Симметрические уравнения (835798)
Текст из файла
Математика не для ЕГЭЕ. К. БелыйСимметрические уравненияУчебное пособие для учащихся средних школПетрозаводскИздательство ПетрГУ2021УДК 512.1ББК 22.14Б439Рецензенты:С. С. Платонов, доктор физико-математических наук, профессоркафедры математического анализа ПетрГУ;Н. П. Егорова, учитель математики СОШ № 20 г. ПетрозаводскаБелый, Евгений Константинович.Б439 Симметрические уравнения : учебное пособие для учащихсясредних школ / Е. К. Белый. – Петрозаводск: ИздательствоПетрГУ, 2021. – 94, [2] с.
– (Математика не для ЕГЭ).ISBN 978-5-8021-3810-6Учебное пособие позволит освоить эффективные методы решениясистем не только симметрических алгебраических уравнений, нои целого класса других уравнений, сводящихся к симметрическим.Большая часть материала доступна ученику девятого класса.ISBN 978-5-8021-3810-6УДК 512.1ББК 22.14©Белый Е. К., 2021СодержаниеПредисловие4Теория, примеры и задачи7§ 1. Системы двух уравнений . . . . . . .
. . . . .1.1. Теория и примеры7. . . . . . . . . . . .71.2. Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35§ 2. Симметрия относительно выражений . . . .412.1. Теория и примеры. . . . . . . . . . . .412.2. Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50§ 3. Cистемы трех уравнений .
. . . . . . . . . . .543.1. Теория и примеры. . . . . . . . . . . .543.2. Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70Ответы72§ 1. Системы двух уравнений . . . . . . . . . . . .72§ 2. Симметрия относительно выражений . . . .74§ 3. Системы трех уравнений . . . . . . . . . . . .75Биографические справки76Список литературы89Симметрия является той идеей, посредством которойчеловек на протяжении веков пытался постичьи создать порядок, красоту и совершенство.Герман ВейльПредисловие⇒7Дорогой читатель! В этой книге речь пойдето симметрических уравнениях.
А раз так, попробуемсначала ответить на вопрос «что такое симметрия?».Термин «симметрия» (греч. – соразмерность)означает инвариантность (неизменность) относительнокаких-либо преобразований. Такие явления мы постоянновстречаем в живой и неживой природе, искусстве. Любомузакону сохранения соответствует своя симметрия физическихсистем.СогласнотретьемузаконуНьютона,симметричны взаимодействия тел. Так, Земля притягивает нас с той же силой, с какой мы притягиваемЗемлю. С древних времен человека завораживала волшебная структура кристаллов – от драгоценных камней допростойснежинки.Намдоставляетудовольствиесозерцать группу симметрий в соцветии.
Зеркально симметричны левая и правая части человеческого тела. Неудивительно, что это находит отражение в геометрических,5алгебраических и других математических моделях, описывающих явления окружающей нас действительности.Таким образом, уравнения, которые мы собираемся рассмотреть, вовсе не «плод измышлений праздного ума».Надеемся, пособие поможет учащемуся овладеть навыками эффективного решения не только симметрических, нои целого класса других систем алгебраических уравнений.Обычно школьник решает их методом подстановки. Этонаиболее универсальный метод, но зачастую громоздкийи требующий большого умственного напряжения.
Выполнение самого сложного задания связано с применениемряда относительно простых приемов. И если каждый изних будет требовать значительных затрат времени и сил,мы просто не дойдем до результата. Нам нужны простые,короткие и красивые решения.Учебное пособие снабжено подборкой задач, которыемогут пригодиться учителю при подготовке домашнихи контрольных заданий.
Большая часть материала доступна ученику девятого класса, но встречаются задачи, рассчитанные на старшеклассника. Такие примеры обычнорасположены в конце текущего раздела книги, и их можнопропуститьбезущербаследующего параграфа.дляпониманияматериала6ПредисловиеВ процессе работы над учебным пособием мы обращалиськ следующим учебникам и задачникам: [19, с. 71–76],[2, с.
23–31], [5, с. 77–79], [6, с. 249–251], [8, с. 164–171],[3, с. 184–187], [10, с. 70–77], [11, 249–253], [12, с. 142–145],[15, с. 70–74], [4, с. 112–116], [16, с. 132–135], [18, с. 36–42],[14, с. 106–112], [1, с. 195–203], [20, с. 40–48]. Читателям,желающим глубже познакомиться с теорией, рекомендуемработы [13, с. 321–334], [7] и [9].Биографические справки в конце книги посвященыавторам учебников и задачников по алгебре из приведенного выше списка. К сожалению, мы располагаем неполной информацией. Будем признательны каждому, ктосообщит недостающие сведения по одному из адресов:belyi@petrsu.ruилиkurs_belyi1@mail.ru.Выражаем благодарность всем, кто высказал замечанияи предложения по ранее вышедшим в печать книгамданной серии.Евгений БелыйЯнварь 2021Теория, примеры и задачи§ 1.
Системы двух уравнений1.1. Теория и примеры4 ⇔ 35Вспомним теорему Виета. Еще древние грекиприменяли ее для нахождения корней квадратного трехчлена. Но греки находили корни геометрически, с циркулем и линейкой. Нас же сейчас интересуют алгебраическиеметоды. Пусть квадратный трехчлен представлен в виде(1)2 + + и имеет вещественные корни 1 и 2 . Тогда его можноразложить в произведение двух линейных членов:2 + + = ( − 1 )( − 2 ).Раскроем скобки и приведем подобные:( − 1 )( − 2 ) = 2 − (1 + 2 ) + 1 2 .⎧⎨1 + 2 = −,Таким образом,⎩ · = .12(2)8Теория, примеры и задачиТеорема 1 (теорема Виета). Если 1 и 2 – корни квад-ратного трехчлена (1), то их сумма равна коэффициенту при с противоположным знаком, а произведение –свободному члену (2).Теорема 2 (обратная теорема Виета).
Если перемен-ные 1 и 2 удовлетворяют условиям (2), то они являютсякорнями квадратного трехчлена (1).Прямая теорема иногда помогает нам угадать корни квадратного трехчлена. Например, только взглянув на выражение 2 − 5 + 6, мы можем сказать, что 1 = 2 и 2 = 3.Аналогично мы видим корни трехчлена 2 − 5 − 6. Это1 = −1 и 2 = 6. Обратная теорема позволяет свестипроцесс решения системы вида⎧⎨ + = ,⎩ · = к нахождению корней одного уравнения.Дадим системе геометрическую интерпретацию. Графикпервого уравнения – прямая, второго – гипербола. Возможны три случая: графики имеют две точки пересечения, одну или не пересекаются. На рис.
1 приведен пример для = 1. Cистема уравнений имеет два решения,одно решение или не имеет решений, когда принимает значения 3, 2 и 1 соответственно. Координаты (; )§ 1. Системы двух уравнений9Графики уравнений: два решения ( = 3); одно решение( = 2); нет решений ( = 1)Рис. 1.точек пересечения графиков будут корнями квадратноготрехчлена 2 − · + .Пример 1.⎧⎨ + = 5,⎩ = 6.Решение. Мы могли бы сразу угадать ответ.Ответ:⎧⎨ = 2,⎩ = 3,и⎧⎨ = 3,⎩ = 2.Но тогда нас попросят обосновать отсутствие других решений. Легко! Обратная теорема Виета утверждает, чтозначения и , удовлетворяющие условию задачи, должны быть корнями квадратного трехчлена 2 − 5 + 6, а онимеет только два корня: 1 = 2 и 2 = 3.
В следующемпримере угадать решения не удастся.10Теория, примеры и задачиПример 2.⎧⎨ + = 3,⎩ = −1.Решение. Найдем корни треxчлена 2 − 3 − 1. Дискрими-нант = 9 + 4 = 13. Значит,1 =3−√13,22 =3+√132.Теперь можно записать ответ.Ответ:⎧⎨ =⎩ =√3− 13,2√3+ 13,2и⎧⎨ =⎩ =√3+ 13,2√3− 13.2Поскольку решениями системы уравнений с двумя неизвестными являются пары значений и , которые интерпретируются как координаты точек на плоскости, в дальнейшеммы будемзаписывать(︁ √(︁ √√ )︁√ )︁3− 13 3+ 133+ 13 3− 13;и;.2222Пример 3.ввиде⎧⎨ + = 3√2,⎩ = √6 + 1.Найдем√√2 − 3 2 + 6 + 1.Решение.ответкорниквадратного трехчлена√√ = 18 − 4 6 − 4 = 14 − 4 6.§ 1. Системы двух уравнений11Никто не осудил бы нас, если бы мы записали:1,2√︀√√3 2 ± 14 − 4 6=2и на том остановились. Однако попробуем представить√√√√14 − 4 6 как полный квадрат: 14 − 4 6 = ( 2 − 3)2 .Преобразуем правую часть равенства√√14 − 4 6 = 22 + 32 − 2 6.Подберем такие и , чтобы выполнялись условия:⎧⎨2 = 4,⎩22 + 32 = 14.√√Подходит = 1 и = 2.
Тогда = (2 3 − 2)2 .√√√√√√√ = 2 3 − 2. Отсюда 1 = 2 2 − 3, 2 = 2 + 3.√ √√ )︀ (︀√√ √√ )︀(︀ √2 + 3; 2 2 − 3 .Ответ: 2 2 − 3; 2 + 3 ,√ √√3 2+ 14−4 6Вывод: если получили =, а в задачнике дан2√√ответ =2 + √3, это еще не значит, что вы√√√√3 2+ 14−4 6ошиблись. Просто= 2 + 3.212Теория, примеры и задачиПример4(перваяМосковскаяматематическаяолимпиада, 1936).
Сколько действительных решенийимеет система⎧⎨ + = 2,⎩ − 2 = 1?Решение. При каждом фиксированном мы имеем сим-метричную относительно и систему уравнений⎧⎨ + = 2,⎩ = 1 + 2 .⇒ 2 − 2 + 1 + 2 . /4 = − 2 ./4 ≥ 0 только при = 0. Тогда квадратный трехчлен2 − 2 + 1 имеет два совпадающих корня: 1 = 2 = 1.Единственное решение: = = 1, = 0.Ответ: одно решение.Определение 1. Многочлен (, ) от двух переменныхибудемназыватьсимметрическим,если (, ) ≡ (, ).Это значит, что если в многочлене поменять местами переменные, то мы получим многочлен, тождественный исходному. Симметрическими являются уже знакомые наммногочлены + и , а также 2 + 2 , − 3 + ,5 + 22 + 5 + 2 2 и т. д. Здесь мы акцентируем внимание§ 1.
Системы двух уравнений13на симметрических многочленах, но, конечно, симметрическими могут быть и другие выражения:√︀√2 + 2,2+2, 2 + 2 . . .6 + 2 + 6На этот случай сформулируем более общее определение.Определение 2. Выражение (, ) от двух переменныхибудемназыватьсимметрическим,если (, ) ≡ (, ).Определение 3. Многочлены 1 = + и 2 = будемназывать элементарными симметрическими.Приведем без доказательства две теоремы, утверждениякоторых, возможно, многим покажутся очевидными.Теорема 3.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
