rybalev optimal systems_(отсюда брал лекции) (842910), страница 12
Текст из файла (страница 12)
25. Расчет проводился при следующих значениях величин: k1 = 1,k2 = 1, k3 = 1, x10 = 0, x1k = 1, umax = 0,5.u, x1,x21x10.80.60.4,x20.20u-0.2-0.4-0.600.511.522.53tРис. 25. Оптимальное управление и оптимальнаятраекторияВариант 3. Ограничивается координата x2, управление не достигаетпредельных значений (рис. 26). Как следует из проведенных ранее исследований, в данном случае:k 3 £ u max ,(402)1 6k 2 k 3( x1к - x10 ) > x 2 max .4k1(403)87Y 2, uY 2(0)Y2uu(0)t20t3tкtu(tк)Y 2(tк)Рис. 26.
Зависимости y2(t) и u(t)Все необходимые выражения можно легко получить, используя результаты для первого случая (когда никакие ограничения не вступают в силу).Функции u(t), x2(t), x1(t) на интервале t = 0…t2 определим из (361),(363), (364), положив n = x2max:u (t ) = -k 2k3t + k3 ,2x 2 max(404)k 22 k 3 2t + k 2 k3 t ,4x 2 max(405)k1k 22 k 3 3 k1k 2 k 3 2x1 ( t ) = t +t + x10 .12x 2 max2(406)x 2 (t) = -Момент времени t2 определим из условия u(t2) = 0:t2 =2x 2 maxk 2 k3.(407)Подставив (407) в (406), получим4k1x 22 maxx1 ( t 2 ) =+ x10 .3k 2 k 3(408)На интервале t = t2…t3 движение системы определяется следующимивыражениями:ìu ( t ) = 0,ïíx 2 ( t ) = x 2 max ,ïx ( t ) = k xî 11 2 max (t - t 2 ) + x1 ( t 2 ).(409)Необходимо определить время окончания данного интервала.88Из анализа уравнений объекта (308), а также рис.
25 следует, что перемещение объекта на участке торможения равно его перемещению на участкеразгона:x1к - x1 ( t 3 ) = x1 ( t 2 ) - x104k1x 22 max=.3k 2 k 3(410)Отсюда следует, что перемещение на участке движения с постояннойскоростьюx1 ( t 3 ) - x1 ( t 2 ) = (x1к - x10 ) - (x1к - x1 ( t 3 ) ) - (x1 ( t 2 ) - x10 ) =8k1x 22 max= x1к - x10 .3k 2 k 3(411)Из (411) определимt3 - t 2 =x1 ( t 3 ) - x1 ( t 2 ) x1к - x10 8x 2 max=,k1x 2 maxk1x 2 max 3k 2 k 3(412)откуда с учетом (407) получимt3 =x1к - x10 8x 2 maxx - x10 2x 2 max+ t 2 = 1к.k1x 2 max 3k 2 k 3k1x 2 max 3k 2 k 3(413)С помощью (412) из (409) также определим4k1x 22 maxx1 ( t 3 ) = k1x 2 max (t 3 - t 2 ) + x1 ( t 2 ) = x1к .3k 2 k 3(414)Выражение (414) показывает правильность предыдущих построений.Действительно, значение координаты x1 в момент времени t3 равно x1к минуспуть, пройденный объектом при торможении, который в свою очередь равенпути, пройденному им при разгоне (408).Зная, что время пуска равно времени торможения, определим общеевремя переходного процесса:t к = t 2 + (t 3 - t 2 ) + (t к - t 3 ) = 2 t 2 + (t 3 - t 2 ) = t 2 + t 3 .(415)Подставляя (407) и (413) в (415), получимtк =x1к - x10 2x 2 max 2x 2 max x1к - x10 4x 2 max+=+.k1x 2 max 3k 2 k 3 k 2 k 3k1x 2 max 3k 2 k 3(416)Формулы для оптимального управления и оптимальной траектории наинтервале t = t3…tк получим из (361), (363) , (364) путем замены n = x2max,учитывая сдвиг по времени на величину t3 - t2 и дополнительное приращениекоординаты x1 за время установившегося движения:89u (t ) = -k 2k3(t - (t 3 - t 2 )) + k 3 ,2x 2 max(417)k 22 k 3x 2 (t) = (t - (t 3- t 2 ))2 + k 2 k 3 (t - (t 3 - t 2 )) ,4x 2 maxx1 ( t ) = -(418)kk kk1k 22 k 3(t - (t 3 - t 2 ))3 + 1 2 3 (t - (t 3 - t 2 ))2 + x10 +12x 2 max2+ (x1 ( t 3 ) - x1 ( t 2 ) ) =(419)k1k 2 k 3k1k 22 k 38k1x 22 max32=(t - (t 3 - t 2 )) +(t - (t 3 - t 2 )) + x1к .12x 2 max23k 2 k 3Пример оптимальной траектории и оптимального управления показанна рис.
27. Расчет проводился при следующих значениях величин: k1 = 1,k2 = 1, k3 = 1, x10 = 0, x1k = 1, x2max = 0,5.u,x1,x21x10.80.6x20.40.20-0.2u-0.4-0.6-0.8-100.511.522.53Рис. 27. Оптимальное управление и оптимальнаятраекторияВариант 4. Ограничивается как координата x2, так и управление(рис. 28). Из проведенных ранее исследований следует, что в данном случаеk 3 > u max ,(420)1 6k 2 k 3( x1к - x10 ) > x 2 max .4k1(421)90Y 2, uY 2(0)Y2uumax0t3t1t2t4tкtu-umaxY2Y 2(tк)Рис. 28.
Зависимости y2(t) и u(t)Все необходимые выражения можно легко получить, используя результаты для второго варианта (когда ограничивается только управление).Моменты времени t1 и t2 определим из (380), (381) положив в нихn = x2max:(k 3 - u 2max ) x 2 maxt1 =,k 2 k 3u max(422)(k 3 + u 2max ) x 2 maxt2 =.k 2 k 3u max(423)Зависимости x2(t) и x1(t) на интервале t = 0…t1 имеют вид:x 2 ( t ) = k 2 u max t ,(424)k1k 2 u max 2t + x10 .2Подстановкой (422) в (424), (425) получим:x1 ( t ) =(425)(k 3 - u 2max ) x 2 maxx 2 ( t1 ) = k 2 u max t1 =,k3(426)k1 (k 3 - u 2max ) 2 x 22 maxx1 ( t1 ) =+ x10 .2k 2 k 32 u max(427)На интервале t = t1…t2:u (t ) = -k 2k3k + u 2maxt+ 3,2x 2 max2u max(428)91()k 22 k 3 2 2 k 2 (k 3 + u 2max )x 2 (t) = t - t1 +(t - t1 ) + x 2 ( t1 ).4x 2 max2u max(429)Подставив (422), (426) в (429), после преобразований получим:x 2 (t) = -k 22 k 3 2 k 2 (k 3 + u 2max )(k - u 2max ) 2 x 2 maxt +t- 3.4x 2 max2u max4k 3u 2max(430)Подставив для проверки (423) в (430), после преобразований получим:x 2 ( t 2 ) = x 2 max .(431)Определим зависимость x1(t) на интервале:(t)k1k 22 k 3 3 3x1 ( t ) = ò k1x 2 (t)dt = t - t1 +12x2 maxt1+k1k 2 (k 3 + u 2max )4u max(t2)- t12 -k1 (k 3 - u 2max ) 2 x 2 max4k 3u 2max(432)(t - t1 ) + x1 ( t1 ).Подставив (422), (427) в (432), после преобразований получим:k1k 22 k 3 3 k1k 2 (k 3 + u 2max ) 2x1 ( t ) = t +t 12x 2 max4u max-k1 (k 3 - u 2max ) 2 x 2 max4k 3u 2maxt+k1 (k 3 - u 2max )3 x 22 max12k 2 k 32 u 3max(433)+ x10 .Подставив (423) в (433), найдем:k1 (3k 32 + 6k 3u 2max - u 4max ) x 22 maxx1 ( t 2 ) =+ x10 .6k 2 k 32 u max(434)На интервале t = t2…t3 движение системы определяется следующимивыражениями:ìu ( t ) = 0,ïíx 2 ( t ) = x 2 max ,ïx ( t ) = k xî 11 2 max (t - t 2 ) + x1 ( t 2 ).(435)Необходимо найти время окончания данного интервала.Из анализа уравнений объекта (308), а также рис.
28 следует, что перемещение объекта на участке торможения равно его перемещению на участкеразгона:x1к - x1 ( t 3 ) = x1 ( t 2 ) - x10k1 (3k 32 + 6k 3u 2max - u 4max ) x 22 max=.6k 2 k 32 u max92(436)Отсюда следует, что перемещение на участке движения с постояннойскоростьюx1 ( t 3 ) - x1 ( t 2 ) = (x1к - x10 ) - (x1к - x1 ( t 3 ) ) - (x1 ( t 2 ) - x10 ) =k1 (3k 32 + 6k 3u 2max - u 4max ) x 22 max (437)= x1к - x10 .3k 2 k 32 u maxИз (437) определим:x1 ( t 3 ) - x1 ( t 2 ) x1к - x10 (3k 32 + 6k 3u 2max - u 4max ) x 2 maxt3 - t2 ==,k1x 2 maxk1x 2 max3k 2 k 32 u max(438)откуда с учетом (423) получим:x1к - x10 (3k 32 + 6k 3u 2max - u 4max ) x 2 max+ t2t3 =k1x 2 max3k 2 k 32 u max=x1к - x10+k1x 2 max(-3k 3u 2max+ u 4max ) x 2 max3k 2 k 32 u max(439).С помощью (438) из третьего уравнения (435) также определим:x1 ( t 3 ) = k1x 2 max (t 3 - t 2 ) + x1 ( t 2 ) =k1 (3k 32 + 6k 3u 2max - u 4max ) x 22 max= x1к .6k 2 k 32 u max(440)Выражение (440) показывает правильность предыдущих построений.Действительно, значение координаты x1 в момент времени t3 равно x1к минуспуть, пройденный объектом при торможении, который в свою очередь равенпути, пройденному им при разгоне (434).Зная, что время пуска равно времени торможения, определим общеевремя переходного процесса:t к = t 2 + (t 3 - t 2 ) + (t к - t 3 ) = 2 t 2 + (t 3 - t 2 ) = t 2 + t 3 .(441)Подставляя (423) и (439) в (441), получим(k 3 + u 2max ) x 2 max x1к - x10 (3k 3u 2max - u 4max ) x 2 maxtк =+=k 2 k 3u maxk1x 2 max3k 2 k 32 u maxx - x10 (3k 32 + u 4max ) x 2 max= 1к+.k1x 2 max3k 2 k 32 u max(442)Формулы для оптимального управления и оптимальной траектории наинтервале t = t3…t4 получим из (375), (389), (393) путем замены n = x2max, учитывая сдвиг по времени на величину t3 - t2 и дополнительное приращение координаты x1 за время установившегося движения:93k 2k3k 3 + u 2max(t - (t 3 - t 2 )) +u (t ) = ,2x 2 max2u maxx 2 (t) = -2k 22 k 3(t - (t 3 - t 2 ))2 + k 2 (k 3 + u max ) (t - (t 3 - t 2 )) 4x 2 max2u max(k - u 2max ) 2 x 2 max,- 324k 3u max(443)(444)k1k 22 k 3k1k 2 (k 3 + u 2max )3(t - (t 3 - t 2 )) +(t - (t 3 - t 2 ))2 x1 ( t ) = 12x 2 max4u maxk1 (k 3 - u 2max ) 2 x 2 max(t - (t 3 - t 2 )) +4k 3u 2max(445)k1 (k 3 - u 2max )3 x 22 max++ x10 + x1 ( t 3 ) - x1 ( t 2 ).12k 2 k 32 u 3maxУчитывая (434), (440), перепишем (445) следующим образом:k1k 22 k 3k1k 2 (k 3 + u 2max )3x1 ( t ) = (t - (t 3 - t 2 )) +(t - (t 3 - t 2 ))2 12x 2 max4u maxk1 (k 3 - u 2max ) 2 x 2 max(t - (t 3 - t 2 )) +4k 3u 2max(446)k1 (k 3 - u 2max )3 x 22 maxk1 (3k 32 + 6k 3u 2max - u 4max ) x 22 max+x.1к12k 2 k 32 u 3max3k 2 k 32 u maxМомент времени t4 найдем с помощью (382), заменив n на x2max и добавив необходимый сдвиг по времени:+(k 3 + 3u 2max ) x 2 maxt4 =+ t3 - t2 ,k 2 k 3u max(447)откуда с учетом (438) получим:x1к - x10 (3k 3u 2max + u 4max ) x 2 maxt4 =+.k1x 2 max3k 2 k 32 u max(448)Воспользовавшись (391), (395) найдем:x 2 (t 4 ) =(k 3 - u 2max ) x 2 max,k3(449)94k1 (3k 32 + 18k 3u 2max - 5u 4max ) x 22 maxx1 ( t 4 ) =+ x10 + x1 ( t 3 ) - x1 ( t 2 ) =6k 2 k 32 u maxk (3k 2 - 6k 3u 2max + 3u 4max ) x 22 max= x1к - 1 3.6k 2 k 32 u max(450)На участке t = t4…tкu = -umax,(451)tx 2 ( t ) = ò k 2 u (t)dt = -k 2 u max (t - t 4 ) + x 2 ( t 4 ) =t4= -k 2 u max t +k 2 u max (x1к - x10 )+k1x 2 max(3k 32+ u 4max ) x 2 max3k 32(452).k1k 2 u max2k1 (k 3 + u 2max ) x 2 max2(t - (t 3 - t 2 )) +(t - (t 3 - t 2 )) +x1 ( t ) = k32k (-6k 32 - 12k 3u 2max - 14u 4max ) x 22 max+ 1+ x10 + x1 ( t 3 ) - x1 ( t 2 ).6k 2 k 32 u max(453)Из (453) с учетом (437) получим:k1k 2 u max2k1 (k 3 + u 2max ) x 2 max2x1 ( t ) = (t - (t 3 - t 2 )) +(t - (t 3 - t 2 )) +2k32k1 (k 32 + 2k 3u 2max + u 4max ) x 22 max+ x1к .k 2 k 32 u max(454)Пример оптимальной траектории и оптимального управления показанна рис.
29. Расчет проводился при следующих значениях величин: k1 = 1,k2 = 1, k3 = 1, x10 = 0, x1k = 1, umax = 0,5, x2max = 0,5.В заключение сделаем некоторые замечания относительно практической реализации оптимальной по комбинированному критерию системыуправления.1. Варианты 3 и 4 предусматривают движение с постоянной максимальной скоростью. По причинам, изложенным в п. 5.2, рациональная реализация таких режимов предполагает непрерывное регулирование скорости своздействием на напряжение якоря.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
