Деменков Н.П. - Вычислительные методы решения задач оптимального управления на основе принципа максимума Понтрягина - 2015 (842911), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

, Хп)и расширенный вектор правых частей системыf14= (L, Ji , ..., fп).Отметим,чтоэтот функционал равен конечному значениюxo(tk):J (х, И) = ХО (tk ),а расширенный вектор правых частей/(1.11)не зависит от х0 •На основе расширенного вектора состояния и вектора сопря­женных переменныхр= (ро, р1, ... , Рп),пряженному уравнению Эйлера-со­Лагранжа. =~8/iLJ -Piудовлетворяющегоj=O 8'Xj(1.12)Pj,с условиямиi = 1, 2, ...

, п,(1.13)формируется гамильтонианН(х, и, р, t) = р-т (t)f(x, и, t).(1.14)Для задачи со свободным концом управление и* (t) и траекто­рия х * (t) доставляют минимум функционалу J(x, и) (см. (1.6)) приуравнении связи(1.7),ограничения на управлениеи (см.(1.9))и за­данных краевых условиях(1.8), если существует такая непрерывнаявектор-функция р = (ро,р1, ... , Рп), удовлетворяющая сопряженнойсистеме (1.12) и условиям трансверсальности (1.13), что при каждомt Е [to ,tk ] функция Гамильтона Н(х * (t), и *(t), p(t), t) (см. (1.14)) достигает в точке и* (t) максимума по всем и Е И :H(x*(t), и *(t), p(t), t) = maxH(x*(t), u(t), p(t), t).(1.15)iiE(JВ рассматриваемой задаче с фиксированнымсвободным(1.13)правымконцомx(tk)условиявременемкомпонентов--1 ,итрансверсальноститребуют так же, как и в задаче Лагранжа, чтобы призначение компонента ро (tk) было равноtkt = tkа значение остальныхнулю.15Поскольку условия трансверсальности в задаче Лагранжа иПонтрягина одни и те же, то структура краевой задачи, которойдолжно удовлетворять оптимальное решение,в обоих случаяхостается одинаковой.

Однако системы уравнений могут быть раз­личными. При решении задачи Лагранжа в классическом вариаци­онном исчислении управление исходя из условия стационарностиан =Одивыражается как функция от фазовых и сопряженных переменных:и =и(х,р,t).В задаче Понтрягина выполняется та же процедура, но с по­мощью условиян*= maxH(x ,и ,p,t).ueUВ том случае, когда область И совпадает со всем простран­ством, а функция Н имеет одну экстремальную точку, которая приэтом является максимумом, оба условия приведут к одной и тойже функции и* ( х, р, t) , т. е. для задач, в которых на класс искомыхэкстремалей не наложены ограничения, принцип максимума даетте же результаты,что иметод классического вариационного ис­числения.

Однако в отличие от классического вариационного ис­числения принцип максимума позволяет проще находить экстре­маливвидекусочно-непрерывных(разрывных)функцийиучитывать наличие ограничений на координаты.Наиболее широко принцип максимума применяют при синтезеоптимальных управлений в задачах максимального быстродействияи при наличии ограничений координат управления Jиz (t)J s Uzmax;l= 1,2, .. ., r.1.3.Решение краевых задачНеобходимые условия оптимальности, как в классическом вари­ационном исчислении, так и при использовании принципа максиму­ма, позволяют сформулировать некоторую краевую задачу.

Искомаяэкстремаль находится среди решений этой краевой задачи.16Расчет оптимального управления не был бы сложным, если быможно было достаточно хорошо решать краевые задачи для обык­новенных дифференциальных уравнений.Обычно численно решается только задача Коши-определя­ется траектория по начальным данным. Но в рассматриваемомслучае на левом конце существует всего лишь п условий, хотя си­стема имеет порядок, равный2n.Возникает вопрос, каким образом, используя умение решатьзадачу Коши, можно построить решение краевой задачи?Отличие краевой задачи от задачи Коши (задачи с начальнымиусловиями) состоит в том, что решение дифференциального урав­нения должно удовлетворять граничным условиям, связывающимзначения искомой функции более чем в одной точке.Простейшим представителем краевой задачи является двухто­чечная граничная задача, для которой граничные условия задаются вдвух точках, как правило, на концах интервала, на котором ищетсярешение.Рассмотримодинизраспространенныхметодоврешениядвухточечных краевых задач на отрезке [а, Ь] (когда дополнитель­ные условия на решение налагаются в точках на концах отрезка), втом числе нелинейных.

Это метод стрельбы (пристрелки).При решении задачи методом стрельбы краевая задача сводит­ся к решению задачи Коши, причем недостающие начальные зна­чения задаются вектором параметров, значения которых и находятпристрелкой.Метод стрельбы будем рассматривать на примере решенияуравнения второго порядка, предварительно представив его в видесистемы уравнений первого порядка. Это рассмотрение являетсядостаточно общим, поскольку уравнение любого порядка можносвести к системе уравнений первого порядка.Метод стрельбы для решения краевой задачи основываетсяна том, что имеются удобные способы численного решения зада­чи Коши, т. е. задачи следующего вида (рис.у"=где Уо-f(x,y,y'); у(О)1.2):= уо; у'(О) = tg а,(1.16)ордината точки (О,уо), из которой выходит интеграль­ная кривая; а-угол наклона интегральной кривой к оси х привыходе из точки (О, уо).17Приy(l , а)уфиксированнойординатеуо решение задачи Коши (см.у(х, а)(1.16))имеет виду= у(х, а).При хy(l , a)la=O= Xk(на рис.1.2Xk=1 )решение зависит только от а:y(x,a)lx-l = y(l,a).Ох1,0Рис.Используя= а* ,замеча­ние о решении задачи Коши, сфор­1.2.

Метод стрельбымулируем рассматриваемую задачу(пристрелки)угол ауказанноеследующим образом: найти такойпри котором интегральная кривая, выходящая из точ­ки (О, Уо) под углом а к оси абсцисс, попадет в точку(l,Уi):y(l,a) = Yi.(1.17)(1.16)) при а = а * совпадает с иско­е.

сводится к решению уравнения (1.17).Решение задачи Коши (см.мым решением (рис.1.3), т.Уравнение (1.17) - это уравнение видаF(a) = О,гдеF(a) = y(l, а) - Yi.Оно отличается отприведенных выше уравнений лишь тем,что функцияF(a) задана(1.18)у ( 1 , а)не аналитиче-ским выражением, а с помощью алгорит­мачисленного(см.(1.16)).решениязадачиДля решения уравнения(1 .18)Кошимож­но использовать любой метод, пригод­ный для уточнения корней нелинейногоа*уравнения , например метод деления от­резка пополам,тельных) и др.18аметод Ньютона (каса­Рис.1.3.

Нахождение а*Из-зафункциивысокойстоимостиF(a) (нужновычисленияодногорешить задачу Коши (см.значения(1.16))с данныма метод Ньютона предпочтительнее, так как имеется достаточнохорошее начальное приближение.Метод стрельбы, сводящий решение краевой задачивычислению решений задачи Коши(1.17),( 1.16)кхорошо работает в томслучае, если решение у(х,а) сравнительно слабо зависит от а. Впротивном случае он становится вычислительно-неустойчивым,даже если решение уравнения( 1.16) зависит от входных данных неочень сильно.При решении уравненияполамзададиму(1, а 1) -Yiао иF (а) = Оа1 так,методом деления отрезка по-чтобыразностиy(l,ao)-Yiиимели разные знаки. Положима2ао +а1=---2Вычислимy(l,a2).Найдем аз по формулеа1 +а2аз=---ао +а2или аз=---22в зависимости от того, имеют ли разностиy(l, а2 )- Yiиy(l, а1) - Yiсоответственно разные или одинаковые знаки.Определим у(l,аз).

Процесс продолжаем до тех пор, пока небудет достигнута требуемая точность ly(l, ап) - Yi 1 < s.Используем для решения уравненияF (а) = Ометод Ньютона.Зададим а 0 , а затем последующие значения ап рассчитаем по ре­куррентной формулеаF(ап)п+1-а---­-пF'(ап)'п= 0,1, ...Производная F'(ап) может быть найдена по одной из формулчисленного дифференцирования, например, первого порядка аппроксимации:F'(ап) = F(ап + h1-F(aп),гдеh-шаг дискретизации .19Пример1.1. Пусть дана краевая задача в видеtx" - х' = 3t 2 ; x(l) = 2; х(2) = 9.Решение. Представим данную задачу как систему уравненийпервого порядках2х2,=3t+-;tх1(1) = 2, х1(2) = 9.Сведем эту задачу к задаче Коши, используя параметр а, рав­ный неизвестному значению х2 (1) .

Для того чтобы найти значениепараметраt = 2,а,при котором выполнено граничное условие в точкедобавим еще два уравнения, продифференцировав исходнуюсистему по параметру а. Для этого введем еще две переменные:хз = дх1/да,Х4 = дх2/да.В итоге получим систему обыкновенных дифференцирован­ных уравненийХ2,Х2= 3t+-;t,Х3=-;tх1(1) = 2,х2(1)хз(l) =X4(l) = 1.Х40,= а;Решив расширенную систему с фиксированным параметром а ,найдем значение х2 (2), которое, отличается от истинного.Для коррекциипараметраа рассчитаем его новое значениепо формулеXl (2)calc - Xl (2)anew = aold - - - - - - - .Х4 (2)calc20Здесь х1 (2)caic-значение х1 (2) , полученное в результате расчета.Затем снова решим систему обыкновенных дифференциальныхуравнений и т.

д .Процесс расчета продолжим до тех пор, пока не будет выполненоусловиеlanew - aold 1 ~где Е-Е,заранее заданная точность расчета.Для решения краевой задачи создадим в рабочей областиМАТLАВ m-файл boundary.m с кодом :function boundaryх = zeros ( 4 , 1 );% Задание началь ных условийalpha = 2 . 9 ;хО = [2 alpha О 1]tO = 1tk = 2xlend= 9 ;% Интегрировани е[t , х] = ode45 (@task , [tO tk] , хО)xl = x (length (x ), 1 )х2 = x (length( x ), 2 )хЗ = x (length (x ), 3 )х4 = x (length (x ), 4 )% Печатьfigure ;ho l d on ;plot (t , x (:, 1 ), '- r ' , t , x (:, 2) , 'g ' , t , x (:, 3 ), ' Ь ' , t , x (:,4), ' у ');grid on ;% Вычисление правых частейfu n ct i on dx = task (t , x)dx = [ х ( 2 ) ; ...З*t+х (2 ) /t ; ...х ( 4 );;...х ( З ) /t] ;endxl e ndCalc = xl ; x4 e ndCa l c = х4 ;alpha = alpha-( xlendCalc- xlend ) /x4endCalc ;alphaend2114~--г----т-----т-----т--~Послезапускаисоответ-12t------t----+----+-----+------..ствующего числа итераций про­10>------t----+----+--------+J~------<граммы получают график реше­ния, показанный на рис .

1.4.8 t---+---+---------+----------,Для6 1---+---------=~-+-~-+-------jпрограммы4 1--~t----::Ja,,,,"=------+----+-------J1,41,2Рис.1,61,8контролянапечатьконечные значения :2выполнениявыводятсях1 , х2, хз,и новое значение а .Рассмотрим решение краевых1.4. График решениязадачкраевой задачиМАTLAB, например с помощьюстандартнымисредствамиспециальных программbvp5c.Х4Функцияbvp4cbvp4cилирешает краевую задачу для системы обыкно­венных дифференциальных уравненийу'=f(y,x).Решение у= у(х), удовлетворяющее на отрезке [а, Ь] этомууравнениюиграничнымусловиям,наложеннымназначениефункции и/или ее производной на концах отрезка, ищем в форме се­точной функции.

Характеристики

Список файлов книги