Симметрические уравнения (835798), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Левую и правую части второго уравнения мы умножили на 2 и на −3 и, таким образом, получили систему, симметричную относительно выражений(2) и (−3). Далее, опираясь на обратную теорему Виета,нашли значения этих выражений как корней некоторогоквадратного уравнения, а затем и сами неизвестные.Пример 14.⎧⎨5 − 2 = 24,⎩ = −1.Решение:⎧⎨(5) + (−2) = 24,√⇒ 2 −24+10 = 0 ⇒ 1,2 = 12± 134.⎩(5)(−2) = 10.⎧⎨5 = 12 − √134,1.⎩−2 = 12 + √134;⎧⎨5 = 12 + √134,2.⎩−2 = 12 − √134;⎧⎨ =⎩ =√12− 134,5√−12− 134.2⎧⎨ =⎩ =√12+ 134,5√−12+ 134.2§ 2. Симметрия относительно выраженийОтвет:(︁)︁√√12− 134 −12− 134;,52(︁43)︁√√12+ 134 −12+ 134;.52Тот, кому приходилось решать такие системы методомподстановки, согласится, что у нас это получилось быстрои без особого напряжения.Пример 15.⎧⎨ + = 8,⎩( − 3)( + 1) = 8.Решение:⎧⎨( − 3) + ( + 1) = 6,⎩( − 3)( + 1) = 8;1.⎧⎨ − 3 = 2,⎩ + 1 = 4.2.⎧⎨ − 3 = 4,⎩ + 1 = 2.Ответ: (5; 3), (7; 1).Пример 16.⎧⎨ + = 5,⎩( − 2)( + 4) = 3.Решение:⎧⎨( − 2) + ( + 4) = 7,⎩( − 2)( + 4) = 3.2⇒ −7+3 = 0 ⇒ 1,2 =7±√237.44Теория, примеры и задачи√√⎧⎧11−7−3737⎪⎪⎨ − 2 =, ⎨ =,2√2√1.⎪⎩ = −1 + 37 .⎩ + 4 = 7 + 37 ; ⎪22√√⎧⎧7+3711+37⎪⎪⎨ − 2 =, ⎨ =,2√2√2.⎪⎩ + 4 = 7 − 37 ; ⎪⎩ = −1 − 37 .22(︁ √√ )︁ (︁√√ )︁Ответ: 11−2 37 ; −1+2 37 , 11+2 37 ; −1−2 37 .Пример 17.⎧⎨3 + 5 = 11,⎩( + 1)( − 2) = −4.Решение:⎧⎨3 + 5 = 11,⎩(3 + 3)(5 − 10) = −60;⎧⎨(3 + 3) + (5 − 10) = 4,⎩(3 + 3)(5 − 10) = −60.2 − 4 − 60 = 0 ⇒ 1 = 10,⎧⎧⎨3 + 3 = 10,⎨3 = 7,1.⎩5 − 10 = −6; ⎩5 = 4;2 = −6.⎧⎪⎨ = 7 ,34⎪⎩ = .5§ 2.
Симметрия относительно выражений2.Ответ:⎧⎨3 + 3 = −6,⎧⎨3 = −9,⎧⎨ = −3,⎩5 − 10 = 10;⎩5 = 20;⎩ = 4.;43 5(︀ 745)︀, (−3; 4).Пример 18.⎧⎨3 − 4 = 5,⎩( − 2)( − 3) = 2.Решение:⎧⎨3 − 4 = 5,⎩(3 − 6)(−4 + 12) = −24;⎧⎨(3 − 6) + (−4 + 12) = 11,⎩(3 − 6)(−4 + 12) = −24.√√21711−2172 − 11 − 24 = 0 ⇒ 1 =, 2 =.22√√⎧⎧⎪⎪⎨3 − 6 = 11 + 217 ,⎨ = 23 + 217 ,2 √6√1.⎪⎪11−21713+217⎩−4 + 12 =; ⎩ =.28√√⎧⎧11−23−217217⎪⎪⎨3 − 6 =⎨ =,,2 √6√2.⎪⎩−4 + 12 = 11 + 217 ; ⎪⎩ = 13 − 217 .28(︁ √)︁ (︁ √)︁√√Ответ: 23+6 217 ; 13+8 217 , 23−6 217 ; 13−8 217 .11 +Следующий прием основан на тождестве, доказательство46Теория, примеры и задачикоторого не составляет труда: + + = ( + )( + ) − .Пример 19.⎧⎨ + = 8,⎩3 − 2 + = 14.Решение:⎧⎨ + = 8,⎩( − 2)( + 3) + 6 = 14;1.⎧⎨ − 2 = 1,⎩ + 3 = 8;⎧⎨( − 2) + ( + 3) = 9,⎩( − 2)( + 3) = 8.1 = 1, 2 = 8.⎧⎧⎨ − 2 = 8,⎨ = 3,2.⎩ + 3 = 1;⎩ = 5.Ответ: (3; 5), (10; −2).Пример 20.⎧⎨ + = 5,⎩2 + 5 + = −2.⎧⎨ = 10,⎩ = −2.§ 2.
Симметрия относительно выражений47Решение:⎧⎨ + = 5,⎩( + 5)( + 2) = 8;⎧⎨( + 5) + ( + 2) = 12,⎩( + 5)( + 2) = 8.√⇒ 2 − 12 + 8 = 0 ⇒ 1,2 = 6 ± 2 7.⎧⎧⎨ + 5 = 6 − 2√7, ⎨ = 1 − 2√7,1.⎩ + 2 = 6 + 2√7; ⎩ = 4 + 2√7.⎧⎧⎨ + 5 = 6 + 2√7, ⎨ = 1 + 2√7,2.⎩ + 2 = 6 − 2√7; ⎩ = 4 − 2√7.√√ )︀ (︀√√ )︀Ответ: 1 − 2 7; 4 + 2 7 , 1 + 2 7; 4 − 2 7 .(︀Пример 21.⎧⎨4 + 7 = 15,⎩3 − 5 + 2 = 5.Решение:⎧⎨4 + 7 = 15,⎩ 3 − 5 + = 5 ;222⎧⎪⎨4 + 7 = 15,)︂ (︂)︂(︂355⎪+=− .⎩ −22448Теория, примеры и задачи⎧(︂)︂⎧2131⎪⎪⎪= ,⎨4 + 7 = 15,⎨(4 − 10) + 7 +22(︂)︂(︂)︂2121⎪⎪= −35;⎪⎩(4 − 10) 7 += −35.⎩(4 − 10) 7 +223531 − 35 = 0 ⇒ 1 = −2, 2 = .22⎧⎧⎧⎨4 − 10 = −2, ⎨4 = 8, ⎨ = 2,1.⎩7 + 21 = 35 ; ⎩7 = 7; ⎩ = 1.22⎧⎧⎧3555⎪⎪⎪⎨4 − 10 = , ⎨4 = ,⎨ = 55 ,2282.212525⎪⎪⎪⎩7 +⎩⎩= −2;7 = − ;=− .2214(︀ 55 25 )︀Ответ: (2; 1), 8 ; − 14 .⇒ 2 −Не проще ли было в первом уравнении выразить через и подставить во второе? Возможно.
Однако здесь мы всеголишь иллюстрируем прием, который в другой ситуацииможет оказаться более эффективным.Пример 22.⎧⎨ + = −8,⎩2 + 2 + 6 + 2 = 0.§ 2. Симметрия относительно выраженийРешение:⎧⎨ + = −8,⎩( + 3)2 + ( + 1)2 = 10;⎧⎨ = + 3,⎧⎨( + 3) + ( + 1) = −4,⎩( + 3)2 + ( + 1)2 = 10.⎧⎨ + = −4,⎩2 + 2 = 10;⎩ = + 1;⎧⎨ + = −4,⎩ = 3.⎧⎨ + = −4,⎩( + )2 − 2 = 10.⇒ 1 = −1, 2 = −3.⎧⎨ = −1,⎧⎨ + 3 = −1,⎧⎨ = −4,⎩ = −3;⎧⎨ = −3,2.⎩ = −1;⎩ + 1 = −3;⎩ = −4.⎧⎨ = −6,⎩ = −2.1.⎧⎨ + 3 = −3,⎩ + 1 = −1;Ответ: (−4; −4), (−6; −2).Пример 23.⎧⎨ + 2 = 2,⎩2 + 3 = 4.Решение:⎧⎨( + ) = 2,⎩3( + ) − = 4.4950Теория, примеры и задачиВведем замену переменных + = .⎧⎨− + 3 = 4,⎩ = 2;⎧⎨(−) + (3) = 4,⎩(−)(3) = −6.√2 − 4 − 6 = 0 ⇒ 1,2 = 2 ± 10.⎧⎧⎨− = 2 − √10,⎨ = −2 + √10,1.√⎩3( + ) = 2 + √10; ⎩ = 8−2 10 .32.Ответ:⎧⎨− = 2 + √10,⎧⎨ = −2 − √10,⎩3( + ) = 2 − √10;⎩ =(︁−2 +√√10; 8−2310√8+2 10.3)︁ (︁√ )︁√, −2 − 10; 8+23 10 .2.2.
Задачи41 ⇔ 54⎧⎨ + 5 = 7,96.⎩ = 2.⎧⎨7 − 4 = 2,97.⎩ = 6.⎧⎨2 − 5 = −4,98.⎩ = 6.⎧⎧⎧⎨3 − 7 = 8,⎨5 + = −5,⎨5 − 2 = 10,99.100.101.⎩ = 5.⎩ = −10.⎩ = 20.§ 2. Симметрия относительно выражений51⎧⎧⎧⎨11 − 3 = 3,⎨2 + 3 = 43,⎨5 − 4 = 5,102.103.104.⎩ = 30.⎩ = 72.⎩ = 15.⎧⎧⎧⎨3 + 4 = 2,⎨ − 7 = −1,⎨2 + 5 = −2,105.106.107.⎩ = −4.⎩ = 6.⎩ = −12.⎧⎧⎧⎨2 + 5 = 2,⎨2 − 5 = 10,⎨3 − = 8,108.109.110.⎩ = 5.⎩ = 2.⎩ = 2.⎧⎧⎧⎨7 + 2 = 20,⎨3 − 2 = 3,⎨2 + 6 = 13,111.112.113.⎩ = −1.⎩ = −3.⎩ = 2.⎧⎧⎧⎨2 − 9 = 5,⎨7 − 5 = −14,⎨3 + 6=−18,114.115.116.⎩ = −2.⎩ = 1.⎩ = 3.⎧⎨ + = 5,117.⎩( + 2)( + 3) = 24.⎧⎨ + = −3,118.⎩( − 2)( + 1) = −5.⎧⎨ + = 7,119.⎩( + 2)( − 3) = 8.⎧⎨ + = 4,120.⎩( + 3)( + 3) = 24.⎧⎨ + = −7,121.⎩( − 2)( + 2) = 12.⎧⎨ + = 2,122.⎩( + 5)( − 3) = −12.52Теория, примеры и задачи⎧⎨ + = 20,123.⎩( − 8)( − 2) = 16.⎧⎨ + = −12,124.⎩( + 10)( + 6) = 4.⎧⎨ + = 5,125.⎩( + 1)( + 2) = 7.⎧⎨ + = 7,126.⎩( − 1)( − 3) = 2.⎧⎨ + = 2,127.⎩( + 3)( − 2) = 5.⎧⎨ + = 8,128.⎩( + 2)( + 4) = 2.⎧⎨ + = −6,129.⎩( − 2)( + 5) = 3.⎧⎨ + = 1,130.⎩( − 5)( − 6) = 2.⎧⎨ + = 3,131.⎩( − 5)( + 6) = 4.⎧⎨ + = 2,132.⎩( + 1)( + 2) = −3.⎧⎨2 + 3 = 8,133.⎩( + 2)( + 1) = 9.⎧⎨5 − = 2,134.⎩( + 3)( − 2) = 4.⎧⎨3 + 4 = −7,135.⎩( − 5)( + 2) = −6.⎧⎨ − 7 = 1,136.⎩( − 2)( − 3) = −12.⎧⎨3 + = −2,137.⎩( + 3)( − 5) = −8.⎧⎨2 − 5 = −1,138.⎩( + 3)( + 5) = 30.§ 2.
Симметрия относительно выражений⎧⎨2 − 3 = 20,139.⎩( + 10)( + 5) = 2.⎧⎨3 + 5 = 2,140.⎩( + 2)( − 1) = 3.⎧⎨7 − 5 = 3,141.⎩( − 3)( + 5) = 5.⎧⎨2 − = −2,142.⎩( − 1)( − 1) = 5.⎧⎨ + = 4,143.⎩3 − 8 + = −6.⎧⎨ + = 8,145.⎩7 + 3 + = 44.⎧⎨ + = −2,144.⎩2 + + = −14.⎧⎨ + = 5,147.⎩5 + 2 + 2 = 28.53⎧⎨ + = −1,146.⎩3 − 8 − = 36.⎧⎨ + = −4,148.⎩3 + 5 − 3 = −28.§ 3.
Cистемы трех уравнений3.1. Теория и примеры50 ⇔ 70 Докажем теорему Виета для случая многочлена3-й степени. Пусть многочлен представлен в виде3 + 2 + + (4)и имеет вещественные корни 1 , 2 и 3 . Тогда его можноразложить в произведение линейных членов:3 + 2 + + = ( − 1 )( − 2 )( − 3 ).Раскроем скобки и приведем подобные:( − 1 )( − 2 )( − 3 ) == 3 − (1 + 2 + 3 )2 + (1 2 + 1 3 + 2 3 ) − 1 2 3 .Приравняем коэффициенты при степенях :⎧⎪ + 2 + 3 = −,⎪⎪⎨ 11 2 + 1 3 + 2 3 = ,⎪⎪⎪⎩ = −.1 2 3(5)§ 3.
Cистемы трех уравнений55Теорема 5 (теорема Виета). Если 1 , 2 и 3 – корнимногочлена (4), то их сумма равна коэффициенту при 2с противоположным знаком, сумма попарных произведений – коэффициенту при , а произведение 1 2 3 –свободному члену с противоположным знаком (5).Теорема 6 (обратная теорема Виета).
Если перемен-ные 1 , 2 и 3 удовлетворяют условиям (5), то они являются корнями многочлена (4).Определение 7. Многочлен (, , ) от трех переменных, и будем называть симметрическим, если в результате любых перестановок входящих в него переменных , и получается многочлен, тождественный исходному.Например, (, , ) ≡ (, , ). Следует обратить внимание на то, что симметричностью многочлен обладаеттолько относительно заданного набора переменных. Так,многочлен + симметричен относительно и , но несимметричен относительно , и .Как и в случае двух переменных, симметрическими могут быть не только многочлены, но и другие выражения,√√2 + 2 + 2 √например:, 2 + 2 + 2 , 2 + 2 + 2 .
+ + Определение 8. Выражение (, , ) от трех переменных , и будем называть симметрическим, еслив результате любых перестановок входящих в него56Теория, примеры и задачипеременных , и получается выражение, тождественное исходному.Определение9.Многочлены 1= + + ,2 = + + и 3 = – элементарные симметрические многочлены от переменных , и .Приведем без доказательства две теоремы.Теорема 6. Если в любом многочлене (1 , 2 , 3 ) вместо1 , 2 и 3 подставить соответственно + + , + + и , то получится симметрический многочлен.Теорема 7.
Любой симметрический многочлен от , и можно представить в виде многочлена от 1 = + + ,2 = + + и 3 = .В частности: + + = 1 ,2 + 2 + 2 = 12 − 22 ,3 + 3 + 3 = 13 − 31 2 + 33 ,4 + 4 + 4 = 14 − 412 2 + 222 + 41 3 .(6)§ 3. Cистемы трех уравнений57Еще три полезных тождества:2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 1 2 − 33 ,2 2 + 2 2 + 2 2 = 22 − 21 3 ,3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 12 2 − 222 − 1 3 .(7)Определение 10. Уравнение, в которое входят толькосимметрические по заданному набору переменных выражения, будем называть симметрическим.Пример 24.⎧⎪ + + = −2,⎪⎪⎨ + + = −5,⎪⎪⎪⎩ = 6.Решение. Согласно обратной теореме Виета , и долж-ны быть корнями многочлена 3 + 22 − 5 − 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
