1626435587-55f52a4de97976f3c6215fa7c103f544 (844241), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Линейный каналРассмотрим распространение оптических импульсов в линейном канале связи. При = 0 уравнение (112) переходит в линейное дифференциальное уравнение второго порядка: = 21 2 . Данное уравнениес точностью до переобозначений совпадает с квантовомеханическимуравнением Шрёдингера для свободной частицы. Его решение можетбыть легко выписано через функцию Грина после выполнения преоб˜ ) ⇒разования Фурье по времени: → − ⇒ ˜ (, ) = 2 2 2 (,(︂)︂˜ ) = (0,˜ ) exp 2 2 .(,(113)2Выполняя∫︀ обратное преобразование Фурье, можно выписать решение(, ) = (0, ′ ) (, ′ ) ′ через функцию Грина :1(, ) =2′+∞(︂)︂∫︁2′exp2 + − .2(114)−∞В случае 2 = 0 выражение (114) переходит в (, ′ ) = (, ′ ), так чтоогибающая волнового пакета не изменяется при распространении по :(, ) = (, 0).При 2 ̸= 0 распространение пакета сопровождается набегом фазыв соответствии с (113), при этом непосредственно измеряемая физиче2˜ская величина — спектральная плотность мощности |()|— остаётся2˜ )| = 0.
Это соответствует неизменности частопостоянной: |(,ты (цвета) излучения при распространении оптических волн в линейном режиме (в пределе малой мощности). В противоположность этому,временна́я структура волновых пакетов при распространении в линейной среде с дисперсией претерпевает изменения: происходит искажение86формы импульсов и/или изменение их длительности. В частности, гауссовы импульсы (0, ) = 0 exp(− 12 (/0 )2 ) после прохождения в средерасстояния остаются гауссовыми, изменяя длительность и приобретая частотную модуляцию:)︃(︃ )︃(︃ 1 − 2 ( 0 )2 · /− 2 ( 0 )20(, ) = √︁exp,exp1 + ( )21 + ( )21 − sgn2где(115) = 02 /|2 |дисперсионную длинуобозначает— масштаб расстояния, на которомпроявляются изменения огибающей волнового пакета за счёт дисперсии групповых скоростей.Как следует из полученного выражения, длительность гауссовогоимпульса увеличивается при распространении в линейном канале связипо закону√︁ () = 021 + (/ ) .При малых асимптотика квадратична по , поскольку при = 0 импульс является, и его длительность минимальна при заданной ширине спектра.
При ≫ асимптотика линейна, () ∼ 0 / : излучение на переднем и заднем фронтах импульсаимеет разные частоты и распространяется с различными скоростямииз-за дисперсии, что и приводит к росту длительности, пропорциональному ширине спектра 1/0 , дисперсии |2 | и пройденному расстоянию .
Из данных рассуждений очевидно, что линейная асимптотика длительности ∝ при ≫ имеет место для импульсов произвольнойформы.спектрально ограниченным4.2. Бездисперсионный каналРассмотрим уравнение (112) в противоположном предельном случае: ̸= 0 , 2 = 0. При этом уравнение (112) перейдёт в = ||2 ,что позволяет выписать его точное решение:() = (0) exp(||2 ).(116)Видно, что при распространении импульса в оптическом волокне снулевой дисперсией временна́я форма сигнала |()|2 остаётся неизменной. При этом импульс приобретает нелинейный набег фазы =87ЧастотаМощность(в)Мощность(б)Мощность(а)ЧастотаЧастотаЭволюция спектра при распространении гауссовского импульса внелинейной среде без дисперсии: (а) = 0, (б) = 5 , (в) = 15Рис.
16.||2 = () , где — мгновенная мощность. Набег фазы приводит к сдвигу частоты: = ˙ = ˙ .фазовая самомодуляцияДанный эффект известен каки обусловлен зависимостью показателя преломления оптической среды от мощностираспространяющегося в среде излучения. Нелинейный сдвиг частотымаксимален на фронтах импульса, уменьшаясь на краях (в силу ≈ 0)и обращаясь в ноль в центре импульса (в точке максимума), где ˙ = 0.По аналогии с (115) введёмдлину, на которой проявляется фазовая самомодуляция:нелинейную =1.(117)На рис. 16 показаны спектры гауссовского импульса после прохождения различных расстояний в нелинейной среде без дисперсии.4.3. СолитоныИспользуя метод обратной задачи рассеяния [A12], можно получитьаналитическое решение уравнения (112) ещё в одном частном случае,когда нелинейный и дисперсионный масштабы длины в точности равны. В случае аномальной дисперсии групповых скоростей (2 < 0) дисперсия и нелинейность компенсируют друг друга для оптических— импульсов с огибающей в форме гиперболического секанса:со-литонов(0, ) =0,cosh(/ )|0 |2 =88−2, 22 < 0.(118)Солитоны (118) распространяются в среде с нелинейностью и дисперсией без изменения формы и спектра на большие расстояния30 , приобретая при этом лишь набег общей фазы (аргумента комплекснозначнойамплитуды ):(, ) = (0, )κ ,(119)в чём несложно убедиться, подставив (118) в (119) и далее в (112).Помимосолитонов (118) уравнение (112) имеетрешения в виде солитонов:фундаментальныхвысших порядков(0, ) =0,cosh(/ )|0 |2 =−2 2, 22 < 0,(120)порядкомгде = 1, 2, .
. . называютсолитона. При ≥ 2 солитоныимеют осциллирующую динамику, при распространении вдоль периодически распадаясь и вновь восстанавливая свою форму31 . Периодосцилляций равен · /2 [A13, с. 115].Точные аналитические решения, полученные выше в пп. 4.1–4.3, понадобятся нам для проверки правильности численного моделирования.Другим регулярным способом контроля правильности реализации численных схем и точности вычислений является проверка сохранения интегралов движения. Очевидным примеромвеличины, сохраняющейся∫︀в уравнении (112), является энергия ||2 . Чтобы убедиться в сохранении энергии, необходимо умножить уравнение (112) на * и прибавить к нему комплексно-сопряжённое уравнение, умноженное на :* × × = − 2 2 + ||2 ,2* = + 2 2 * − ||2 * .2Проинтегрировав сумму полученных уравнений по времени, получим+∞+∞∫︁∫︁2|| = 2(* − * ) .2−∞−∞30 В соответствии с уравнением (112) солитоны могут распространяться на скольугодно большие расстояния, однако в реальных линиях связи имеются оптическиепотери, комбинационное рассеяние и другие физические эффекты, ограничивающиедальностьраспространения солитонов.31 Комбинационное рассеяние и другие физические эффекты, не учитываемые вуравнении (112), могут приводить к разрушению солитонов высоких порядков, врезультате чего решение (, ) не будет периодической функцией .89Интегрируя по частям и учитывая ограниченность∫︀ волнового пакета||2 = 0, что иво времени (|()| → 0 при → ±∞), получаем требовалось показать.4.4.
Физическое обоснованиеСкажем ещё несколько слов о физическом смысле членов в правойчасти нелинейного уравнения Шрёдингера (112). Обратим внимание,что набег фазы = 12 2 2 в (113) за счёт дисперсии групповых скоростей есть не что иное, как квадратичный член ряда Тейлора для разложения волнового числа32 (). Таким образом, обобщение решения(113) имеет вид:(︃ ∞)︃∑︁ ()˜˜˜(, ) = (0, )= (0, ) exp .(121)!=0Член суммы с = 0 в показателе экспоненты (121) описывает общий набег фазы волнового пакета и может быть устранён заменой → exp(−0 ). Следующий член ( = 1) описывает запаздываниеволнового пакета при распространении.
В этом несложно убедиться,если рассмотреть () = 1 , что приводит нас к функции Грина1(, ) =2′+∞∫︁exp (1 + ′ − ) = ( − ′ − 1 ),−∞откуда немедленно следует (, ) = (0, − 1 ). Таким образом, член1 в (121) описывает распространение волнового пакета без измененияформы с групповой скоростью = 1/1 . Для упрощения уравненийэтот член также исключают из рассмотрения, переходя в систему координат (, ), бегущую вместе с пакетом с его групповой скоростью: =−= − 1 .(122)Ввиду того, что неподвижная лабораторная система координат в расчётах не используется, далее мы будем всюду подразумевать под (, )бегущие координаты.32 При рассмотрении задачи распространения плоских волн в однородном пространстве E ∝ exp( −) аналогичная величина есть () = ()/.
В нелинейной волоконной оптике постоянная распространения (), помимо материальноговклада в дисперсию групповых скоростей (), имеет также волноводный вклад,являясь решением спектральной задачи на моды волоконного волновода.90После указанных замен и переобозначений суммирование ряда Тейлора в (121) начинается с = 2. В случае, когда ширины рассматриваемых оптических спектров невелики (что справедливо для большинствателекоммуникационных задач), высшими членами ряда Тейлора в (121)пренебрегают, в результате чего в уравнение (112) входит единственноеслагаемое, описывающее хроматическую дисперсию групповых скоростей.Аналогично кубическая нелинейность ||2 в (112) также является первым ненулевым нелинейным членом в разложении нелинейногооператора по степеням . Квадратичный по член, который в общемслучае даёт более сильный вклад в нелинейность, равен нулю в средахс центром инверсии.
Важным с практической точки зрения примеромтаких сред является плавленый кварц SiO2 , из которого изготавливаюттелекоммуникационные оптические волокна. Молекула кварца линейна (O = Si = O) и обладает центром инверсии (переходит сама в себяпри преобразовании инверсии r → −r). В отсутствии квадратичнойнелинейности в средах с центром инверсии несложно убедиться, записав вектор поляризации среды P:(1)(2)(3) = + + + . . . ,где E — вектор электрического поля, (1) — линейная диэлектрическаявосприимчивость (поляризуемость) среды, (2) и (3) — нелинейнаявосприимчивость среды второго и третьего порядка (суть коэффициенты разложения поляризации среды P в ряд Тейлора по напряжённости поля E).
Нижние индексы обозначают компоненты тензоров, поповторяющимся индексам подразумевается суммирование. ПосколькуE и P являютсявекторами и меняют знак при инверсииˆ, должно выполнятьсяˆ (2) = −(2) .(123)истиннымиС другой стороны, поскольку молекулы среды переходят сами в себяпри инверсии ˆ, справедливо равенствоˆ (2) = (2) .(124)Одновременное выполнение (123) и (124) возможно только при равенстве нулю всех компонентов тензора (2) , что и требовалось показать.Таким образом, в средах с центром инверсии кубический член являетсямладшим нелинейным порядком разложения поляризации среды P пополю E.Строгий вывод уравнения (112) и более подробное рассмотрениеописываемых им физических эффектов можно найти в монографии91[A14] (первое издание также есть в русском переводе [A13]).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
