Симметрические уравнения (835798), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Ищем целыекорни среди делителей свободного члена (−6). Подстановка показывает, что одним из корней будет 1 = −1. В таком случае наш многочлен должен без остатка делитьсяна + 1.58Теория, примеры и задачи3 +22 −5 −632+12 +−6 +2 −52 +−6 −6−6 −60Найдем корни частного 2 + − 6 и запишем:3 + 22 − 5 − 6 = ( + 1)(2 + − 6) = ( + 1)( + 3)( − 2).Таким образом, многочлен имеет три корня: 1 = −1,2 = −3 и 3 = 2.
В силу симметричности системы уравнений, ее решениями будут все возможные перестановкиэтих значений: 1 = −1, 1 = −3, 1 = 2;2 = −1, 2 = 2,2 = −3 и т. д.Ответ: (−1; −3; 2), (−1; 2; −3), (−3; −1; 2), (−3; 2; −1),(2; −1; −3), (2; −3; −1).Пример 25.⎧⎪ + + = 3,⎪⎪⎨ + + = 1,⎪⎪⎪⎩ = −2.§ 3. Cистемы трех уравнений59Решение: , и должны быть корнями многочлена3 −32 ++2. Ищем целые корни среди делителей свободного члена 2. Подстановка показывает, что одним из корнейбудет 1 = 2.
В таком случае наш многочлен должен безостатка делиться на ( − 2).3 −32 + +23 −22−22 − − 1−2 +−2 +2− +2− +20Найдем корни трехчлена 2 − − 1: 2 =√1− 52и 3 =√1+ 5.2√ )︃ (︃√ )︃1−51+53 − 32 + + 2 = ( − 2) −−.22(︃В силу симметричности системы уравнений, ее решениямибудут все(︁возможные перестановкизначений1 , 2 и 3 .
)︁√√ )︁ (︁√√ )︁ (︁√√1− 5 1+ 51+ 5 1− 51− 5Ответ: 2; 2 ; 2, 2; 2 ; 2 ,; 2; 1+2 5 ,2(︁ √)︁ (︁ √)︁√ )︁ (︁√√√1+ 51− 51− 5 1+ 51+ 5 1− 5;2;,;;2,;;2.22222260Пример 26.Теория, примеры и задачи⎧ ⎪+ + = 3,⎪⎪⎪⎨ + + = 3,⎪ ⎪⎪⎪⎩ + + = 3.Решение. Введем обозначения:⎧⎧⎪⎪⎪=, + + = 3,⎪⎪⎪⎪⎨⎨ = , ⇒ ⎪ + + = 3,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ = 1.⎩ = .Значения , и должны быть корнями многочлена3 − 32 + 3 − 1 ⇒ ( − 1)3 = 0. Три совпадающихкорня.
Следовательно, = = ⇒ = = = 1. Далее = = . Из условия + + = 3 следует = = = 1.Ответ: (1; 1; 1).Пример 27.⎧⎪ + + = 6,⎪⎪⎨2 + 2 + 2 = 12,⎪⎪⎪⎩4 + 4 + 4 = 48.§ 3. Cистемы трех уравнений61Решение. Воспользуемся формулами (6) на с. 56.⎧⎪ + + = 1 ,⎪⎪⎨ + + = 2 ,⎪⎪⎪⎩ = ;3⎧⎪ = 6,⎪⎪⎨ 112 − 22 = 12,⎪⎪⎪⎩ 4 − 4 2 + 2 2 + 4 = 48.1 311 22Применяя поочередную подстановку, находим 1 , 2 , 3 .⎧⎪ = 6,⎪⎪⎨ 12 = 12,⎪⎪⎪⎩ = 8.3⎧⎪ + + = 6,⎪⎪⎨⇒ + + = 12,⎪⎪⎪⎩ = 8.Значения , и должны быть корнями многочлена3 − 62 + 12 − 8 ⇒ ( − 2)3 = 0.
Три совпадающихкорня. Следовательно, = = = 2.Ответ: (2; 2; 2).Пример 28.⎧⎪ + + = 2,⎪⎪⎨( + )( + ) + ( + )( + ) + ( + )( + ) = 1,⎪⎪⎪⎩2 ( + ) + 2 ( + ) + 2 ( + ) = −6.Решение. Раскроем скобки во втором и третьем уравне-ниях системы и обратимся к формулам (6) и (7) на с. 56.62Теория, примеры и задачиСистему можно переписать в виде⎧⎪ = 2,⎪⎪⎨ 132 + 12 − 22 = 1,⎪⎪⎪⎩ − 3 = −6;1 23⎧⎪ = 6,⎪⎪⎨ 12 = −3,⎪⎪⎪⎩−6 − 3 = −6;3⎧⎪ = 6,⎪⎪⎨ 12 = −3,⎪⎪⎪⎩ = 0.3Значения , и должны быть корнями многочлена3 − 22 − 3 = (2 − 2 − 3) ⇒ 1 = 0, 2 = −1, 3 = 3.Ответ: (−1; 0; 3), (−1; 3; 0), (0; −1; 3), (0; 3; −1), (3; −1; 0),(3; 0; −1).Пример 29.⎧⎨2 + 2 + 2 = 12,⎩ + + = 12.Решение. Вычтем из левой части первого уравнения ле-вую часть второго, соответственно – из правой правую.⎧⎨2 + 2 + 2 − + + = 0,⎩ + + = 12.Умножим левую и правую части первого уравнения на 2.22 + 2 2 + 2 2 − 2 + 2 + 2=0⇒⇒ (2 − 2 + 2 ) + (2 − 2 + 2 ) + ( 2 − 2 + 2 ) = 0 ⇒⇒ ( − )2 + ( − )2 + ( − )2 = 0 ⇒ = = .
Подставив§ 3. Cистемы трех уравнений63в уравнение 2 + 2 + 2 = 12 переменную вместо и ,получим: 32 − 12 ⇒ = ±2.Ответ: (2; 2; 2), (−2; −2; −2).Пример 30. Решить систему уравнений с параметром :⎧⎪ + + = 2,⎪⎪⎨2 + 2 + 2 = ,⎪⎪⎪⎩3 + 3 + 3 = 8.Решение. Обратимся к формулам (6) на с. 56.⎧⎪ = 2,⎪⎪⎨ 112 − 22 = ,⎪⎪⎪⎩ 3 − 3 + 3 = 8.1 3313 − 22 +4−2⎧⎪ = 2,⎪⎪⎨ 1⇒ 2 = 4−,2⎪⎪⎪⎩ = 4 − .3(︀− (4 − ) = 0 ⇒ ( − 2) 2 +корни будут вещественнымитолько√︁√︁ при−4, 3 = −4.
≥ 4: 1 = 2, 2 = −224−24−2)︀= 0. Все≤ 0, т. е. приОтвет: при < 4 система не имеет решений,при = 4 : (2; 0; 0)(︁, (0; 2;√︁0), (0;√︁0; 2),)︁ (︁ √︁√︁ )︁−4−4−4при > 4 : 2; −;, 2;; − −4 ,2√︁ )︁ (︁√︁√︁2 )︁ (︁ √︁ 2 √︁ 2 )︁(︁ √︁−4− −4; 2; −4,; 2; − −4, − −4; −4;2 ,222222√︁(︁√︁)︁−4; − −4;2 .2264Теория, примеры и задачиСледующие три примера рассчитаны на «продвинутого»старшеклассника, дружащего с комплексными числамии производными.Пример 31. Определить, при каких значениях парамет-ров и система имеет ровно одно вещественное решениеи найти это решение.⎧⎪ + + = 3,⎪⎪⎨ + + = 3,⎪⎪⎪⎩ = 1.Решение. Рассмотрим многочлен () = 3 − 32 + 3 − 1.(8)Из теории известно, что многочлен 3-й степени можетиметь один или три вещественных корня.
Если вещественный корень один (два других комплексные), то системане имеет вещественных решений. Если многочлен имееттри вещественных корня: 1 , 2 и 3 , то решениями исходной системы уравнений будут тройки (; ; ), полученныеиз всех возможных перестановок 1 , 2 и 3 . В частности,если мы имеем три различных корня, система будет иметь3! = 6 решений. Одно решение возможно только тогда,§ 3.
Cистемы трех уравнений65когда все три корня совпадают, т. е. многочлен можнопредставить в виде () = ( − )3 = 3 − 32 + 32 − 3 .(9)Приравняем коэффициеты в правых частях уравнений8 и 9:⎧⎪−3 = −3,⎪⎪⎨3 = 32⎪⎪⎪⎩−3 = −1.⎧⎪ = 1,⎪⎪⎨⇒ = 1,⎪⎪⎪⎩ = 1.Таким образом, = 1, = 1 и 1 = 2 = 3 = 1. () = 3 − 32 + 3 − 1. График функции () представлен на рис. 7.Рис. 7.График многочлена ()Ответ. Только при условии ( = 1)&( = 1) система имеетровно одно решение: = = = 1.66Теория, примеры и задачиА что если задать возмущение одного из параметров, т.
е.изменить его на небольшую величину? Например, пусть = 1.001. Построим график уравнения с возмущеннымпараметром: () = 3 − 32 + 3 · 1.001 − 1. Окажется,что он визуально неотличим от изображенного на рис. 7и также пересекает ось абсцисс только в одной точке.Может, и в этом случае у системы будет единственное решение? Нет! Многочлен с возмущенным коэффициентомимеет один вещественный и два комплексных корня.
Прилюбом малом возмущении параметров и появляютсякомплексные корни, и потому система не имеет вещественного решения.Пример 32. Определить, при каких значениях парамет-ра система не имеет вещественных решений; имеет ровнотри; ровно шесть вещественных решений.⎧⎪ + + = − 23 ,⎪⎪⎨ + + = −6,⎪⎪⎪⎩ = .Решение. Решениями системы уравнений будут все веще-ственные тройки чисел (; ; ), являющиеся корнями многочлена () = 3 + 32 2 −6−. Определим вспомогательныймногочлен () = 3 + 23 2 − 6.
Его график представлен на§ 3. Cистемы трех уравнений67рис. 8. Очевидно, () = () − .Рис. 8.График многочлена ()Производная ′ () = 32 − 3 − 6 = 3( − 2)( + 1). Отсюда(−∞; −1)∪(2; +∞) – область возрастания функции; (−1; 2)– область убывания функции; (−1) – точка максимума;2 – точка минимума. График () получается смещениемграфика () вверх или вниз в зависимости от знака . Нарис.9а показан график функции () − 3.5, а на рис.9б – график функции () + 10. Графики соответствуютслучаям, когда () имеет три вещественных корня, дваиз которых кратны (при = 3.5 или = −10).
Тогда при ∈ (−10; 3.5) ось пересечет график функции в трехточках – три различных корня, а при ∈ (−∞; −10) ∪(3.5; +∞) – только один вещественный корень. Теперь мыможем сформулировать ответ.68Теория, примеры и задачиРис. 9.Графики многочленов: а) () − 3.5; б) () + 10Ответ: при ∈ (−∞; −10) ∪ (3.5; +∞) система не имеетвещественных решений; при = 3.5 и = −10 имеет ровно три вещественных решения; при ∈ (−10; 3.5) – ровношесть.Пример 33. При каких значениях параметра системаимеет ровно одно решение?⎧⎪ + + = 3,⎪⎪⎨ + + = 6,⎪⎪⎪⎩ = 4.Решение. Решение будет единственным, если все трикорня многочлена 3 −32 +6−4 совпадают.
В такомслучаемногочленможнопредставитьввиде( − ) = − 3 + 3 − . Приравняв коэффициен33223§ 3. Cистемы трех уравнений69ты многочленов, получим:⎧⎪3 = 3,⎪⎪⎨32 = 6,⎪⎪⎪⎩3 = 4.⎧⎪ = ,⎪⎪⎨⇒ 2 = 2,⎪⎪⎪⎩3 = 4.⎧⎪ = ,⎪⎪⎨⇒ ( − 2) = 0,⎪⎪⎪⎩( − 2)( + 2) = 0.Таким образом, возможны два случая: при = 0 существует единственное решение (0; 0; 0) и при = 2 – (2; 2; 2).Ответ: = 0 и = 2.Теорему Виета можно обобщить на многочлены любой степени.
Так, для корней многочлена четвертой степени4 + 3 + 2 + + = ( − 1 )( − 2 )( − 3 )( − 4 )имеют место равенства:⎧⎪1 + 2 + 3 + 4 = −,⎪⎪⎪⎪⎪⎨1 2 + 1 3 + 1 4 + 2 3 + 2 4 + 3 4 = ,⎪⎪1 2 3 + 1 2 4 + 1 3 4 + 2 3 4 = −,⎪⎪⎪⎪⎩1 2 3 4 = .Предоставляем читателю возможность самому определитьпринцип построения таких систем уравнений.70Теория, примеры и задачи3.2. Задачи54 ⇔ 72⎧⎪ + + = 6,⎪⎪⎨149.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
