1626435587-55f52a4de97976f3c6215fa7c103f544 (844241), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Сравните результат с апостериорной оценкойпогрешности, полученной для случайной симметричной матрицы.9) Используя метод вращений Якоби, в условиях первой задачи найдите уровней энергии и соответствующих им волновых функций, исследуйте точность численных решений в зависимости отномера уровня.2. Дискретное преобразование ФурьеПреобразование Фурье широко используется в теоретической физике и научно-технических расчётах, существенно упрощая анализ и понимание многих физических процессов и явлений в оптике, акустике,классической и квантовой механике, термодинамике и других областях.Два ключевых источника информации об окружающем нас мире — зрение и слух — позволяют непосредственно воспринимать спектры оптических и акустических колебаний.
Многие линейные дифференциальные уравнения могут быть легко решены сведением к алгебраическимуравнениям в Фурье-представлении. Кроме того, быстрое преобразование Фурье лежит в основе эффективных алгоритмов расщепленияпо физическим процессам для интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Всё это обуславливаетнеобходимость знакомства с базовыми понятиями и алгоритмами преобразования Фурье для дискретного набора данных на ЭВМ, чему ипосвящена данная глава.Оговоримся сразу, что анализ ряда аспектов дискретного преобразования Фурье выполнен в данной главе последовательно в спектральном и временно́м представлении. В этом смысле представленное изложение может показаться кому-то из читателей излишне сложным иизбыточным. Разумеется, можно было бы ограничиться лишь одним изальтернативных объяснений каждого эффекта, однако опыт показывает, что на первый взгляд простые вопросы, связанные с преобразованием Фурье, способны вызвать затруднение не только у студентов, нои аспирантов и научных сотрудников.
В этой связи мы осознанно допустили некоторую избыточность изложения в данной главе в надежде нато, что умение посмотреть на рассматриваемые здесь вопросы с разныхточек зрения окажется полезным.292.1. Преобразованиеvs.ряд ФурьеИз курса анализа известно интегральное преобразование Фурье+∞∫︁ () ,˜() =+∞∫︁˜()− ,1 () =2(51)−∞−∞а также ряды Фурье -периодической функции:+∞∑︁ () = ,=−∞1=∫︁(52) ()− ,0где = 2/ .
Напомним, что выбор знака в показателе экспоненты прямого преобразования Фурье, как и выбор коэффициента перединтегралом является произвольным; важно лишь, чтобы знаки в показателе в определении прямого и обратного преобразования были противоположными, а произведение коэффициентов перед интеграламибыло равно (2)−1 .Напомним также о тесной связи между интегральным преобразованием (51) и рядами Фурье (52). Для этого рассмотрим интегральноепреобразование Фурье от -периодической функции (); распишем интеграл по всей числовой оси8 на сумму интегралов по отрезкам длины и воспользуемся условием ( + ) = () ∀ :˜() =+∞∑︁=−∞(+1)∫︁ () = lim →∞∑︁=−∫︁′ (′ ) ′ .0В соответствии с (51) интеграл в полученном выражении есть преобразование Фурье от одного периода функции (), т.
е. от 1 (): 1 ≡ ()при 0 ≤ < и 1 ≡ 0 при ∈/ [0, ). Вычисляя сумму экспонент ипереходя к пределу → ∞, имеем:(︂)︂+∞2 ∑︁2˜˜ () = 1 () · −.(53) =−∞Полученное выражение (53) иллюстрирует хорошо известный в физике факт: спектр регулярной последовательности большого числа 8 Мы представляем читателю возможность самостоятельно провести более строгие выкладки, регуляризовав выражения с помощью множителя exp(−||) с последующим переходом к пределу → 0 для обеспечения сходимости интегралов ивозможности смены порядка суммирования и интегрирования.30одинаковых сигналов имеет вид эквидистантного набора узких линий.Интервал между спектральными линиями равен частоте повторениясигналов, а их огибающая совпадает со спектром единичного сигнала впоследовательности. В пределе к → ∞ последовательность сигналовпереходит в периодическую функцию времени (), а её спектр можетбыть описан дискретным бесконечным набором коэффициентов Фурье(суть коээфициенты перед -функциями в (53)).
В таком случае обычнооперируют с рядами Фурье, что избавляет от необходимости работатьс обобщёнными функциями. Однако полезно понимать и помнить, чтопо сути в обоих случаях выполняется одно и то же преобразование.2.2. Наводящие соображенияЗададимся теперь вопросом, как выполнить преобразование Фурьечисленно и какое определение для этого следует использовать. Однакопрежде чем давать формальное определение, как это обычно делается в учебниках по математике, рассмотрим наводящие соображения ипридём к этому определению путём логических рассуждений.
Тем читателям, для которых ближе и понятнее более строгий математическийподход, рекомендуем сразу перейти к следующему параграфу 2.3.Обратим внимание, что данные ранее определения (51) и (52) включают интегралы по бесконечной области либо суммы бесконечного ряда. Очевидно, что в численных расчётах область определения функцийи количество коэффициентов ряда будут конечными.Возьмём за основу формулу (51) и заменим в ней интеграл суммой,используя простейшую квадратурную формулу прямоугольников. Приэтом здесь и далее будем предполагать, что значения функции ()известны нам в узлах равномерной сетки , = 0, 1, − 1:−1 ∑︁˜ = exp( ),(54)=0где — ширина сетки.
Обратное преобразование запишем по аналогиис (51) и (54) в виде1 ∑︁ ˜ = exp(− ).(55) Обратим внимание, что функция (), определяемая своими значениями в узлах сетки, является периодической (55). Подчеркнём, чтоданное обстоятельство имеет более глубокую природу и не связано напрямую со сделанными выше предположениями при записи формулы31(55). В самом деле, как бы мы ни определили дискретное преобразование Фурье, оно непременно должно выражаться через сумму экпонентс некоторыми коэффициентами, причём число членов в такой суммеобязано бытьв силу ограниченности памяти и быстродействия ЭВМ — именно это обстоятельство и обуславливает периодичность функции (), получаемой в результате преобразования. Такимобразом, хотя мы и брали за основу формулы интегрального преобразования Фурье (51), дискретное преобразование Фурье записывается в виде суммы комплексных экспонент и приводит к периодическимфункциям, что делает его похожим на ряды Фурье (52).В силу симметрии прямого и обратного преобразований очевидно,что выражение (54) описывает периодическую функцию частоты .Действительно, если в формуле (54) заменить на + 2/ , где ≡ −0 — ширина -сетки, спектральные амплитуды ˜ не изменятсялибо приобретут фиксированный фазовый сдвиг, не зависящий от .Данный эффект, известный как подмена частот (aliasing), подробнеерассмотрен в п.
2.5.До сих пор мы ничего не сказали об узлах -сетки: формально выражение (54) допускает вычисление функции ˜() в произвольных точках . Однако при этом нужно иметь в виду следующие обстоятельства:конечным1) как уже было сказано выше, функция ˜() имеет период, равный 2/ , поэтому имеет смысл ограничить значения одним(первым) периодом;2) нулевая частота имеет важный физический смысл (среднее значение сигнала), поэтому один из узлов сетки должен соответствовать = 0 (для определённости возьмём 0 = 0);3) дискретное преобразование Фурье (54) можно рассматривать каклинейное преобразование комплексных коэффициентов в коэффициенты ˜ и обратно. Мы хотим определить преобразованиятаким образом, чтобы они были однозначными и взаимно обратными.
Следовательно, они должны осуществляться квадратнымикомплексными матрицами × , т. е. число узлов на - и -сеткахдолжно быть одинаковым. Далее, чтобы прямое и обратное преобразования имели симметричный вид, -сетка также должна бытьравномерной, откуда = 2/ , а = /.322.3. Определение и свойстваС учётом сказанного выше можно переписать формулы (54, 55) идать формальное определение дискертного преобразования Фурье:(︂)︂(︂)︂−1−1∑︁∑︁22˜ = + exp, = −˜ exp −, (56)=0=0где + и − — коэффициенты, причём + − = 1/. Прежде чем переходить к рассмотрению эффектов и особенностей использования дискретного преобразования Фурье в практике вычислений, полезно вначале формально посмотреть на выражения (56) как на взаимно однозначное отображение набора коэффициентов ↔ ˜ .
Перечислимосновные свойства этих преобразований:1) Дискретное преобразование Фурье есть линейное преобразование+векторного пространства C с матрицами = + exp(2/)−и = − exp(−2/).2) Матрицы прямого и обратного дискретного преобразования Фу+ −рье взаимно обратны: = , так что суперпозиция прямогои обратного преобразований есть тождественное преобразование.√3) При симметричном выборе коэффициентов + = − = 1/ матрицы преобразования (56) унитарны: ( ± )† = ∓ = ( ± )−1 .4) Как следствие, дискретное преобразование Фурье (56) сохраняетквадратичную норму (энергию). Кроме того, дискретное преобразование Фурье является хорошо обусловленным, т. е. последовательное применение прямого и обратного преобразований оставляет вектор неизменным с точностью порядка машинного .5) Применение формул (56) с предварительно вычисленными комплексными экспонентами требует выполнения (2 ) арифметических операций; в п.
2.10 будет рассмотрена идея более эффективного алгоритма, позволяющего уменьшить число операций до( log ).Хотя в некоторых случаях и бывает полезным представлять себедискретное преобразование Фурье в виде унитарной матрицы над C ,в большинстве задач продуктивнее смотреть на (56) как на отображение функций () ↔ ˜(), каждая из которых задана на своей сетке,содержащей узлов. Такой подход позволяет увидеть совершенно инойнабор свойств и особенностей использования преобразований (56), о которых пойдёт речь в следующих параграфах.332.4. Периодичность по времениНа с. 31 мы уже упоминали о том, что дискретное преобразованиеФурье (55) порождает периодические функции времени.
Рассмотримсейчас этот вопрос более подробно на примере распространения сигнала 0 () вдоль оси в линии связи:1 += 0. (57)Здесь — комплексная огибающая передаваемого сигнала, — групповая скорость распространения сигнала вдоль линии связи, и —пространственная координата и время.Общее решение и решение задачи Коши (, ) = ( − ) =0 ( − / ) немедленно выписывается методом характеристик: прираспространении вдоль линии связи на расстояние сигнал задерживается во времени на / .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
