Симметрические уравнения (835798), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Если в любом многочлене (1 , 2 ) вместо 1и 2 подставить соответственно + и , то получитсясимметрический многочлен от и .Теорема 4. Любой симметрический многочлен от и можно представить в виде многочлена от + и .Первая теорема дает нам метод конструирования симметрических многочленов. Вторая подсказывает подход к решению уравнений с такими многочленами.Определение 4. Уравнение, в которое входят только сим-метрические выражения, будем называть симметрическим.Разумеется, определенный в этой книге вид симметрии14Теория, примеры и задачиуравнений не единственно возможный.Из теоремы 4, в частности, следует, что через 1 = + и 2 = можно выразить любой многочлен вида + ,где – натуральное число.
Ниже приведен ряд полезныхтождеств. + = 1 ,2 + 2 = 12 − 22 ,3 + 3 = 13 − 31 2 ,4 + 4 = 14 − 412 2 + 222 ,5 + 5 = 15 − 513 2 + 51 22 ,6 + 6 = 16 − 614 2 + 912 22 − 223 ,7 + 7 = 17 − 715 2 + 1413 22 − 71 23 ,8 + 8 = 18 − 816 2 + 2014 22 − 1612 23 + 224 ,9 + 9 = 19 − 917 2 + 2715 22 − 3013 23 + 91 24 ,10 + 10 = 110 −1018 2 +3516 22 −5014 23 +2512 24 −225 .(3)Второе тождество (2 + 2 = 12 − 22 ) непосредственноследует из тождества 2 + 2 = ( + )2 − 2 .
Умножимего левую и правую части на + .(2 + 2 )( + ) = (12 − 22 )( + ) ⇒§ 1. Системы двух уравнений15⇒ 3 + 3 + 2 + 2 = 13 − 21 2 ⇒⇒ 3 + 3 = 13 − 21 2 − ( + ) = 13 − 31 2 .Такжепоследовательнодоказываютсяиостальныетождества (3).Пример 5.⎧⎨ + = 6,⎩2 + 2 = 20.Решение:⎧⎨ + = 6,⎩( + )2 − 2 = 20;⎧⎨ + = 6,⎩36 − 2 = 20;⎧⎨ + = 6,⎩ = 8.Ответ: (2; 4), (4; 2).Пример 6.⎧⎨ + + = 11,⎩2 + 2 = 30.Решение:⎧⎨ + + = 11,⎩( + ) = 30.⎧⎨ + = ,Замена переменных:⎩ = .16Теория, примеры и задачи⎧⎨ + = 11,⎩ = 30.⎧⎨ + = 5,1.⎩ = 6.⎧⎨ + = 6,2.⎩ = 5.⇒ 1.⎧⎨ = 5,2.⎧⎨ = 6,⎩ = 6.⎧⎨ = 2,⇒ 1.1.⎩ = 3.⎩ = 5.⎧⎨ = 3,1.2.⎩ = 2.⎧⎨ = 1,⎧⎨ = 5,⇒ 2.1.⎩ = 5.2.2.⎩ = 1.Ответ: (3; 2), (2; 3), (1; 5), (5; 1).Пример 7.⎧⎪⎨ 1 + 1 = 5, 4⎪22⎩ + = 17.Решение:⎧⎪⎨ + = 5,4⎪⎩( + )2 − 2 = 17;⎧⎨5( + )2 = 85 + 10,⎩−8( + ) = −10;⎧⎨4( + ) = 5,⎩( + )2 = 17 + 2;⎧⎨5( + )2 − 8( + ) = 85,⎩5 = 4( + ).Пусть = + . Тогда первое уравнение в последней фигурной скобке можно записать в виде 52 − 8 − 85 = 0.§ 1.
Системы двух уравнений17√︀4 ± 21/4 = 16 + 425 = 441,/4 = 21, 1,2 =.51741 = − , 2 = 5. Поскольку = + , а = ( + ), для55каждого корня получим систему уравнений:⎧⎪⎨ + = − 17 ,51.68⎪⎩ = − ,25где x и y – корни уравнения1768−= 0. ⇒ (5)2 + 17(5) − 68 = 0. Неизвест525√−17 ± 561⇒ная величина здесь 5. = 561. 51,2 =2√−17 ± 561⇒ 1,2 =. Таким образом, мы получили два10)︁ (︁)︁(︁√√√√решения: −17−10 561 ; −17+10 561 и −17+10 561 ; −17−10 561 .2 +⎧⎨ + = 5,2.⎩ = 4.Ответ:(︁⇒ решения (1; 4) и (4; 1).)︁√√−17− 561 −17+ 561;,1010(1; 4) и (4; 1).Пример 8.⎧⎨8 + 8 = 41 ,128⎩2 + 2 = 1.(︁)︁√√−17+ 561 −17− 561;,101018Теория, примеры и задачиРешение:⎧⎨(4 + 4 )2 − 24 4 = 41 ,128⎩2 + 2 = 1.Повторим ту же процедуру:⎧(︀)︀⎨ (2 + 2 )2 − 22 2 2 − 24 4 = 41 ,128Так как 2 + 2 = 1,⎩2 + 2 = 1.⎧⎧⎨(1 − 22 2 )2 − 24 4 = 41 , ⎨24 4 − 42 2 + 87 = 0,128128⎩2 + 2 = 1;⎩2 + 2 = 1.87= 0.27(16)2 − 32(16) + 87 = 0.
Неизвестная величина здесь 16 .Введем обозначение = 2 2 . Тогда 2 2 − 4 +/4 = 162 − 87 = 169 = 132 . 161,2 = 16 ± 13 ⇒329⇒ 1 =, 2 =. Осталось рассмотреть две систе1616мы уравнений, которые являются симметрическими относительно 2 и 2 . Последнее означает, что если ввести замену переменных, например = 2 , = 2 , то получатсясистемы, симметрические относительно и .⎧⎨ 2 2 = 3 ,161.⎩2 + 2 = 1.⎧⎨2 = 1 ,41.1.⎩ 2 = 3 .4⎧⎨ 2 = 3 ,41.2.⎩ 2 = 1 .4§ 1.
Системы двух уравнений⎧⎨2 2 = 29 ,162.⎩2 + 2 = 1.2 − +192929= 0. = 1 − 4 ·< 0.1616Последняя(︁система )︁уравненийне имеет(︁(︁ решения.(︁ √ )︁√√ )︁√ )︁311Ответ:− 21 ; − 23 ,− 12 ; 23 ,;−,; 3 ,2 2(︁ √)︁ (︁ √ )︁ (︁ √)︁ (︁ √ 2 )︁ 2− 23 ; − 12 , − 23 ; 21 , 23 ; − 21 , 23 ; 12 .Геометрический смысл последнего задания: найти координаты точек пересечения окружности 2 + 2 = 1 с кривой8 + 8 =41.128Любопытства ради посмотрим, что же этоза кривая (рис. 2). Уравнение + = при возраста-Рис. 2.Графики к примеру 8нии определяет фигуры,все более похожие на квадрат.√︁41В нашем случае = 8 128≈ 0.867.20ДружащийТеория, примеры и задачистригонометриейшкольникувидитв последнем задании подход к решению уравнения41cos8 + sin8 =.
Если обозначить cos = , sin = 128и учесть главное тригонометрическое тождествоcos2 + sin2 = 1, получим условия примера 7.В следующем примере сведем уравнение с радикалами ксимметрической системе уравнений.√√Пример 9. Решить уравнение − 1 + 102 − = 11.Решение. Найдем ОДЗ: ∈⎧⎧⎨ = √ − 1,⎨ + = 11,⎩ = √102 − ; ⎩2 + 2 = 101;⎧⎧⎨ = 1,⎨ + = 11,1.⎩ = 10.⎩ = 10.[1; 102]. Обозначим:⎧⎨ + = 11,⎩( + )2 − 2 = 101;⎧⎨ = 10,2.⎩ = 1.В первом случае получим = 2, во втором = 101.Ответ: 1 = 2, 2 = 101.Пример 10.⎧⎨ + + 4 = 6,⎩ + + | + |= 6.Решение.
Если + < 0, второе уравнение примет вид0 = 6, и тогда система не имеет решения. Следовательно,§ 1. Системы двух уравнений21 + ≥ 0 и | + |= + .⎧⎨ + + 4 = 6,⎩ + = 3;⎧⎨ + = 3,⎩ = 3 .4⇒ 2 − 3 +3= 0.4(2)2 − 6(2) + 3 = 0. /4 = 9 − 3 = 6. 21,2 = 3 ±√3± 6.2(︁√√ )︁Ответ: 3−2 6 ; 3+2 6 ,1,2 =(︁√6.√√ )︁3+ 6 3− 6.;22Пример 11.⎧⎨3 + 3 + ( + ) = 13,⎩2 2 (2 + 2 ) = 468.Решение:⎧⎨( + )(2 − + 2 ) + ( + ) = 13,⎩2 2 (2 + 2 ) = 468.⎧⎨( + )(2 + 2 ) = 13,⎩2 2 (2 + 2 ) = 468.2 2= 36.+⇒2 2 (2 + 2 )468=.22( + )( + )13⎧⎨ + = ,Введем обозначения:⎩ = .22Теория, примеры и задачи⎧⎨ 2 = 36,⎩ 2 (2 − 2) = 468;⎧⎨ 2 = 36,⎩ 2 ((36)2 − 2 · 362 ) = 468 · 362 . 2 ( 4 − 2 · 362 ) = 13 · 363 ⇒ 6 − 2 · 362 3 − 13 · 363 = 0.Введем обозначение: = 3 .
Тогда 2 − 2 · 362 − 13 · 363 = 0.√︀/4 = 364 + 13 · 363 = 363 · 49 ⇒ /4 = 63 · 7 = 1 512.1,2 = 1 296 ± 1 512 ⇒1 = −216,√√ = 3 ⇒ = 3 ⇒ 1 = −6, 2 = 6 3 13.1.⎧⎨36 = 2 ,⎧⎨ = 1,⎩ = −6;⎩ = −6;2 = 2 808.⎧⎨ + = 1,⎩ = −6.Откуда следуют два решения: (3; −2) и (−2; 3).⎧⎨36 = 2 ,2.3⎩ = 6 √13;⎧⎨ = 13 23 ,⎩ = 6 · 13 31 ;⎧⎨ + = 13 32 ,⎩ = 6 · 13 13 .21 и ищем как корни уравнения 2 − 13 3 + 6 · 13 3 .411 = 13 3 − 24 · 13 3 = 13 3 (13 − 24) < 0.
Решений нет.Ответ: (3; −2) и (−2; 3).Пример 12.⎧⎨2 + + 2 = 49,⎩4 + 2 2 + 4 = 931.§ 1. Системы двух уравнений23Решение:⎧⎧⎨2 + + 2 = 49,⎨2 + + 2 = 49,⎩(2 + 2 )2 − ()2 = 931; ⎩(2 + + 2 )(2 − + 2 ) = 931.⎧⎧⎧⎨2 + + 2 = 49, ⎨2 + 2 = 34, ⎨( + )2 − 2 = 34,⎩2 − + 2 = 19; ⎩ = 15;⎩ = 15.⎧⎨( + )2 = 64,⎩ = 15.⎧⎨ + = 8,2.⎩ = 15.⎧⎨ + = −8,⇒ 1.⎩ = 15.Ответ: (3; 5), (5; 3), (−3; −5), (−5; −3).Пример 13.⎧ (︂ 2)︂(︂)︂2⎪⎨4−6++= 2, 2 2 ⎪⎩2 + 2 = 5.22Решение. Заметим, что 2 + 2 =первое уравнение примет вид(︃(︂4 + )︂2)︃−2(︂−6(︂ + + )︂2− 2. Тогда)︂= 2.24Теория, примеры и задачи+= . После элементарных преобразованийполучим: 42 − 6 − 10 = 0. Корни: 1 = −1, 2 = 52 .
2 + 2Заметив, что + =, рассмотрим два случая: Пусть⎧ 22⎪⎨ + = −1,1.⎪⎩2 + 2 = 5;⎧⎨2 + 2 = 5,⎩ = −5;⎧⎨( + )2 = −5,⎩ = −5.Поскольку квадрат вещественного числа не может бытьотрицательной величиной, система не имеет решений.⎧ 22⎪⎨ + = 5,22.⎪22⎩ + = 5;⎧⎨2 + 2 = 5,⎩ = 2;⎧⎨ + = ±3,⎩ = 2.Осталось воспользоваться теоремой Виета.Ответ: (1; 2), (2; 1), (−1; −2), (−2; −1).Пример 14.
Решить систему уравнений⎧⎨8 + 8 + 4 + 4 = 274,⎩ = 2.§ 1. Системы двух уравнений25Решение:⎧⎨(4 + 4 )2 − 24 4 + 4 + 4 = 274,⎩4 4 = 16.⇒⇒⎧⎨(4 + 4 )2 + 4 + 4 − 306 = 0,⎩4 4 = 16.Обозначим = 4 + 4 . ≥ 0. 2 + − 306 = 0. Заметим,что 306 = 17 · 18. 1 = −18, 2 = 17.
Отрицательный кореньотбрасываем. Тогда⎧⎨4 + 4 = 17,⎩4 4 = 16.⇒ 2 − 17 + 16 = 0. 1 = 1, 2 = 16.⎧⎨4 = 1,1.⎩ 4 = 16;⎧⎨4 = 16,2.⎩ 4 = 1;⎧⎨ = ±1,⎩ = ±2.⎧⎨ = ±2,⎩ = ±1.Поскольку = 2, и должны иметь один знак.Ответ: (1; 2), (2; 1), (−1; −2), (−2; −1).Исследуемтрисистемыуравненийспараметром.26Теория, примеры и задачиВ общем случае решить систему с параметром – значитдля любого значения параметра найти все решениясистемы или установить отсутствие решений. Но условияконкретной задачи, как в следующем примере, могут бытьменее жесткими.Пример 15 (ЕГЭ, 2020).
Найти все значения параметра ,при каждом из которых система уравнений⎧⎨ 4 + 2 = 2 ,⎩2 + = | + 1|имеет ровно четыре решения.Решение. Введем обозначение 2 = . Теперь системуможно записать в виде⎧⎨ + = | + 1|,⎩ 2 + 2 = 2 ;⎧⎨ + = | + 1|,⎩( + )2 − 2 = 2 ;⎧⎨ + = | + 1|,⎩( + 1)2 − 2 = 2 ;⎧⎨ + = | + 1|,⎩ = + 1 .2Поскольку каждому положительному значению соответ√ствует два значения = ± , нам достаточно определить,при каких значениях последняя система уравнений име-§ 1. Системы двух уравнений27ет два положительных решения.
Эти решения будем искать как корни квадратного трехчлена 2 − | + 1|· + + 21 . = 2 + 2 + 1 − 4 − 2 = 2 − 2 − 1 = ( − 1 )( − 2 ),√где 1,2 = 1 ± 2.√√1) При ∈ (1 − 2; 1 + 2) получим < 0 – трехчленне имеет вещественных корней;√2) при = 1 ± 2 трехчлен имеет два совпадающих корня;√√3) при ∈ (−∞; 1 − √ 2) ∪ (1 + 2; +∞) – два различных| + 1|± 2 − 2 − 1корня 1,2 =.2Осталось исключить случаи, когда один из корней отрицателен или равеннулю.√2| + 1|+ − 2 − 11 =всегда неотрицателен, а также2не равен 0, так как выражения под модулем и под знакомрадикала одновременнов ноль не обращаются.√2√| + 1|− − 2 − 12 =≤ 0 ⇒ | + 1|≤ 2 − 2 − 1.22 + 2 + 1 ≤ 2 − 2 − 1 ⇒ ≤ −0, 5.(−∞; 1 −√√2) ∪ (1 + 2; +∞) ∖ (−∞; −0, 5] =√√= (−0, 5; 1 − 2) ∪ (1 + 2; +∞).Ответ: (−0, 5; 1 −√√2) ∪ (1 + 2; +∞).28Теория, примеры и задачиПример 16 (ЕГЭ, 2020). Найти все значения параметра ,при каждом из которых система уравнений⎧⎨( − + 2)( − + 3) = 0,⎩||= имеет ровно восемь решений.Решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
