вопросов методов вычислений, используемых в физике. Первая глава данного пособия знакомит читателей с численнымиметодами решения задач линейной алгебры, включая решение системлинейных уравнений, вычисление определителя и обратной матрицы,поиск собственных значений и собственных векторов.
Во второй главе рассматриваются вопросы, связанные с дискретным преобразованием Фурье: эффекты подмены частот и частокола, алгоритмы быстрого преобразования Фурье и их эффективная программная реализациина языке C — библиотека FFTW. Третья глава посвящена численному решению уравнения теплопроводности, на примере которого рассматриваются вопросы устойчивости явных и неявных численных схем.Четвёртая, последняя, глава знакомит читателей с нелинейным уравнением Шрёдингера, его физической интерпретацией, точными аналитическими решениями, полученными в некоторых частных случаях, иметодами численного интегрирования, включая метод Фурье расщепления по физическим процессам и разностные методы в представлении взаимодействия.
Отбор материала и уровень строгости изложенияадаптированы для студентов-физиков.Автор выражает глубокую признательность Александру ИвановичуЧерных и Максиму Александровичу Никулину за ценный вклад в отборматериала курса лекций, целый ряд исключительно полезных советов,идей и критических замечаний, позволивших существенно улучшитьтекст пособия.1. Задачи линейной алгебрыЧто общего между моделированием аэродинамических потоков,расчётом опор моста, поиском мод волоконного фотонного кристаллаи определением уровней энергии квантовой частицы в потенциальнойяме? Эффективные алгоритмы решения всех перечисленных и многихдругих физических задач основаны на сведении их к задачам линейнойалгебры: решению систем линейных уравнений, вычислению определителей матриц, нахождению обратных матриц и поиску собственныхчисел и собственных векторов матрицы. Поскольку ЭВМ может оперировать лишь с конечным набором дискретных значений, матрицыи векторы возникают в численном моделировании естественным обра5зом как конечномерные аналоги операторов в Гильбертовых пространствах.
Так, например, для решения уравнений в частных производныхнепрерывные функции заменяются их дискретными сеточными аналогами, а действующие на них дифференциальные операторы — разностными выражениями [1, с. 78], связывающими значения функции внескольких соседних узлах сетки. Таким образом, дискретизация задач с операторами в частных производных обычно приводит к системелинейных уравнений1 , количество которых пропорционально числу узлов сетки и, следовательно, может быть достаточно большим числом.В данной главе мы познакомимся с некоторыми наиболее простымиметодами решения основных задач линейной алгебры.1.1.
Метод исключения ГауссаПусть необходимо решить систему линейных алгебраических уравнений:∑︁ = ,(1)=1где — матрица × , x = (1 , . . . , ) — искомый вектор, b =(1 , . . . , ) — известный вектор правых частей уравнений. Из курсаалгебры известно, что в случае невырожденной матрицы система (1)имеет единственное решение, которое может быть записано по формулеКрамера:∆ =,(2)∆где ∆ = det — определитель матрицы системы, ∆ — определительматрицы , в которой -й столбец был заменен на вектор b. Если длянахождения по формуле (2) мы будем вычислять определители с помощью разложения по строке (столбцу), то для нахождения всех компонент вектора x нам потребуется совершить (2 (+1)!) арифметических операций. Предельное расчётное быстродействие самого мощногона сегодняшний день суперкомпьютера2 позволит вычислить за два года работы определитель матрицы размером всего лишь = 19.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
