Lektsia_8_Evolventnoe_zatseplenie (836208)
Текст из файла
Лекция 8ТЕОРИЯ ЭВОЛЬВЕНТНОГО ЗАЦЕПЛЕНИЯСопряженнымиповерхностиназываютвзаимодействующиеповерхности звеньев высшей кинематической пары, обеспечивающиезаданный закон относительного движения.Основная теорема зацепленияТеорема.Две сопряженные поверхности в точке контакта имеют общую нормаль,перпендикулярную вектору относительной скорости vотн двух поверхностейв точке касания (рис.
10.1.) (10.1)vотн n 0 ,где n – единичный вектор, направленный вдоль общей нормали к двумсопряженным поверхностям в точке касания.Рис. 10.1. Сопряженные поверхностиДоказательство.◄Для обеспечения заданного закона относительного движения дветвердые поверхности должны иметь в любой момент времени точку касания.Если условие (10.1) не будет выполняться, то одна поверхность будет либоотрываться от другой поверхности, либо внедряться в неѐ. В первом случаене обеспечивается заданный закон движения. Второй случай не возможен,так как две поверхности абсолютно твердые.►1Основная теорема плоского зацепленияПлоским зацеплением называют зацепление, в котором оба звенадвижутся в одной плоскости или в параллельных плоскостях.Дляплоскогозацеплениявместосопряженныхповерхностейрассматривают сопряженные профили.
Сопряженными профилями называюткривые, получаемые в сечении сопряженных поверхностей плоскостьюпараллельной плоскости движения.Основная теорема плоского зацепленияТеорема.Общая нормаль, проведенная в точке касания к двум сопряженнымпрофилям, делит линию центров O1O2 на части обратно пропорциональныеугловым скоростям 1 и 2 (рис. 10.2)u12 LO P1 2 .2LO1P(10.1)В приведенном выражении верхний знак минус соответствует внешнемузацеплению, нижний знак плюс – внутреннему зацеплению.При внешнем зацеплении полюс зацепления P расположен внутриотрезка O1O2 и угловые скорости 1 , 2 направлены в разные стороны.
Привнутреннем зацеплении полюс зацепления P расположен на линии центроввне отрезка O1O2 и угловые скорости 1 , 2 направлены в одну сторону.Рис. 10.2 Схема плоского зацепления2Доказательство.◄Схема внешнего плоского зацепления представлена на рис. 10.3. Точкукасания двух профилей обозначают буквой K . Если точка принадлежитпервому профилю П1 , то еѐ обозначают K1 , если второму профилю П 2 – K 2 .В данный момент времени эти точки совпадают, но имеют различные повеличине и направлению скорости. Скорость vK 1 перпендикулярна линииO1K , а скорость vK 2 перпендикулярна линии O2 K .
По теореме о сложениискоростейvK2 vK1 vK2K1 .На основании основной теоремы зацепления скорость скольженияпрофиля П 2 по поверхности профиля П1 перпендикулярна общей нормалиn–n, проведенной в точке касания двух профилей. Следовательно, проекциискоростей vK1 и vK 2 на общую нормаль равныvKn 2 vKn 1 ,илиvK2 cos(2 ) vK1 cos(1) .(10.2)Рис. 10.3. Схема внешнего плоского зацепления к доказательствутеоремы3Профили П1 и П 2 совершают вращательные движения вокруг точек O1и O2 . Следовательно,vK1 1 LO1K ,vK2 2 LO2K .(10.3)Подставив выражения (10.3) в (10.2), получают (см.
рис. 10.3)2 LO2 K cos 2 1 LO1K cos 1 2 LO2 N2 1 LO1N11 LO2 N2.2 LO1N1(10.4)Из рис. 10.3 видно, что N1PO1 N2 PO2 и O1N1P O2 N 2 P 900 .Следовательно, O1N1P подобен O2 N 2 P . Из подобия треугольников имеютLO2 N2LO1N1LO2PLO1PLN2PLN1P.(10.5)Из выражений (10.4) и (10.5) получают1 LO2 P.2 LO1PПри внешнем зацеплении два профиля вращаются в разные стороны u12 12 , при внутреннем зацеплении профили вращаются в однусторону u12 1 2 . Теорема доказана.►Полюсом зацепления P называют мгновенный центр скоростей (МЦС) вотносительном движении двух профилей.Утверждение.Общая нормаль n-n , проведенная в точке касания к двум сопряженнымпрофилям, пересекает линию центров O1O2 в полюсе зацепления P (см. рис.10.2).
Поэтому относительная скорость двух профилей в точке контакта(скорость скольжения) равна произведению относительной угловой скоростина расстояние от полюса P до точки касания Kvск (1 2 ) LKP .4(10.7)В формуле (10.2) верхний знак плюс соответствует внешнемузацеплению, нижний знак минус – внутреннему зацеплению.Доказательство.◄На основании основной теоремы плоского зацепления и формулы(10.5) имеют1 LO2 P LN 2P.2 LO1P LN1PСкорость скольжения двух профилей в точке касания K определяютчерез проекции скоростей точек K1 и K 2 на общую касательную (см.рис. 10.3):vск vK 2 K1 (vK 2 ) (vK1 ) 2 LO2 K sin 2 1 LO1K sin 1 2 LKN 2 1 lKN1 2 ( LN 2 P LKP ) 1 ( LN1P LKP ) 2 LN 2 P 1 LN1P (2 1 ) LKP 2 LN 2 P 2 LN 2 PLN1P LN1P (2 1 ) LKP (2 1 ) LKP .Если точка касания двух профилей расположена в точке P, то LKP 0 иотносительная скорость vK2K1 vск 0 .
Следовательно, точка P являетсямгновенным центром скоростей (МЦС) в относительном движении двухпрофилей.Для внешнего зацепления утверждение доказано. Для внутреннегозацепления утверждение доказывают аналогично.►Эвольвента окружности и ее свойстваЭвольвентой окружности называют линию, которую описываетпроизвольная точка прямой линии N–N при ее перекатывании по окружностибез скольжения (рис. 10.4). Прямую линию N–N называют производящейпрямой,аокружность,покоторойонаобкатывается–основнойокружностью.
Все параметры, относящиеся к основной окружности,обозначают с нижним индексом «b».5Рис. 10.4. Эвольвента окружностиНа рис. 10.4 введены следующие обозначения: K b – начальная точкаэвольвенты; K y – произвольная точка эвольвенты; OKb – начальный радиусвектор; OK y – текущий радиус-вектор; – касательная к эвольвенте вточке K y . Углом профиля эвольвенты в произвольной точке y называют уголмежду касательной к эвольвенте и текущим радиус-вектором OK y (см.рис.4). Угол K yON y y . Эвольвентным углом в произвольной точке y называют угол междуначальным радиус-вектором OKb и текущим радиус-вектором OK y .Свойства эвольвенты1. Нормаль N–N, проведенная к эвольвенте в произвольной точке K y ,является касательной к основной окружности (см.
рис. 10.4).2. Длина дуги Kb N y равна длине отрезка N y K y (Kb N y N y K y ) , гдеN y – точка касания нормали N–N с основной окружностью.63. Центр кривизны эвольвенты в произвольной точке K y лежит в точкекасания нормали N-N с основной окружностью (т. N y ), а, следовательно,радиус кривизны эвольвенты в произвольной точке K y равен длине отрезкаN y K y ( y LN y K y ) .4. Эвольвентныйуголвпроизвольнойточке y inv y ,гдеinv tg () – инволюта угла . В последнее выражение угол необходимо подставлять в радианах.Доказательство.◄Из рис.
10.4 видно, чтоKb N y rb ( y y ) ,N y K y rb tg() .На основании свойства 2 эвольвентной кривой имеютrb ( y y ) rb tg( y ) y tg( y ) y inv( y ) .►5. Расстояние между двумя эвольвентами, измеренное по нормали к ним,равно шагу по основной окружности: a pb (рис.10.5).Рис. 10.5.6. Форма эвольвенты зависит только от радиуса основной окружности.При возрастании rb увеличивается радиус кривизны эвольвенты. Приrb эвольвента преобразуется в прямую линию.77. Эвольвента – симметричная кривая с двумя ветвями, сходящимися вточке K b .8.
Эвольвента не имеет точек внутри основной окружности.Свойства эвольвентного зацепленияЛинией зацепления называют линию, на которой расположены точкикасания двух сопряженных профилей.1. Линией эвольвентного зацепления N1N 2 является прямая линия,которая проходит по касательной к двум основным окружностям rb и rb (см.21рис.
10.6).Рис. 10.6. Эвольвентное зацеплениеДоказательство.◄На основании свойства 1 эвольвентной кривой нормаль к эвольвентеЭ1 является касательной к основной окружности rb1 , а нормаль к эвольвентеЭ2 является касательной к основной окружности rb2 . В точке касания двегладкие кривые имеют общую нормаль. Следовательно, общая нормальодновременно касается двух основных окружностей.
Таким образом, точкакасания двух эвольвентных профилей в любом положении лежит на линииN1N2.►8Полюс зацепления P находится в точке пересечения линии зацепления имежосевой линии O1O2 . Угол W между линией зацепления N1N 2 и линиейT-T перпендикулярной межосевой линии называют углом зацепления.Окружности, проходящие через полюс зацепления P, называютначальнымиокружностями.Радиусыэтихокружностейrw1, rw2определяют из O1N1P и O2 N 2 P :rw1 rb1,cos wrw2 rb 2,cos w(10.8)где rb1, rb 2 – радиусы основных окружностей.Межосевое расстояние определяют по формулеaw rw1 rw2(10.9)2.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
