Деменков Н.П. - Вычислительные методы решения задач оптимального управления на основе принципа максимума Понтрягина - 2015 (842911), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Однако условияоптимальности,получаемыеприегоприменениидлямногоста­дийных процессов, позволяют найти достаточно удобные алго­ритмы оптимизации.1.1. Постановка задачи синтеза оптимальных систем уравненияДля решения задачи оптимального управления составляют ма­тематическую модель управляемого объекта или процесса, описы­вающуюегоповедениевовремениподвлиянием управляющих7воздействий и собственного текущего состояния.

Математическаямодель для задачи оптимального управления включает в себя :формулировку цели управления, выраженную через критерий ка­чества управления; получение дифференциальных или разностныхуравнений, описывающих возможные способы движения объектауправления; определение ограничений на используемые ресурсы ввиде уравнений или неравенств.Задачу оптимального управления можно представить в видеструктуры, состоящей из цели управления, управляемого объекта,измерительной системы и вычислительного устройства, осуществля­ющего расчет оптимального управления (рис.тельного устройства-1.1 ).Задача вычисли­найти условия, связывающие Xk , и и Хизм.При решении задач оптимизации необходимо сначала выбрать исформулировать целевую функцию (выбрать критерий оптимально­сти), затем согласовать ее с имеющимися возможностями (т. е.

учестьограничения) и, наконец, реализовать способ достижения оптималь­ного значения целевой функции при учете ограничений.НеуправляемыеЦель управленияЗадание,хk'Jпереме нные! Возмущения (модель), wРасчетоптимальногоУправляющиепеременные, и Е ИУправляемыйобъектВекторсостояния, ХЕ х(модель)управленияИзмерительнаяХизмРис.система1.1.

Структура задачи оптимального управленияКритерий оптимальности может представлять собой техниче­ский или технико-экономический критерий, математическое вы­ражение которого есть функция или функционал координат про­цесса и управляющих воздействий. В управлении техническимисистемами наиболее распространенными являются различные ин­тегральные критерии.8В общем случае критерий оптимальности под интегралом со­держит нелинейную функциюLот вектора состояния х и векторауправления и (задача Лагранжа):fkJf= L(x(t), и (t), t)dt.toПри технической реализации систем управления обычно исполь­зуют простые критерии, включающие лишь основные требования ксистеме.

Например, в системах, оптимальных по быстродействию,функцияL = 1, и критерий оптимальности принимает видfkfJ = 1dt = tk - to = Т = min.toТакой критерий отражает требование минимизации времени пере­ходного процесса и используется при разработке приводов металло­режущих станков, исполнительных механизмов регуляторов газовыхтурбин и прокатных станов, быстродействующих самопишущих при­боров, систем управления движущимися объектами и др.Для задачи управления конечным состоянием ( задача Майера)при встрече двух тел в пространстве, например фрезы и заготовки,применяют критерий качества3J=lx(tk)-z(tk)I= I:[xi(tk)-zi(tk)]2 ,i=1где х (tk ) - координаты фрезы;z (tk ) - координаты заготовки.В обобщенной форме этот критерий можно представить в видеДля класса детерминированных систем в наиболее общем видекритерий оптимальности можно записать как задачу Больца:fkJf= Gk(x(tk), tk) + L(x(t), u(t), t)dt.toМодели управляемого объекта описывают, как правило, нели­нейным векторным дифференциальным уравнением9х= f(x,и, t).При синтезе управления предполагают, что все помехи отфиль­трованы.

Справедливость такой декомпозиции доказана только длялинейных систем, но естественность подхода делает его привлека­тельным для инженерной практики.Точность управления зависит также от строгости удовлетворе­ния концевым условиям.Граничные условия следует задавать таким образом, чтобы су­ществовал не единственный переход объекта из начального состоя­ния в конечное при соблюдении ограничений.Несущественные изменения (вариации) условий задачи должныприводить кнесущественным изменениям минимального значенияпоказателя качества.

В практике синтеза могут встречаться допол­нительные ограничения видаlkf N(x(t), u(t), t)dt = const.toНапример, это может быть ограничение количества топлива, мате­риальных и людских ресурсов, которое может быть затрачено нарешение задачи .Ограничения могут быть наложены как на управляющие воз­действиятак и на координаты системыlx1I ~ Xlmax, lx2I~ X2max, ...

,lxп l ~ X n max•Например, при управлении двигателем постоянного тока ограни­чены ток якоря (по условиям нагрева), напряжение (по условиямэлектрической прочности) и скорость вращения вала двигателя (поусловиям механической прочности), что не позволяет беспредель­но уменьшать время переходного процесса.Во многих случаях ограничения придают смысл задаче об оп­тимальном управлении, решением которой должен быть ответ навопрос, как добиться наилучших результатов при ограниченныхресурсах.10Для того чтобы оценка свойств системы была объективной,любая форма записи должна содержать в себе информацию нетолько об изменении управления, но и о конечном и начальном со­стоянии системы.

Простейший способ записи заключается в фик­сации граничных условий, т. е. получаем задачу с закрепленнымиконцами, когда задаются координаты начальной и конечной точек.Задача со свободным правым концом, когда допускается про­извольное положение объекта в момент окончания управления fk,также является простейшей.Наиболее общий случай задания граничных условийсподвижнымиконцами(левым,если-допускаетсязадачивариацияначальных условий, и правым, если ограничения наложены на ко­нечные условия движения).

Это означает, что граничное состояниесистемы определено с точностью до выполнения некоторых соот­ношений, называемых граничными условиями, например,Go ( x(to), to) = О;Gk(x(tk),tk)=O.В рамках этих ограничений допустимо любое начальное и конеч­ное состояния системы.Математическая формулировка задачи оптимального управле­ния состоит в следующем.Пусть управляемый динамический объект описывается на ин­тервале времени[to , fk]системой нелинейных дифференциальныхуравненийx=f(x, и, t)(1.1)с системой граничных условий в начальный и конечный моментывремениx(to)=хо,(1.2)Имеется система ограничений, которым должны удовлетво­рять переменные состояния и управления:хгде Х, И-(t)Е Х, и(t)Е И,(1.3)заданные множества.11Необходимо найти такой вектор оптимального управленияи*,чтобы он обеспечивал экстремум целевой функции ( критерияоптимальности)fkJJ(x(tk),tk)=Gk(x(tk),tk) + L(x(t),u(t),t)dt(1.4)toи переводил систему из начального ( х (to) = хо) в новое состояние,расположенное внутри области Gk ( x(tk ), tk) > О, и при этом удо­влетворялись интегральные ограничения видаfkJN( x(t), и (t), t) dt = const.(1.5)toДля решениязадачоптимальногоуправленияиспользуюткосвенные (аналитические) методы, а также прямые (численные)методы оптимизации.К прямым методам оптимизации относят различные задачиматематического программирования.Косвенные методы оптимизации включают в себя методыдифференциального и интегрального исчисления, классическоевариационное исчисление, принцип максимума Понтрягина и ме­тод динамического программирования Беллмана.Общим для методов косвенной оптимизации является то, чтовид оптимальной функции управления и ее структуру определяютна основе необходимых условий оптимальности.1.2.

Принцип максимумаВо многих задачах управления область допустимых траекто­рий и управлений оказывается ограниченной и замкнутой.Необходимость применения принципа максимума Понтрягинавозникает в случае, когда нигде в допустимом диапазоне управля­ющейпеременнойневозможноудовлетворитьнеобходимомуусловию в классическом вариационном исчислении дН/ ди= О.Принцип максимума имеет ряд преимуществ перед классиче­ским методом вариационного исчисления. Он прежде всего пред­ставляет ценность для инженера благодаря универсальности своей12формулировки. Различные типы задач оптимизации рассматривают сединой точки зрения. Принцип максимума является удобным сред­ством определения оптимального закона управления как функциивремени, т. е.

для отыскания оптимальных программ управления.Особенно важен принцип максимума в системах управления смаксимальным быстродействием и минимальным расходом энер­гии, где применяются управления релейного типа, принимающиекрайние, а не промежуточные значения на допустимом интервалеуправления .В1956 г.Л. С . Понтрягин, В . Г. Болтянский, Р.В . Гамкрелидзе иЕ. Ф. Мищенко предложили метод, обобщающий методы классиче­ского вариационного исчисления для задач, в которых управляю­щие воздействия описываются кусочно-непрерывными функция­ми, а множество значений этих функций принадлежит замкнутомуограниченному множеству.С помощью принципа максимума, положенного в основу это­го метода, получают условия оптимальности,литьизмножества допустимых процессовпозволяющие выде­некотороеподмноже­ство процессов, которые могут быть оптимальными.Для широкого круга задач принцип максимума дает возмож­ность определить единственную траекторию, которая может бытьоптимальной.

Если в конкретной задаче из каких-либо соображе­ний (например, из содержательного смысла этой задачи) известно,что оптимальное управление существует, то выделение этой един­ственной траектории и позволяет получить решение задачи.Для линейных задач оптимального управления принцип мак­симума-необходимое и достаточное условие оптимальности.Особенностью принципа максимума является то, что вариаци­онная задача нахождения управления как функции времени идоставляющей экстремум заданному функционалулее простой задаче определения и* (t),J,* (t),сведена к бо­обеспечивающего макси­мум функции Гамильтона Н(и ).

Отсюда и название метода-принцип максимума.Определим оптимальное управлениетраекторию х* (t),и* (t)и оптимальнуюдоставляющие минимум функционалуlkfJ(x , и)= L(x, и, t)dt(1.6)to13при условиях(1.7)x=f(x,u,t);(1 .8)игдеGo, Gk -EU,(1.9)+ 1)-мерного пространствазаданные многообразия (пначальных и конечных условий; И -некоторое замкнутое множе­ство допустимых управлений; функцииL, f= (Ji, ... , fп)и их част­ные производные по х непрерывны по совокупности переменных.Единственное отличие рассматриваемой задачи от задачи Ла­гранжавклассическомнового условия(1.9).вариационномисчислении-появлениеОднако именно это обстоятельство и делаетзадачу значительно более трудной.

Это связано с тем, что допу­стимые вариации управления должны удовлетворять условиюи =и* +8u ЕИ,т. е. вариации управления теперь не произвольны, а должны удо­влетворять заданным ограничениям.Управлениеu(t) будемразыскивать в классе кусочно-непре-рывных функций.Принцип максимума также приводит к двухточечной краевойзадаче.Процедура определения оптимального управления на основепринципа максимума сводится к следующему.Вместо функционала(1.6))вводят эквивалентноеL(x, и, t) при x(to) = О,(1.1 О)J(x,и) (см.ему уравнениехо=расширенный вектор состоянияХ= (xo,Xl,...

Характеристики

Список файлов книги