rybalev optimal systems_(отсюда брал лекции) (842910), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Simulink-модельсистемы при этом подвергнется незначительной доработке (рис. 21).1x1kMATLABFunctionuk21sx2k11sx1MATLAB Fcnx1x2Рис.21. Модель оптимальной системы в SimulinkАнализируя построенную систему, приходим к выводу, что при всейотносительной сложности алгоритма управления, по существу она относится кклассу двухпозиционных релейных систем. Однако внутренняя реализация токового контура предполагает использование непрерывно изменяющегося выходного напряжения преобразователя. При работе привода на скоростях,меньших максимально допустимой, регулятор тока должен поддерживать максимальный по модулю ток якоря независимо от скорости. На участках ограничения скорости регулятор должен поддерживать неизменную максимальнуюскорость, и поэтому его уже следует считать регулятором скорости.
Наша реализация такого регулятора с технической точки зрения не является наилучшей:поддержание скорости обеспечивается быстрыми переключениями максимально допустимых уровней тока. Очевидно, что для этого требуется быстрыепереключения максимально допустимых уровней напряжения якоря. В такомслучае большие нагрузки испытывают коллекторный узел двигателя и силовыеключи преобразователя напряжения. Кроме того, в двигателе и преобразователе выделяются необоснованно большие потери энергии.77Поэтому на участках движения с максимальной скоростью более рациональным представляется непрерывное ее регулирование с воздействием нанапряжение якоря. Регулятор скорости может быть построен как обычныйстабилизирующий регулятор, работающий по отклонению.
В случае необходимости сигнал по току двигателя также можно использовать как дополнительный сигнал по возмущению с целью быстрой его компенсации.5.3. Оптимизация системы по комбинированному критериюКак уже было сказано, часто производительность обслуживаемого приводом механизма определяется не только быстродействием привода, но и потерями энергии, уходящими на нагрев двигателя и преобразователя в циклеработы. Поэтому в качестве критерия оптимизации системы может выступатьминимум электрических потерь. Потери пропорциональны квадрату тока, поэтому минимизируемый функционал в наших обозначениях мог бы иметь вид:tкJ = ò u 2dt .(337)0Однако задача поиска управления для объекта (308), минимизирующего функционал (337), не имеет решения.
Это можно строго доказать, но ограничимся здесь простыми соображениями.Поскольку мы пренебрегли приведенным моментом сил сопротивления, движение с постоянной скоростью осуществляется при нулевом токе и несопровождается выделением потерь. Поэтому потери на процесс тем меньше,чем меньше потери на участках разгона и торможения двигателя. Длительность этих участков можно свести к нулю, а максимальную скорость - к бесконечно малой величине. В итоге получаем, что наилучшим следует считатьпроцесс с нулевыми потерями, занимающий бесконечное время.Поэтому далее мы будем рассматривать комбинированный критерий,сочетающий как требования к быстродействию, так и требования к потерям:J=ò (k 3 + utк2)dt .(338)0Коэффициент k3, входящий в функционал (338), есть весовой множитель, выражающий степень важности обеспечения быстродействия в общейструктуре требований к процессу.Составим гамильтониан:H = -k 3 - u 2 + y1k1x 2 + y 2 k 2 u.(339)Применяя принцип максимума, проведем небольшое исследование сцелью выяснить, какие значения может принимать оптимальное управление.1.
Если существуют участки оптимальной траектории объекта, на которых не вступают в действия ограничения и x 2 < x 2 max , u < u max , то для них78управление, доставляющее максимум гамильтониану, может быть найдено изусловия:¶H= -2u + y 2 k 2 = 0,¶u(340)откудаk2y2.2Сопряженные уравнения:¶Hy& 1 = = 0,¶x1¶H= -k1y1 .y& 2 = ¶x 2u=(341)(342)(343)Из (342), (343) получаемy1 = C1 ,(344)y 2 = -k1C1t + C 2 ,(345)где С1, С2 - постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.Из (345) видно, что функция y2(t) может обращаться в нуль. В момент,когда y2 = 0, управление согласно (341) равно нулю.
Обозначим значение координаты x2 в этот момент как n. Тогда функция Гамильтона примет видH = -k 3 + y1k1n.(346)Поскольку при оптимальном управлении H(t) = 0, из (346) получимy1 = C1 =k3= const .k1n(347)2. Если существуют интервалы, на которыхk2y 2 > u max2илиk2y 2 < - u max , то, очевидно, что максимум гамильтониану доставляют соот2ветственно управления u = umax и u = -umax.3. Если оптимальная траектория содержит интервалы, на которых вступает в силу ограничение по скорости объекта и x 2 = ± x 2 max , тогда на данныхинтервалах в силу уравнений объекта (308) u(t) = 0.
Функция Гамильтона принимает видH = -k 3 ± y1k1x 2 max = 0 .(348)Из (348) получим79y1 = C1 = ±y& 2 = -k3= const,k1x 2 maxsign(Y1 ) = sign(x 2 ) ,(349)¶H= 0,¶x 2(350)откуда y 2 = const .Функция y2(t) непрерывна. Поэтому, сопрягая отрезки оптимальнойтраектории, приходим к выводу, что на рассматриваемом интервале y2 = 0.Кроме того, из постоянства y1(t) следует согласно (345), что функция y2(t)может обращаться в нуль не более чем на одном интервале.Выше установлено, что зависимость y2(t) в общем случае имеет тот жевид, что и в предыдущей задаче.
Однако оптимальное управление формируется по-другому и имеет участки, на которых оно изменяется непрерывно. Этозатрудняет нахождение управления в форме оптимальной стратегии.Рассмотрим задачу поиска оптимальной программы перемещения объекта из состояния x1(0) = x10, x2(0) = 0 в состояние x1(tк) = x1к, x2(tк) = 0. Пустьдля определенности x10 < x1к.
Тогда очевидно, что на начальном участке траектории участке управление должно быть положительным.Принимая во внимание результаты проведенного ранее исследования,заключаем, что возможны четыре варианта оптимального управления в зависимости от того, вступают ли в силу ограничения на само управление и на значение координаты x2.Вариант 1. Никакие ограничения не вступают в силу (рис.
22).Y 2, uY 2(0)u(0)0Y2ut2tкtu(tк)Y 2(tк)Рис. 22. Зависимости y2(t) и u(t)Значение гамильтониана в начальный момент времени:H(0) = -k 3 - u (0) 2 + y 2 (0)k 2 u (0).(351)Если управление оптимально, функция Гамильтона равна нулю во время всего переходного процесса. Тогда из (351) получим:80k 3 + u (0) 2y 2 ( 0) =.k 2 u (0)(352)Из (341) имеемu (0) =k 2 Y2 (0).2(353)Отметим, что мы рассматриваем случай, когда u (0) < u max . Из (352) сучетом (341), (345) получимk 3 + k 22C 22 4C2 =,k 22C 2 2(354)k 22 C 22 4 = k 3 ,(355)2k3 .k2(356)откудаи далееC2 =Начальное значение управленияu (0) =k 2C 2= k3 ,2(357)причем для данного варианта k 3 £ u max .Аналогично можно показать, чтоY2 ( t к ) = -2k3 ,k2(358)u (t к ) = - k 3 .(359)Пусть в момент времени t = t2 координата x 2 = n £ x 2 max (рис.
22). Тогда, учитывая (347):y 2 ( t ) = - k1C1t + C 2 = -k32t+k3 ,nk2(360)а управление формируется по законуu (t ) =k kk2y2 = - 2 3 t + k3 .22n(361)Выразим величину tк через n с помощью (359), (361):81tк =4n.k2 k3(362)Из (308), (361) с учетом того, что x2(0) = 0, находимtk 22 k 3 2x 2 ( t ) = ò k 2 u (t)dt = t + k2 k3 t .4n0(363)Подставив (362) в (363), убеждаемся, что x2(tк) = 0.Из (308), (363) определим зависимостьtk1k 22 k 3 3 k1k 2 k 3 2x1 ( t ) = ò k1x 2 (t)dt = t +t + x10 .12n20(364)Подставив (362) в (364), найдем n и tк.x1кk1k 2 k 3 16n 2k1k 22 k 3 64n 3=++ x10 ,12n k 32 k 3 k 32k 22 k 3(365)x1к16k1n 216k1n 216k1n 2=++ x10 =+ x10 ,3k 2 k 3 2k 2 k 36k 2 k 3(366)n=1 6k 2 k 3( x1к - x10 ) ,4k1(367)илиоткудаtк =4n6=( x1к - x10 ) .k 2 k3k1k 2 k 3(368)При этом n £ x 2 max .Таким образом, условиями формирования оптимального управления порассматриваемому варианту будут:k 3 £ u max ,(369)1 6k 2 k 3( x1к - x10 ) £ x 2 max .4k1(370)Пример оптимальной траектории и оптимального управления показанна рис.
23. Расчет проводился при следующих значениях величин: k1 = 1,k2 = 1, k3 = 1, x10 = 0, x1k = 1.82u, x1,x21x10.80.60.4x20.20u-0.2-0.4-0.6-0.8-100.511.52t2.5Рис. 23. Оптимальное управление и оптимальнаятраекторияВариант 2. Величина x2 не достигает ограничения, управление ограничивается.Y 2, uY 2(0)Y2umax u0t1t2t4 tкt-umaxY 2(tк)Рис. 24. Зависимости y2(t) и u(t)На начальном участке траектории управление ограниченно значениемumax. ПоэтомуH(0) = -k 3 - u (0) 2 + y 2 (0)k 2 u (0) = -k 3 - u 2max + Y2 (0)k 2 u max = 0 ,(371)откудаY2 (0) = C 2 =k 3 + u 2max.k 2 u max(372)Аналогично можно показать, что83k 3 + u 2maxY2 ( t к ) = ,k 2 u max(373)Пусть в момент времени t = t2 координата x 2 = n £ x 2 max .
Тогда, учитывая (347):k3k 3 + u 2maxy 2 = -k1C1t + C 2 = - t +.nk 2 u max(374)k 3 = u max применение формул (360)Нетрудно убедиться, что в случаеи (374) дает один и тот же результат.Определим функцию u(t):2ìuприy>u max ,max2ïk2ïu=í2ïu ( t ) = k 2 y ( t ) = - k 2 k 3 t + k 3 + u max при y < 2 u .22maxïî22n2u maxk2(375)Выразим моменты времени t1, t2, t4 и tк через n. Это можно сделать исходя из следующих условий:k3k 3 + u 2max 2u maxy 2 ( t1 ) = - t1 +=,nk 2 u maxk2(376)k3k 3 + u 2maxy 2 (t 2 ) = - t 2 += 0,nk 2 u max(377)k3k 3 + u 2max2uy 2 (t 4 ) = - t 4 += - max ,nk 2 u maxk2(378)k3k 3 + u 2maxk 3 + u 2maxy 2 (t к ) = - t к +=.nk 2 u maxk 2 u max(379)Из (376) - (369) получим:(k 3 - u 2max )n,k 2 k 3u max(380)(k 3 + u 2max )nt2 =,k 2 k 3u max(381)t1 =t4 =(k 3 + 3u 2max )n,k 2 k 3u max(382)842(k 3 + u 2max )ntк =.k 2 k 3u max(383)Зависимости x2(t) и x1(t) на интервале t = 0…t1 имеют вид:tx 2 ( t ) = ò k 2 u (t)dt = k 2 u max t ,(384)0tx1 ( t ) = ò k1x 2 (t)dt =0k1k 2 u max 2t + x10 .2(385)Подстановкой (380) в (384), (385) получим:(k 3 - u 2max )nx 2 ( t1 ) =,k3x1 ( t1 ) =(386)k1 (k 3 - u 2max ) 2 n 2+ x10 .2k 2 k 32 u max(387)На интервале t = t1…t4tx 2 ( t ) = ò k 2 u (t)dt =t1= -k 22 k 34n(t2)- t12 +k 2 (k 3 + u 2max )2u max(388)(t - t1 ) + x 2 (t1 ).Подставив (380), (386) в (388), после преобразований имеем:k 22 k 3 2 k 2 (k 3 + u 2max )(k 3 - u 2max ) 2 nx 2 (t) = t +t.4n2u max4k 3u 2max(389)Подставив (381), (382) в (389), после преобразований получим:x 2 (t 2 ) = n ,(390)(k 3 - u 2max )nx 2 (t 4 ) =.k3(391)При k 3 = u max формула (389) аналогична формуле (363).
Это подтверждает правильность наших построений.85(t)k1k 22 k 3 3 3x1 ( t ) = ò k1x 2 (t)dt = t - t1 +12nt1+k1k 2 (k 3 + u 2max )4u max(t2)- t12 -k1 (k 3 - u 2max ) 2 n4k 3u 2max(392)(t - t1 ) + x1 ( t1 ).Подставив (381), (387) в (392), после преобразований, имеем:k1k 22 k 3 3 k1k 2 (k 3 + u 2max ) 2x1 ( t ) = t +t 12n4u max-k1 (k 3 - u 2max ) 2 n4k 3u 2maxt+k1 (k 3 - u 2max )3 n 212k 2 k 32 u 3max(393)+ x10 .Подставив (381), (382) в (393), после преобразований найдемk1 (3k 32 + 6k 3u 2max - u 4max )n 2+ x10 ,6k 2 k 32 u maxx1 ( t 2 ) =(394)k1 (3k 32 + 18k 3u 2max - 5u 4max )n 2x1 ( t 4 ) =+ x10 .6k 2 k 32 u max(395)Зависимости x2(t) и x1(t) на интервале t = t4…tк имеют вид:tx 2 ( t ) = ò k 2 u (t)dt = - k 2 u max (t - t 4 ) + x 2 ( t 4 ) =t4= - k 2 u max t +tx1 ( t ) = ò k1x 2 (t)dt = t42(k 3 + u 2max )nk3((396).)k1k 2 u max 2 2 2k1 (k 3 + u 2max )n(t - t 4 ) =t - t4 +2k3k1k 2 u max 2 2k1 (k 3 + u 2max )n+ x1 ( t 4 ) = t +t+2k3+(397)k1 (-6k 32 - 12k 3u 2max - 14u 4max )n 2+ x10 .6k 2 k 32 u maxПодставив (383) в (396), (397), получим:x 2 ( t к ) = 0,x1к(398)k1 (6k 32 + 12k 3u 2max - 2u 4max )n 2=+ x10 = 2(x1 ( t 2 ) - x10 ) + x10 ,6k 2 k 32 u max86(399)что и следовало ожидать.Из (399) определим n и далее, с помощью (383), tк:n = k36k 2 u max (x1 ( t 2 ) - x10 ),224k1 (6k 3 + 12k 3u max - 2u max )(400)2(k 3 + u 2max )6(x1 ( t 2 ) - x10 )tк =.k 2 u maxk1 (6k 32 + 12k 3u 2max - 2u 4max )(401)При k 3 = u max формулы (399), (400) и (401) становятся тождественными формулам (366), (367) и (368), что также подтверждает правильностьнаших построений.Пример оптимальной траектории и оптимального управления показанна рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
