Симметрические уравнения (835798), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Из второго уравнения следует, что ≥ 0. Рас-смотрим случай = 0. Тогда из первого уравнения следует = , а из второго = 0. Значит, при = 0 существуетединственное решение: = = 0. Этот случай нас не интересует. В дальнейшем будем рассматривать только > 0.Введем замену переменной = −. Теперь систему можнопереписать в виде⎧⎨( + = − 2 ) ∨ ( + = −3),⎩( = ) ∨ ( = −),где ∨ – логическое «или».Таким образом, нам следует рассмотреть четыре случая:⎧⎨ + = − 2 ,1.⎩ = .21 − 3⇒ 2 + + = 0, = 4 ·.2 > 0 при ∈ (0; 1) – два решения; = 0 при = 1 –§ 1. Системы двух уравнений29одно решение.⎧⎨ + = −3,2.⎩ = .⇒ 2 + 3 + = 0, = (9 − 4).
> 0 при ∈ ( 94 ; +∞) – два решения; = 0 при =49–одно решение.⎧⎨ + = − 2 ,3.⎩ = −.1 + 32.⇒ 2 + − = 0, = 4 ·2 > 0 при ∈ (0; +∞) – два решения.⎧⎨ + = −3,4.⎩ = −.⇒ 2 + 3 − = 0, = (9 + 4). > 0 при ∈ (0; +∞) – два решения.Помним, что нас интересуют только положительные значения . В двух последних пунктах имеем в сумме четыре решения при всех из интервала (0; +∞).
Остальныечетыре принадлежат пересечению интервалов ∈ (0; 1)и ( 94 ; +∞) из первых двух пунктов, на каждом из которыхимеется два решения: (0; 1) ∩ ( 49 ; +∞) = ( 49 ; 1). Однако√︁решения могут совпадать при 2 = 3, т. е. при = ± 23 .30Теория, примеры и задачиОтрицательный корень нас √︁не интересует, а положитель2ный, как легко проверить,> 49 . Исключим этот слу3чай. Система уравнений√︁√︁будет иметь ровно восемь реше42ний при ∈ ( 9 ; 3 ) ∪ ( 23 ; 1).√︁√︁Ответ: ( 49 ; 23 ) ∪ ( 23 ; 1).Обычно графики строят в процессе работы над задачей.В нашем случае обратимся к ним для анализа результатов.График первого уравнения распадается на две параллельные прямые, график второго – на две гиперболы.
Решениям соответствуют точки пересечения прямых с гипербола4ми. Как√︁ )︁ на рис. 3, при = 9 (левая граница интер(︁ видновала 49 ; 23 ) таких пересечений семь, при = 23 (внут(︁ √︁ )︁ри интервала 94 ; 23 ) – восемь пересечений. На рис. 4Рис. 3.при =Графики к примеру 16: =√︁2349(слева); =23(справа)(две прямые совпадают) – четыре точки, при§ 1.
Системы двух уравнений =910Рис. 4.(внутри интервала31(︁√︁Графики к примеру 16: =)︁2;13√︁23) – восемь точек. На(слева); =рис. 5 при = 1 (граница интервалаточек пересечения, при =43(︁√︁910)︁2;13(справа)) – восемь(точка справа от 1) – четыреточки пересечения. При движении слева направо вдольРис. 5.Графики к примеру 16: = 1 (слева); =43(справа)вещественной оси одна прямая на графике поднимается32Теория, примеры и задачивверх параллельно самой себе, а другая опускается вниз.Пример 17. Решить систему уравнений⎧⎨||+||= 1,⎩2 + 2 = .Решение. Из вида уравнений следует, что ≥ 0. Гра-фик первого уравнения – квадрат, второго – окружность√√радиусом (рис 6).
Если радиус окружности меньше 22Рис. 6.Графики к примеру 17или больше 1, система не имеет решений. При радиусе,равном√22или 1, существуют четыре решения, а если зна-§ 1. Системы двух уравнений33чение радиуса принадлежит интервалу(︁ √)︁2;12– восемьрешений, т. е. окружность пересекает квадрат в восьмиточках. Теперь перейдем к аналитическому решению.2 − +⎧⎨||+||= 1,⎧⎨||+||= 1,⎩(||+||)2 − 2||||= ;⎩||||=1−21−.2= 0. = 2 − 1.1. < 0 при < 21 .
Решений нет.2. = 0 при =3. > 0 при >1212⇒ ||= ||= 12 .⇒ 1,2 =√1± 2−1.2Однако ||≥√ 0, ||≥ 0. Значит, (1 ≥ 0)&(2 ≥ 0).1 + 2 − 11 =≥ 0 при любом допустимом .√ 2√1 − 2 − 12 =≥ 0, когда 2 − 1 ≤ 1 ⇒ ≤ 1.2 = 1 ⇒ 1 = 0, 2 = 1. Соответственно ||= 0, ||= 1или ||= 1, ||= 0. При > 1 Решений нет. Теперь мы можем сформулировать ответ.Ответ: При ∈ (−∞; 21 ) ∪ (1; +∞) Решений нет;при =12– четыре решения: ( 12 ; 12 ), ( 12 ; − 21 ), (− 12 ; 12 ), (− 12 ; − 12 );при ∈ ( 21 ; 1) – восемь(︁)︁ решений:(︁)︁√√√√± 1− 22−1 ; ± 1+ 22−1 , ± 1+ 22−1 ; ± 1− 22−1 ,(︁)︁ (︁)︁√√√√± 1− 22−1 ; ∓ 1+ 22−1 , ± 1+ 22−1 ; ∓ 1− 22−1 ;при = 1 – четыре решения: (1; 0), (0; 1), (−1; 0), (0; −1).34Теория, примеры и задачиСледующее задание для тех, кто дружит с логарифмами.Пример 18 (вступительный экзамен, математический фа-культет ЛГПИ им. А.
И. Герцена, 1979). Решить системууравнений⎧⎨ = 20,⎩lg = 2.Решение. ОДЗ: ( > 0)&( > 0). Возьмем логарифмы отлевых и правых частей уравнений.⎧⎨lg + lg = 1 + lg 2,⎩lg · lg = lg 2.⇒ 1.⎧⎨lg = 1,⎩lg = lg 2.2.⎧⎨lg = lg 2,⎩lg = 1.⇒ = 10, = 2 и = 2, = 10.Ответ: (10; 2) и (2; 10).Пример 19 (вступительный экзамен, математический фа-культет Московского областного педагогического института им.
Н. К. Крупской, 1979). Решить систему уравнений⎧⎨ + + √ + = 20,⎩2 + 2 = 136.Решение. Обозначим√ + = , ≥ 0. Первое уравнениепримет вид 2 + − 20 = 0 ⇒ 1 = −5, 2 = 4. Условию§ 1. Системы двух уравнений35 ≥ 0 удовлетворяет = 4. + = 2 = 16.⎧⎨ + = 16,⎩2 + 2 = 136;⎧⎨ + = 16,⎩ = 60.⎧⎨ + = 16,⎩( + )2 − 2 = 136;⇒ 1.⎧⎨ = 6,⎩ = 10.2.⎧⎨ = 10,⎩ = 6.Ответ: (6; 10) и (10; 6).1.2.
Задачи7 ⇔ 41⎧⎨ + = −7,1.⎩ = 10.⎧⎨ + = 3,2.⎩ = 2.⎧⎨ + = 8,3.⎩ = 12.⎧⎨ + = −3,4.⎩ = 2.⎧⎨ + = 3,5.⎩ = 4.⎧⎨ + = 1,6.⎩ = −2.⎧⎨ + = −1,7.⎩ = −12.⎧⎨ + = −5,8.⎩ = −14.⎧⎨ + = 4,9.⎩ = −21.36Теория, примеры и задачи⎧⎨ + = −4,10.⎩ = −12.⎧⎨ + = 5,13.⎩ = 3.⎧⎨ + = 9,11.⎩ = 18.⎧⎨ + = −4,12.⎩ = −45.⎧⎧⎨ + = −2,⎨ + = √3 + 1,15.14.⎩ = −2.⎩ = √3.⎧⎨ + = 3,16.⎩ = −1.⎧⎨ + = √2 + √3,17.⎩ = √6.⎧⎨ + = 2,18.⎩ = −1.⎧⎨ + = 2,19.⎩ = 5.⎧⎨ + = 4,20.⎩ = 3.⎧⎨2 + 2 = 5,21.⎩ = −2.⎧⎨2 + 2 = 25,22.⎩ + = 7.⎧⎨2 + 2 = 13,23.⎩ = −7.⎧⎧⎧⎨2 + 2 = 8,⎨2 + 2 = 34,⎨2 + 2 = 101,26.25.24.⎩ = −4.⎩ = 15.⎩ + = 11.⎧⎧⎧⎨2 + 2 = 5,⎨2 + 2 = 13,⎨2 + 2 = 74,27.28.29.⎩ + = 3.⎩ + = 5.⎩ = −5.⎧⎧⎨ − 2( + ) = 2,⎨2 − + 2 = 19,30.31.⎩ + + = 29.⎩ = −7.§ 1.
Системы двух уравнений37⎧⎨2 + 4 + 2 = 94,32.⎩ = 15.⎧⎨2 − 6 + 2 = 8,33.⎩ = 7.⎧⎨2 + 3 + 2 = 79,34.⎩ = 15.⎧⎨2 − + 2 = 19,35.⎩2 + + 2 = 49.⎧⎧⎨ + = 7,⎨ + = 8,36.37.⎩2 − + 2 = 19.⎩2 + + 2 = 52.⎧⎧⎨ = 15,⎨2 + + 2 = 13,38.39.⎩ + + 2 + 2 = 42.⎩2 − + 2 = 7.⎧⎧⎨ + + = 5,⎨ + 2 + = 10,40.41.⎩ + − = 1.⎩ − 2 + = −2.⎧⎧⎨ + − 7 = 0,⎨ + = 2,43.42.⎩2 + + 2 = 43.⎩2 + 2 − = −7.⎧⎧⎨ + + 4 = 6,⎨ − 3 − 3 = −8,44.45.⎩( + ) = 2.⎩2 + 2 − 5 − 5 = −12.⎧⎨ − 7 − 7 = −9,46.⎩2 + 2 + 11( + ) = 16.⎧⎨ − 3 − 3 = −5,47.⎩2 + 2 − 5 − 5 = 0.38Теория, примеры и задачи⎧⎨22 + + 2 2 − − = 3,48.⎩2 + 2 − 5 + 3 + 3 = 3.⎧⎨ + = 2,49.⎩2 − + 2 = 1.⎧⎨2 + + 2 = 7,51.⎩4 + 2 2 + 4 = 21.⎧⎨2 + 2 = 7 + ,50.⎩3 + 3 = 6 − 1.⎧⎨3 + 3 = 133,52.⎩ + = 7.⎧⎨3 + 3 = 28,53.⎩2 + 2 = 12.⎧⎨2 − + 2 = 7,54.⎩4 + 2 2 + 4 = 91.⎧⎨2 − + 2 = 3,55.⎩4 + 2 2 + 4 = 21.⎧⎨2 − + 2 = 21,56.⎩4 + 2 2 + 4 = 609.⎧⎨ = 3,57.⎩4 + 4 + 2 + 2 = 92.⎧⎨2 + 2 = 5,59.⎩4 + 4 = 17.⎧⎨2 + + 2 = 3,58.⎩(2 + 2 ) = 2.⎧⎨2 + 2 = 13,60.⎩3 + 3 = 19.⎧⎪⎨ 1 + 1 = 1,262.
⎪⎩ + = 9.⎧⎨3 + 3 − + 2 + 2 = 5,61.⎩ + + = 3.⎧⎪⎨ 1 + 1 = 1,263. ⎪⎩ = −2.⎧⎪⎨ 1 + 1 = 2,364. ⎪⎩ + = 8.§ 1. Системы двух уравнений39⎧⎧⎧1 151 1⎪⎪⎪⎨ + = 5,⎨ 1 + 1 = 5,⎨ + = ,4 67. 665.66. 113⎪⎪⎪⎩ +⎩⎩= 13. = . + = 5.2 28⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎨ + = 13 ,⎨ 1 + 1 = 5,⎨ 1 + 1 = 1,6 69. 468. 70. ⎪⎪⎪⎩ + = 5.⎩( + ) = 20.⎩ = 1.⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎨ 1 + 1 = 8,⎨ 1 + 1 = 1,⎨ 1 + 1 = 1,7 73. 372. 71.
⎪⎪⎪22⎩ + = 8.⎩ + = 160.⎩ + = 4.⎧⎧⎧1 13⎪⎪⎪⎨ + = ,⎨ 1 + 1 = −1,⎨2 + 2 = 29,2274.76. 29115 75. ⎪⎪⎪⎩ +⎩ + = 1.⎩ + = .=.22 104⎧⎧ 2297⎪⎪⎨ 1 + 1 = 5,⎨ 2+ 2 = ,2362477. 78. ⎪⎪⎩ + = 1.⎩ 1 + 1 = 5. ⎧⎧ 2297⎪⎪⎨ + = 34 ,⎨ 2+ 2 =,361579.80.⎪⎪⎩2 + 2 = 34.⎩ 1 + 1 = 5. 6⎧⎧17 ⎪⎪⎨ + = ,⎨ + + 1 + 1 = 4,4 81. 82.17⎪⎪22⎩ + = .⎩( + ) = 2.440Теория, примеры и задачи⎧⎪⎨1 + 1 + 1 = 7,2 21683. ⎪⎩ = 8.⎧ 22⎪⎨ += 12,84.⎪⎩ 1 + 1 = 1. 3⎧⎧⎪⎪⎨( + ) = 2,⎨ + = 5,85. 186.11−3 −3⎪⎪+=− .⎩ + = 2.⎩ +4 +420⎧⎧ 22⎪⎪⎨2 + 2 = −2,⎨ + = + ,22 87.88. 111⎪⎪= .⎩ +⎩2 + 2 = 2.
+ 2⎧ (︂ 2)︂(︂)︂2⎪⎨2++−9= −14, 2 2 89.⎪⎩2 + 2 = 5.⎧⎨ + + √ = 21,90.⎩ = 36.⎧⎨ + = 10,92. √⎩ + √ = 4.√︂⎧√︂5⎪⎨+= ,294.⎪⎩ + = 10.⎧√︀⎨ + + 2 + 2 = ,291.⎩ = 48.⎧⎨ + − √ = 7,93.⎩2 + 2 + = 133.√︂⎧√︂41⎪⎨+= ,2095.⎪⎩ + = 41.§ 2. Симметрия относительно выражений2.1. Теория и примеры35 ⇔ 50 Пусть ((, ), (, )) – многочлен от двухвыражений: (, ) и (, ).Определение5.Будемговорить,чтомногочлен ((, ), (, )) симметричен относительно выражений(, )и(, ),еслиимеетместотождество ((, ), (, )) ≡ ((, ), (, )).Заметим, что (, ) и (, ) в общем случае несимметричны, а значит, и ((, ), (, )) в общем случаене является симметрическим выражением от и .Определение 6. Будем называть систему уравненийсимметрической относительно (, ) и (, ), если всевходящие в нее выражения симметричны относительно(, ) и (, ).Пример 13.⎧⎨2 − 3 = 5,⎩ = 6.Решение:⎧⎨(2) + (−3) = 5,⎩(2)(−3) = −36,⇒ 2 − 5 − 36 = 0 ⇒ 1 = −4, 2 = 9.421.Теория, примеры и задачи⎧⎨2 = −4,⎧⎨ = −2,⎩−3 = 9;⎩ = −3.Ответ: (−2; −3),⎧⎨2 = 9,2.⎩−3 = −4;⎧⎪⎨ = 9 ,24⎪⎩ = .3)︀4;.2 3(︀ 9Разберем решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
