Деменков Н.П. - Вычислительные методы решения задач оптимального управления на основе принципа максимума Понтрягина - 2015 (842911), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Еслирешать данную задачу, накладывая ограничения на нагрев, то получим задачу оптимального управления с фиксированным временем окончания процесса (с фиксированным временем перехода).Это время не может быть больше времени окончания процесса взадаче быстродействия, поскольку в таком случае исполнительноеустройство производило бы работу за время, меньшее, чем минимальное время необходимое для выполнения этой работы, т. е. система отрабатывала бы управление за такое время, для отработкикоторого ей недостаточно мощности.Q(t)a(t)17,516012,51207,580402,54оРис.81216tо2.8.
График переходного проРис.цесса по угловой скорости41216t2.9. График переходногопроцесса по углу поворотаСхема моделирования рулевого привода вна рис.8Simulink приведена2.10.Найдем время перехода при ограничении на нагрев:lklkf2Q = Ri dt =Riоtк2f dtRi 2 tк s А;оАs--2;Ritкs1462 =0,83.3,8·6,851>----1Q-Ш------r----lBSaturationIntegratorGainOmegaМс/ 1 1 - - - - - - - - - - - - 'ConstantIntegrator 1 AlphaProductАJntegrator 2ResistorРис.2.10.Схема моделирования синтезированного рулевого приводавSimulinkПолучили время перехода, много меньшее времени перехода взадаче быстродействия.
Таким образом,при заданных исходныхданных невозможно выполнить ограничение по нагреву. Следовательно, ограничение по нагреву увеличивает время переходного процесса.2.3. Синтезследящей системыС помощью принципа максимума выполним синтез оптимальной по быстродействию следящей системы при отработке линейноизменяющегося входного сигналаu(t) = at.Объект управления описывается уравнениемTd2x + dxdt 2 dt=Ки'где lиl ~ Иmах•Исходныеданные:x(to) = 2;x(to) = О;Т=1,5с;Иmах = 220; а = 1, 4с- 1 •Введем переменные х1= х,х2= х,хз=и=0 902·''и представим уравнение, описывающее объект управления, в форме Коши:52Кх1=х2;Кх,3 -х2.(2.2)Х2=---Тхз= а.Так как требуется перевести систему из одного положения вдругоезаминимальнодопустимоевремя,имеемзадачумаксимального быстродействия с функционалом качестваt1Jf= dt = t1 - to.toСледуя принципу максимума, дополнительное уравнение длякоординаты хо запишем в видехо(2.3)=1 .Выражение для гамильтониана:Н=~L,.Pifi( )=х,иро-х2)+ р1х2 + р2 (Кх,з-- + рза.Тi=OСистема уравнений Эйлера-(2.4)Лагранжа для сопряженных переменных имеет вид.дНро=--=Одхо.дН;ро = С1 =ОР1=--= ;.дНдх2.= С 2;⇒ р2 = -ТС2 ( е11 т -1) + Сз;р1дх1р2 =--=-р1-1;1(2.5)+ р2-;ТдНКдхзтрз =--=-р2-где С1, С2, Сз, С4-константы интегрирования.Подставив в гамильтониан соотношения(2.5)для импульсов,получим53Кхз - Х2= -1 + С2х2 + [ -ТС2 ( е t/T -1 ) + Сз ]НТ+(2.6)В соответствии с принципом максимума оптимальное управлениеu*(t) находим из условия максимума по и гамильтониана (2.6).
Поскольку большинство слагаемых в системе(2.6)не зависит от и , тоu*(t) определим из условия максимума третьего слагаемого системы(2.6):И*(t) =J {+220 прир2 > О;р2.(ИmaxSign - - - =sign(p2)Интегрируя систему уравненийтем при и=-220,-220прир2(2.2), (2.3)при и=и исключая в интегралах времявокупность фазовых траекторий (рис.t,+220,а заполучаем со2.11 ):--·100 ........ ; ........ ; .. · ··200< О.''''''......... •........;'''''''''''······ •-· - ·· ·-· •' ·-·-----1'''''''''········1····· ··[···- ...•........
,.ЗЮ ······+·····+·······-400 ........ ; ........ ; ....... (.~Рис.2.11..1500.1(0).500О5001ООО15002000Фазовые траектории для И шах и И шinС учетом ограничения на u* (t) получим фазовой портрет оптимальной системы, приведенной на рис.542.12.Переключение системы будет происходить в точках пересечения (рис. 2.13) и* и Иmах или и* и -Иmах•Схема моделирования следящей системы с синтезированнымзаконом управления вSimulink приведена на рис. 2.14.хflt(c81(,ow_l...ilDffl ~ -_li"'А ~'J& /3 'J/500 ······,······,. ····,-······,······,······,-·····,-······,······,······ ,~...... ;...... ; .....
. ......, ...... ;...... i ..... , ......., ...... ;...... ;.''''''''': ·:::::Г:::J::::::I·· .. ::l·:::::!::::::г··:г:::J~·~·ГJ100-·· ···~······~---···+------~--- -·i······~······~-------~---··-~- --···~о······•······i·······!·······>····••:••····'······'·······>······•······'::;:::::1:1·100 ....•.
;······j······+······>······;··-500L.._---'-------'c__--LLU.,-2000 -1 ОООО1 ООО::::::···j······j·······(······:······1,.~ ······:·····+····j·······>······;······;······ .·····~······:······j2.12. Фазовый портрет оп-1111Рис.-Ш1.~2.13.тимальной системы++::: ·:~.т~.~т ~::::::г:: :: ::s:12000~Рис.::·200О200~6006001000Точки переключениясистемы[I}--s1gn_к_Ts + 1Transfer Fcn-1sIntegratorFcnf(u)Рис.2.14.Схема моделирования следящей системыс синтезированным законом управления вSimulinkВ блоке Fcn определеяется функция р 2 (t) и момент переключения tп.552.4.Посадка на поверхность планеты объектапостоянной массыОпределим оптимальную по расходу топлива тягу двигателяP(t)при посадке космического аппарата (КА) постоянной массыт на поверхность планеты, лишенной атмосферы, в функции отвысотыhи вертикальной скоростидится на высотеh = х1 (t)Космический аппарат нахоh '.и движется с вертикальной скоростьюh' =x2(t).Уравнения движения КА имеют видх1' (t) = х2 (t);х2,(2.7)P(t)(t)=--g,тгде IP(t)I ~ Ртах; g = соnst-ускорение планет; Ртах > mg.Количество потребляемого топлива определяется соотношениемfkfQ= lPU)ldt,toгдеtkне задано.Исходные данные: х10т= 4200;g= 5600;х20= -220; x1k = 38; x2k = -3,8;= 1,622.Расчеты проведем с использованием принципа максимума приспуске КА на Луну.В соответствии с принципом максимума введем в рассмотрение новую переменную хо, удовлетворяющуюуравнениюdxo(t) = IP(t)I.dtПрисоединив это уравнение к исходной системеиметь следующую систему уравнений:56(2.
7),будемх0 ' (t) = IP(t)I;1Х1 (t) = Х2 (t) ;х/ (t) = P(t) -g.тТягаP(t)является управлениемu(t).Функция Гамильтона для рассматриваемой задачи имеет видПринимаемро= -1 .Тогда управлениеи*,доставляющеемаксимум функции Н (р, х, и) , будет выглядеть так:О р2 < 1·' т'Р2Ртах, -> 1;ти *=DР2 < 1·,-.гmах,-тр2E[O,Pmax ], -= 1;тР2E[-Pmax, 0], -=-1.тСоставляющие вектор импульсов р 0 , р1 и р2 удовлетворяютсопряженной системе уравнений Эйлераdpo -_ -ан-О·-- 'dtdxodp1 _ ан _ .- - - -0'dtdx1dp2ан- = -- = -р1dtdx2-Лагранжа-= -1;Р1 = Р10 ;р2 = - p1ot + р20 ,Ро57где Р10= Р1 (О)= const = Р1 (tk) = P1k; Р20 = Р2 (О); P1k = 1; Р2 (tk) == P2k = 1.Найдем решение исходной системы при управлении и=ОиИ= Л =+Ртах•Для управления и!а при управлении и=Ополучимх1 (t) = - ~ gt 2 + cgt +с?;(2.8)х2 (t) = - gt + cg,= Л = ±Ртахимеемх1 (t) = ~ ( ~ - g}x2(t)=(~2+ cit + ci;(2.9)-g)t+ci.Управление, оптимальное по расходу топлива, может бытьследующим:{Ртах, О},{-Pmax,Pmax}, {O,Pmax} ..Очевидно, что оптимальным будет режим, при котором КАлетит сначала в свободном падении, а затем включает двигателина полную мощность (т.
е. вариант{O,Pmax}.Исходя из граничных условий определим постоянные с?, cg :{х1 (О)= с~ = х10;х2(О) = с 2 = х20.До включения двигателей состояние системы будет удовлетворять системе уравнений{(2.8):12х1 (tп)=-х2(tп)= -gtп + х20.2gtп+ х2оtп + х10;В этот момент включатся двигатели и состояние системы будет удовлетворять системе уравнений58(2.9):11 2xi(O) =с\= -2 gtп + х2оtп + xio;[х2(О)(2.10)= С2 = -gtп + х20,при этом состояние системы(2.10)будет определяться следующими уравнениями:x1(tk -t.)= ~(~ -g)(tk-1.)2 +ci(tk -tп)+cf =X1k;(2.11)Подставив в (2.11) вместо(2.1 О),cf, Ciрешим систему относительномя переключения tп =21,99189386;Для управления и=Оих эквиваленты из уравненийtk, tп ,откуда получим, что вре-q=-587,193111;~ =-261,6228310.найдем:х2 =±,Jx202 +2g(x10 -х1),а при управлении и= Л = ±Ртахх2 = ± (с1) 2 -имеем2(~ -g}с! -xi).Фазовые траектории КА при управлениина рис.{O,Pmax}приведены2.15.1 ООО500- 500-1000-4000Рис.2.15.о4000Фазовые траектории КА приуправлении {О, Ртах}59Чтобы ответить на вопросы, существуют ли начальные значенияположения и скорости КА, которые приводят к аварии, сколько существует оптимальных по расходу топлива решений, какова областьначальных состояний, для которой оптимальное по расходу топливарешение является единственным, следует обратиться к рис.Если КА находится в заштрихованной зоне2.16.рис.
2.16),(см.тоавария неизбежна, так как даже с максимальной тягой аппарат неуспеет затормозить до того, как его высота станет равной нулю.1000800600400200г----------------------===-о- 200- 400- 600- 800-1000L"""-'~ ~."1...L..L..L..L.-L....LL..L...L...L...L....L--L..J..<'--'--''--"--"--"-'"--'-"--'--'=-1ООО0Рис.20003000400050002.16. Зона аварии КА (заштрихована)Проведя моделирование при заданных начальных условиях спомощью МАTLAB,получим зависимость фазовых переменныхпри движении КА по оптимальной траектории (рис.мальную фазовую траекторию КА (рис.Х12.17)и опти2.18).(t)6000 ~ - - - - - - - - - - ~4000Рис.2 000выхо52025о ~------------~- 100- 200 г-----------...J-300 '-------'----'---..__-____.__ __,101520255о602.17.Зависимость фазопеременныхпридвиже-нии КА по оптимальной траекториио~-------------~-50Рис.2.18.Оптималь-пая фазовая траекто-- 100- 150рияКА- 200f--250f-~L-------- 300 - - - - ~1- - - - ~1- - - - ~о200040006000Область начальных состояний, для которой оптимальное порасходу топлива решение является единственным,определим посоотношениюХ2(Pmax< - (С21)2 - 2 --;;;- - g )(1С1 -Х1 ) •Если не учитывать возмущения, то оптимальное по расходутоплива решение является единственным.2.5.
Система управления спутникомНайдем, используя пршщип максимума Понтрягина, оптимальное управление, обеспечивающее за минимальное время переходспутника из любого отклоненного положения в установившееся нулевое состояние.Функциональная схема системы управления спутником пред-ставлена на рис. 2.19. Момент инерции спутника J= 2000 кг · м2•Исполнительными органами управления являются реактивные двигатели с регулируемой тягой, развивающие максимальный моментМmax= 45 Н · м.Начальное отклонение спутника составляет300°,аего начальная угловая скорость равна --40 град · с - l. Возмущения отсутствуют, поэтому уравнение движения спутника имеет вид610задkuVСпутникдвигатели(-)Рис.мРеактивныеРегуляторе2.19. Система управления спутником2Jd vdt 2=М· М = M(v).(2.12)'По условию задачи управляющий момент М должен быть сформирован так, чтобы спутник переходил из любого отклоненного положения в нормально ориентированное за минимальное время.
Поскольку тяга реактивных исполнительных двигателей конечна, тоуправляющий момент М ограничен:1м1 ~мmах•Для решения задачи преобразуем уравнение движения спутника(2.12). Для этого введем следующие обозначения:х1 =dvХ2 = -dt300nv· х10 = - - = 5 236 рад·'180''-40п; Х20 = - - =180k = МmaxJ=-0,698 рад · С- 1 ;452000= О 0225.'Тогда уравнение движения спутника(2.12)запишем в виде системы уравненийdx1dt-=х2 ·'dx2 =kиdt'где и -нормированная функция управления, модуль которой lи l ~ 1.Сформируем функцию Гамильтона:Н62= р1х2 + p2ku.Оптимальное по быстродействию управление осуществимо в томслучае, если реrулятор будет переключать исполнительное устройство по релейному закону в соответствии со знаком вспомогательнойфункциир2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
