1626435587-55f52a4de97976f3c6215fa7c103f544 (844241), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Как и раньше, проследим за изменением амплитуды базисного решения = sin(ℎ). Используя полученное выше выражение (93), имеем:(︂(︂)︂)︂4ℎ2+1· 1 + 2 sin= ,ℎ2откуда немедленно следует, что |+1 | < | | ∀, ℎ > 0, т. е. неявнаясхема (98).Очевидно, что неявная схема обеспечивает первый порядок аппроксимации по времени и второй — по . При этом накопление ошибкиможет происходить ещё быстрее, чем при использовании явной схемы,что связано с решением системы большого количества (−2) линейныхуравнений на каждом шаге .Действуя аналогично изложенному в конце п.
3.2, несложно получить выражение для невязки точного решения на схеме (98):безусловно устойчива = −ℎ2− + . . . = ( + ℎ2 ).212(99)Из сравнения (99) с (97) видно, что коэффициенты при в невязкепротивоположны для явной (89) и неявной (98) схем. Это позволяетпостроить численную схему, обеспечивающую второй порядок аппроксимации по и .3.4. Схема Кранка — НиколсонаЗаписывая полусумму явной (89) и неявной (98) схем и используяˆ для разностного оператора (92), получимдля краткости обозначение схему:Кранка — Николсона+1+1 − 1 ˆ 1 ˆ +1 + = ++.2 2 2(100)симметричнаяполунеявная явно-Неявная схема (100) также известна каксхема и схема[2] (также встречаются названияисхема, которые могут ввести в заблуждение неподготовленногочитателя).
Шаблон схемы (100) показан на рис. 11 (г). Из симметрии75с полусуммойнеявнаясхемы, а также полученных выше выражений для невязки явной (97)и неявной (99) схем несложно понять, что схема Кранка — Николсонаобеспечивает второй порядок аппроксимации по и , т. е. подстановкаточного решения в (100) даст невязку = ( 2 + ℎ2 ).Исследуем устойчивость схемы (100).
Подставляя в неё = sin(ℎ), полагая ≡ 0 и используя (93), имеем:(︂(︂)︂)︂(︂(︂)︂)︂2ℎ2ℎ22+1· 1 + 2 sin= · 1 − 2 sinℎ2ℎ2.Вводя для краткости обозначение κ = (2 /ℎ2 ) sin2 (ℎ/2) и учитывая,что κ > 0 ∀, ℎ, получаем⃒ +1 ⃒ ⃒⃒⃒⃒ ⃒1 − κ ⃒⃒⃒=⃒⃒⃒ ⃒ ⃒ 1 + κ ⃒ < 1 ∀, ℎ.Таким образом, амплитуда всех базисных решений монотонно убывает,и схема (100) является безусловно устойчивой.Как и в случае рассмотренной в предыдущем параграфе неявнойсхемы (98), расчёт по схеме Кранка — Николсона (100) требует использования метода прогонки для решения системы линейных уравненийна величины +1 ( = 1, . .
. , − 1) на каждом шаге . Коэффициенты трёхдиагональной матрицы (18) при решении задачи Дирихле снулевыми условиями на границе имеют вид:{︂0, = 1, =− 12 /ℎ2 , = 2, . . . , − 1; = 1 + 2 ;{︂ ℎ1− 2 /ℎ2 , = 1, . . . , − 2, =0, = − 1;)︁ (︁ ˆ = + + + +1 .2В заключение данного параграфа сравним рассмотренные вышечисленные схемы для решения одномерного уравнения теплопроводности (86). На рис. 14 показана зависимость погрешности численногорешения от количества узлов временно́й сетки:⃒⃒( / ) ≡ max ⃒(, ) − (, )⃒,где = const — верхний предел интегрирования по . На каждом графике показаны результаты расчётов по трём численным схемам: явной76n = 102(а)100Явная схемаНеявная 1го пор.Схема К.–Н.10-210-410-610-8102104ПогрешностьПогрешностьn = 103(б)10010-210-410-610-8106Количество узлов t-сетки (T / τ)Явная схемаНеявная 1го пор.Схема К.–Н.102104106Количество узлов t-сетки (T / τ)Зависимость погрешности численного решения, построенного по явной схеме (89), неявной схеме первого порядка (98) и схеме Кранка — Николсона (100), от числа узлов временно́й сетки для (а) = 102 и (б) = 103 .Рис.
14.схеме (89), неявной схеме первого порядка (98) и схеме Кранка — Николсона (100). Графики (а, б) соответствуют расчётам с различнымчислом узлов пространственной сетки: = 102 и 103 соответственно.Обратим внимание, что график погрешности для явной схемы построен начиная с достаточно большого числа шагов ( / & 8 × 103 для = 102 и / & 7 × 106 для = 103 ): поскольку явная схема (89)является неустойчивой при > ℎ2 /2, построение численного решенияпо явной схеме возможно только при использовании достаточно малойвеличины шага (достаточно большого числа шагов / ).Неявная схема (98) в силу абсолютной устойчивости позволяет получать численное решение при любой величине шага .
Однако медленное (линейное по величине шага ) убывание погрешности практическинивелирует её преимущество перед явной схемой (89). Действительно,сокращение числа шагов по времени за счёт перехода от явной схемы (89) к неявной схеме (98), хотя и возможно, но ведёт к пропорциональному снижению точности (увеличению погрешности численногорешения).И только применение неявной схемы более высокого (второго) порядка точности по позволяет полностью реализовать преимуществоабсолютно устойчивых схем. Использование схемы Кранка — Николсона (100) позволяет существенно (до двух-трёх порядков величины для = 102 и 103 ) сократить число шагов по времени и, соответственно, повысить скорость выполнения расчётов без потери точности численногорешения, см.
рис. 14.77Наконец, обратим внимание, что при достаточно большом числе шагов ( / ) погрешности численных решений, полученных различнымиметодами, выходят на одну и ту же асимптоту (при фиксированном)28 , см. рис. 14. Очевидно, это связано с тем, что в погрешностичисленного решения = ( + ℎ2 ) первое слагаемое при малых становится пренебрежимо мало, так что погрешность определяетсяшагом ℎ пространственной сетки и не зависит от порядка точности использованной схемы. При увеличении с 102 до 103 асимптотическая ошибка уменьшается с ≈ 10−5 до ≈ 10−7 , что согласуется свторым порядком точности рассматриваемых численных схем по шагупространственной сетки ℎ.3.5. Обобщение на двумерный случайРассмотрим уравнение теплопроводности в двумерном случае: = 2 + 2 + (, , ).(101)Численное решение уравнения (101) будем искать на равномерной сетке с шагом ℎ и ℎ по пространственным координатам , и повремени .
Аналогично одномерному уравнению, для обозначения сеточных функций условимся использовать нижние индексы для указания пространственных координат и верхний индекс для времени:≡ ( , , ).Несложно построить двумерное обобщение явной схемы из п. 3.2Для этого, как и в одномерном случае, заменим частные производныеконечными разностями в точке ( , , ), совершая при этом ошибку( + ℎ2 + ℎ2 ):+1− ˆ + ˆ + ,=(102)ˆ, ˆ обозначают разностные операторы, аппроксимирующиегде частные производные 2 и 2 соответственно:ˆ ≡ˆ ≡+1,− 2+ −1,,ℎ2,+1− 2+ ,−1.ℎ2(103)(104)28 При дальнейшем уменьшении шага погрешность численного решения вновьначнёт возрастать из-за ошибок округления.78Для того, чтобы сделать один шаг по времени с использованием схемы(102) необходимо выполнить ( ) арифметических операций, где и — число узлов сетки по и соответственно.Подобно явной схеме для одномерного уравнения, схема (102) является условно устойчивой.
В этом несложно убедиться, рассматриваяэволюцию во времени амплитуды ≡ ( ) базисной функции= sin( ℎ ) sin( ℎ ).(105)Повторяя выкладки из п. 3.2 на с. 71, получим, что функция (105) явˆ, ˆ (ср. с формулойляется собственной для разностных операторов (93) на с. 71):)︂(︂4, ℎ,2ˆ· .(106), = − 2 sinℎ,2Подставляя полученный результат в численную схему (102), получаемвыражение для амплитуды базисной функции (105) на ( + 1)-м слое:(︂(︂)︂(︂)︂)︂4 ℎ4 ℎ22+1= · 1 − 2 sin− 2 sin.ℎ2ℎ2Амплитуда всех базисных решений (∀ , ) будет убывать с ростом при условии(︂)︂−11 11<+ 2,(107)2 ℎ2ℎчто является обобщением условия устойчивости (95) явной схемы надвумерный случай.
Таким образом, схема (102) является условно устойчивой и обеспечивает первый порядок точности по времени и второй —по пространственным координатам.Обобщения неявной схемы (98) и схемы Кранка — Николсона (100)на случай двух и более пространственных переменных, хотя и могутбыть легко построены, но на практике не используются, уступая вэффективности более экономичным численным схемам, которые будут рассмотрены нами ниже. Поймём причины низкой эффективностидвумерного обобщения схем (98), (100) на примере неявной схемы:+1− ˆ +1 + ˆ +1 + +1 .=(108)Для того, чтобы сделать шаг по времени и найти численное решение на следующем слое по времени необходимо решить систему из79+1 × линейных алгебраических уравнений на величины при0 ≤ < и 0 ≤ < .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
