1612135124-c82f95de5ae5b8e93bc9da7770e8f930 (829504), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

,N .Y (t) = e tA(6)òîæå âåðõíÿÿ òðåóãîëüíàÿ,Ïðèìåðû ìàòðè÷íîé ýêñïîíåíòûêàê è ìàòðèöàA:Y (t) = e tAy11 y12 0 y22= 0 .....0...0.......yN−1,N−1y1Ny2N .yN−1,N yN,NÏîäçàäà÷à (4) ñ ó÷åòîì (6) ïåðåïèøåòñÿ òàê: 0Pk y1k (t) = τ1 y1k (t) + i=2 p1i yik (t),...0ykk (t) = τk ykk (t),y1k (0) = 0;0(4 )ykk (0) = 1.Ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû (3) ìû ïîëó÷àåì ñëåäóþùèåðåêêóðåíòíûå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ ýëåìåíòîâj = 1, ... k k -îãî ñòîëáöà ìàòðèöû e tA :R t Pk yjk (t) = e τj t 0 { i=j+1 pji yik (s)}e −τj s ds,j = 1, ...

k − 1;ykk (t) = e τk t .Ïðèìåðû ìàòðè÷íîé ýêñïîíåíòûyjk (t),(7) êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäàk = 1, ... N−1,à âñå îñòàëüíûåpk,k+1 = 1,pij = 0. ýòîì ñëó÷àå ñîîòíîøåíèÿ (7) ñèëüíî óïðîùàþòñÿ:Rt yjk (t) = e τj t 0 yj+1,k (s)e −τj s ds,j = 1, ..., k − 1;ykk (t) = e τk t . êà÷åñòâå äðóãîãî ïðèìåðà ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà τj =0j = l, ..., k , l ≥ 1. Òîãäà èç ïîäçàäà÷è (4 ) ìîæíî âûäåëèòü0(7 )τ,çàäà÷ó äëÿ íàõîæäåíèÿ ýëåìåíòîâyl,k (t), yl+1,k (t), ... , ykk (t)k -îãî ñòîëáöà ìàòðèöû e tA (ïî-ïðåæíåìó, ñ÷èòàåì, ÷òîpk,k+1 = 1, k = 1,...,N−1, pij = 0 - âñå îñòàëüíûå): 0ylk (t) = τ ylk (t) + yl+1,k (t), ..ylk (0) = 0,.0yk−1,k (t) = τ yk−1,k (t) + ykk (t), 0ykk (t) = τ ykk (t), ykk (0) = 1.00yk−1,k (0) = 0,Ïðèìåðû ìàòðè÷íîé ýêñïîíåíòû(4 )Ïðèìåíÿÿ ê (400)0ôîðìóëó (7 ), ìû ïîñëåäîâàòåëüíî ïîëó÷àåì:ykk (t) = e τ t , yk−1,k (t) =t1!e τ t , ...

, ylk (t) =t k−l(k−l)!eτt .Ñëåäñòâèåì ýòèõ ïðèìåðîâ ÿâëÿåòñÿ òîò ôàêò, ÷òî ìàòðè÷íàÿýêñïîíåíòàe tA ,ãäåA- æîðäàíîâà êëåòêàτA=0..0010.............0,1τíàõîäèòñÿ òàê:etA τte=0t1! e..τt...t N−1 τ t(N−1)! e........eτtÏðèìåðû ìàòðè÷íîé ýêñïîíåíòûÂåðíåìñÿ âíîâü ê îáùåìó ñëó÷àþ è ïîëó÷èì èç (7) íåêîòîðûåïîëåçíûå íåðàâåíñòâà. ñàìîì äåëå, èç (7) ñëåäóåò:RtPk |yjk (t)| ≤ i=j+1 |pji | · 0 |yik (s)| · |e τj (t−s) |ds,j = 1, ... , k − 1,|ykk (t)| ≤ |e τk t |.(8)Äëÿ óïðîùåíèÿ íåðàâåíñòâ (8) äîêàæåì ñëåäóþùèé ôàêò: äëÿëþáîé ìàòðèöûB = (bij ), i, j = 1,...,Nèìååì:|bij | ≤ ||B||.(9)Äåéñòâèòåëüíî, ðàññìîòðèì âåêòîðy = Bx, y1 .. y =  .

,yN x1 .. x =  . ,xNïðè÷åìyi =NXj=1bij xj ,i = 1,...,N .Ïðèìåðû ìàòðè÷íîé ýêñïîíåíòûÒîãäà|yi | ≤ ||y || = ||Bx|| ≤ ||B|| · ||x||. 0Ïóñòü .. . x =1 ← j0 . .. .Ñëåäîâàòåëüíî,||x|| = 1èyi = bij0 ,0j0 = 1,...,N .Ïîýòîìó|bij0 | ≤ ||B||,i, j0 = 1,...,N ,÷òî è òðåáîâàëîñü.Ñ ó÷åòîì (9) èç (8) ïîëó÷àåì:RtPk |yjk ≤ ||A|| i=j+1 0 |yik (s)|e Λ(t−s) ds,j = 1, ..., k − 1,|ykk (t)| < e Λt .Ïðèìåðû ìàòðè÷íîé ýêñïîíåíòû0(8 )0Ïðè âûâîäå (8)ìû ïîëàãàëè, ÷òîτj = Reτj + Imτj ,èReτj ≤ Λ,ãäåΛ- íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ.j = 1,...,NŸ6. Êàíîíè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå ìàòðè÷íîé ýêñïîíåíòûÎáùèå ðàññóæäåíèÿ îòíîñèòåëüíî âû÷èñëåíèÿ ìàòðè÷íîéýêñïîíåíòû e tA , òî åñòü óíäàìåíòàëüíîé ìàòðèöû ðåøåíèéçàäà÷è Êîøè ′1y = Ay ,t ∈ R ;(1)y (0) = y0 .Èç òåîðèè ìàòðèö èçâåñòíî, ÷òî ëþáàÿ ìàòðèöà A ìîæåò áûòüïðèâåäåíà ê êàíîíè÷åñêîé îðìå Æîðäàíà ñ ïîìîùüþíåêîòîðîé íåâûðîæäåííîé ìàòðèöû T = T (A), detT 6= 0:A= T −1 · A0 · T .(2) ïðåäñòàâëåíèè (2) ìàòðèöà A0 - êëåòî÷íîäèàãîíàëüíàÿ, óêîòîðîé íà äèàãîíàëè ñòîÿò ñòàíäàðòíûå æîðäàíîâû ÿùèêè.Ïðè ïðèâåäåíèè ìàòðèöû A ê æîðäàíîâîé îðìå A0 ìàòðèöàïåðåõîäà T îïðåäåëÿåòñÿ íå åäèíñòâåííûì îáðàçîì.Áîëåå òîãî, ñàì êàíîíè÷åñêèé âèä íå çàâèñèò íåïðåðûâíî îò AÏîñëåäíåå îçíà÷àåò âîò ÷òî: âîçüìåì â ïðåäñòàâëåíèè (2) â.Êàíîíè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå ìàòðè÷íîé ýêñïîíåíòûêà÷åñòâå ïðèìåðà ñëåäóþùóþ ìàòðèöóA0τ1 0=0A00τ20......τ3 1 00 τ3 10 0 τ3τ4 10 τ40...τ5(3)è ðàññìîòðèì ñëåäóþùåå, çàâèñÿùåå îò ïàðàìåòðà ξ ñåìåéñòâîìàòðèöA+ ξ B = T −1 A0 T + ξ T −1 τ10..0.τ8=Êàíîíè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå ìàòðè÷íîé ýêñïîíåíòûτ1 + ξτ2 + 2ξ−1 =T ...τ7 + 7ξτ 8 + 8ξT.Ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõ ξ ìîæíî ñäåëàòü âñå ñîáñòâåííûåçíà÷åíèÿ ìàòðèöû A + ξ · B ðàçëè÷íûìè è, ñëåäîâàòåëüíî, ïðèξ 6= 0 è äîñòàòî÷íî ìàëîì ξ ìàòðèöà A + ξ B äîëæíàïðèâîäèòñÿ ê ñëåäóþùåìó æîðäàíîâó âèäó:A+ ξ B = T̃ −1 diag(τ1 + ξ, ...

, τ8 + 8ξ)T̃ ,òî åñòü íàëèöî îòñóòñòâèå íåïðåðûâíîé çàâèñèìîñòè ïðèïðèâåäåíèè ìàòðèö ê æîðäàíîâîé îðìå.Òåì íå ìåíåå, åñëè ìàòðèöà A ïðèâåäåíà ê æîðäàíîâîé îðìåtA âû÷èñëÿåòñÿ òàê (ñì. Ÿ5):A0 , òî ìàòðè÷íàÿ ýêñïîíåíòà eetA = T −1 e tA0 T ,Êàíîíè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå ìàòðè÷íîé ýêñïîíåíòûïðè÷åì e tA0 - áëî÷íîäèàãîíàëüíàÿ è ïî äèàãîíàëè ñòîÿòáëîêè, ÿâëÿþùèåñÿ ìàòðè÷íûìè ýêñïîíåíòàìè îò æîðäàíîâûõÿùèêîâ.Äîêàçàòåëüñòâî ïîñëåäíåãî àêòà î÷åâèäíî, òàê êàê åñëè(k ) ( 1),A0 = blok diag A0 , ...

, A0ãäåè(i )A0, i = 1, ... , k - æîðäàíîâû ÿùèêè, òî(k ) l l1 lA0 = blok diag (A0 ) , ... , (A0 ) ,tA0 =e∞ lXtA0l= 0,1,2,...(1)(k ) = blok diag e tA0 , ... , e tA0 .l!l =0Íàïîìíèì òàêæå, ÷òî åñëèτ 1...B0 = 0 . . .0..0.τ...01τÊàíîíè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå ìàòðè÷íîé ýêñïîíåíòûæîðäàíîâà êëåòêà ïîðÿäêà τtetB0 = eNt1! e..τe 4t.t N −1...(N −1)! e..eτt.τtçàäàåòñÿ (3), òîA0eτt....0Åñëè, òî (ñì. Ÿ5):tA0 = blok diagt1! eτ4 tτ te 4eτ1 tτe 3, e τ2 t ,  00tt1! eτ3 tτe 30tt 2 e τ3 t 2!t τ3 t  ,1! eτ te 3, e τ5 t .0Åñëè òåïåðü âíîâü âåðíóòüñÿ ê çàäà÷å Êîøè ′1y = Ay ,t ∈ R ;y (0) = y0 ,(4)Êàíîíè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå ìàòðè÷íîé ýêñïîíåíòûòî âçÿâ â êà÷åñòâå ïðèìåðà ìàòðèöó A = T −1 A0 T ñ ìàòðèöåéA0 âèäà (3), ìîæíî çàêëþ÷èòü, ÷òî ïðîèçâîëüíîå ðåøåíèå (4)òàêîâî, ÷òî ëþáàÿ êîìïîíåíòà âåêòîðà - ðåøåíèÿ y = y (t ) ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ âûðàæåíèéeτ1 t,eτ2 t, e τ3 t ,teτ3 t,2 τ3t et,eτ4 t,teτ4 t,eτ5.Òàêîâà æå ñèòóàöèÿ è â îáùåì ñëó÷àå.

Ëþáàÿ êîìïîíåíòàâåêòîðà - ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè (4) - ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿâûðàæåíèé t lj e τj t , τj = τj (A), j = 1,...,N - ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿA, ñòåïåíü lj íå ïðåâîñõîäèò ÷èñëà kj − 1, kj - êðàòíîñòü τj . ñâÿçè ñ ïðèâåäåíèåì ìàòðèöû A ê æîðäàíîâîé îðìå A0ìîæíî ïðåäëîæèòü è òàêóþ ïðîöåäóðó íàõîæäåíèÿ ðåøåíèéçàäà÷è Êîøè (1).Ïóñòü τ0 = τ0 (△) - íåêîòîðîå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå ìàòðèöû Aè ïóñòü íàì óäàëîñü íàéòè îòâå÷àþùèé ýòîìó ñîáñòâåííîìóçíà÷åíèþ ñîáñòâåííûé âåêòîð y0 è ïðèñîåäèíåííûå âåêòîðàÊàíîíè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå ìàòðè÷íîé ýêñïîíåíòûy1, ...

, yr òàêèå, ÷òî:Ay0Ay1= τ0 ,= τ0 y1 + y0 ,...Ayr = τ0 yr + yr −1Íàïîìíèì, ÷òî âåêòîðà y0 , y1 , ... , yr - ëèíåéíî-íåçàâèñèìû.Ñêîíñòðóèðóåì ñëåäóþùèå àãðåãàòû:τ te 0 · y0 ,t τ0 t y ,τ te 0 · y1 +01! et e τ0 t y + t e τ0 t yτ te 0 y +21!12!0è ò.ä.Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî ñêîíñòðóèðîâàííûå òàê âåêòîðà′ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû y = Ay , à íà÷àëüíûå äàííûå ïðèt = 0 ýòèõ ðåøåíèé áóäóò ëèíåéíî - íåçàâèñèìû.Óïðàæíåíèÿ.1) Ïîêàçàòü, ÷òî ðåøåíèå ìàòðè÷íîãî óðàâíåíèÿdXdt= XB ,X(0) = CÊàíîíè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå ìàòðè÷íîé ýêñïîíåíòûäàåòñÿ îðìóëîé X = Ce Bt .2) Ïîêàçàòü, ÷òî ðåøåíèå ìàòðè÷íîãî óðàâíåíèÿdXdt= AX + XB ,X(0) = Cäàåòñÿ îðìóëîé X = e tA · C · e tB .Óêàçàíèå 1.Âûïèñàííàÿ ñèñòåìà ìîæåò áûòü ñâåäåíà ê âåêòîðíîìóÊàíîíè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå ìàòðè÷íîé ýêñïîíåíòûóðàâíåíèþyy′x11= Gy , ãäå ..

 .   x1N   x21   ..  . = x2N  ,  ..  .   xN 1   ..  . G11 ..  .   1N   = A ⊗ IN + IN ⊗ B T , y (0) =  ...  = g ,  N 1   ..  . NNNNxïðè÷åì X = (xij ), C = (ij ), i , j = 1,...,N .Ñëåäîâàòåëüíî, çàäà÷à Êîøèy′= Gy ,y(0) = g ,Êàíîíè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå ìàòðè÷íîé ýêñïîíåíòûà âìåñòå ñ íåé è èñõîäíàÿ çàäà÷à èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå( ) = e tA Y (t ),X tãäåY(t ) - íåêîòîðàÿ ìàòðèöà, ïîäëåæàùàÿ îïðåäåëåíèþ.Ÿ7.

Ôóíäàìåíòàëüíûå ñèñòåìû ðåøåíèé çàäà÷è Êîøèäëÿ îäíîãî ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûìèêîýôôèöèåíòàìèÅùå ðàç âåðíåìñÿ ê ëèíåéíîìó óðàâíåíèþ ñ ïîñòîÿííûìèêîýôôèöèåíòàìè:0Lx = x (N) + a1 x (N−1) + ... + aN−1 x + aN x = 0.(1)Ïîëó÷èì äëÿ (1) íåêîòîðûå ÷àñòíûå ðåøåíèÿ, êîòîðûå áóäåìèñêàòü â âèäåx = eτt ,(2)ãäå τ - íåêîòîðûå ïîñòîÿííûå.Èìååì äëÿ τ :PN (τ ) = τ N + a1 τ N−1 + ... + aN−1 τ + aN = 0.(3)Ïîëèíîì PN (τ ) íàçûâàåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèì ïîëèíîìîìäëÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (1).1) Åñëè õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ïîëèíîì PN (τ ) èìååò ðàçëè÷íûåêîðíè τj , j = 1...N , òî ÷àñòíûå ðåøåíèÿxj = e τj t ,j = 1...N(4)Ôóíäàìåíòàëüíûå ñèñòåìû ðåøåíèé çàäà÷è Êîøèîáðàçóþò ôóíäàìåíòàëüíóþ ñèñòåìó ðåøåíèé çàäà÷è Êîøè äëÿ(1). ñàìîì äåëå, ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà ðåøåíèé:x1...xN0 x0...xN  1Φ(t) =  .= ..x1(N−1) .

. .e τ1 tτ1 e τ1 t...=τ1N−1 e τ1 txN(N−1)e τNτ N e τN t ,N−1 τN tτN e.........à detΦ(t) = W (t):PNW = e(i=1 τi )tdet 1τ1.........τ1N−1 . . .1τN =τNN−1Ôóíäàìåíòàëüíûå ñèñòåìû ðåøåíèé çàäà÷è ÊîøèPN= e(i=1 τi )tY(τi − τj ).i>j2) Åñëè ñðåäè êîðíåé τj åñòü êðàòíûå, òî ôóíäàìåíòàëüíóþñèñòåìó ðåøåíèé áóäåì ñòðîèòü ïî-äðóãîìó.

ÏóñòüPN (τ ) = (τ − τ1 )k1 (τ − τ2 )k2 ...(τ − τp )kp ,Pãäå ki - êðàòíîñòü τi , pi=1 ki = N .Çàìåòèì, ÷òîL=d N−1dddN+a+ ... aN−1 + aN = PN ( ),1dt Ndt N−1dtdtïðè÷åì (1) ìîæíî ïåðåïèñàòü â îäíîì èç ñëåäóþùèõ âèäîâ:Lx = PN (ddd)x = ( − τ1 )k1 ...( − τp )kp x(t) = 0.dtdtdtÈëè(dddd− τ2 )k2 ( − τ3 )k3 ...( − τp )kp ( − τ1 )k1 x(t) = 0.dtdtdt Ôóíäàìåíòàëüíûådt ñèñòåìû ðåøåíèé çàäà÷è ÊîøèÈëè(dddd− τ1 )k1 ( − τ3 )k3 ...( − τp )kp ( − τ2 )k2 x(t) = 0.dtdtdtdtè ò.ä.Ñëåäîâàòåëüíî, ëþáîå ðåøåíèå êàæäîãî èç óðàâíåíèé(d− τ1 )k1 x(t) = 0,dt...d− τp )kp x(t) = 0dtÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì è óðàâíåíèÿ (1).Ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî óðàâíåíèå(d− τ )k x(t) = 0,dtèìååò ñëåäóþùèå ÷àñòíûå ðåøåíèÿ:(eτt ,t1!e τ t , ... ,k ≥1t k−1 τ te .(k − 1)!Ôóíäàìåíòàëüíûå ñèñòåìû ðåøåíèé çàäà÷è ÊîøèÇàìå÷àíèå.Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ôàêòà îñíîâàíî íà ñëåäóþùåé ôîðìóëå(ñìîòðè óïðàæíåíèå 1 ê ýòîìó ïàðàãðàôó)(dt l−1 τ tt l−m−1− τ )m [e ]=eτt ,dt(l − 1)!(l − m − 1)!(5)ãäå l − m − 1 ≥ 0, l − 1 ≥ 1. Çàìåòèì, ÷òî(d− τ )e τ t = 0.dtÓ÷èòûâàÿ ýòî, ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî (1) èìååò ñëåäóþùèéíàáîð ðåøåíèék −1x1 (t) = e τ1 t , x2 (t) = 1t! e τ1 t , ...

xk1 (t) = (kt 11−1)! e τ1 t ,k −1xk1 +1 (t) = e τ2 t , ... xk1 +k2 (t) = (kt 22−1)! e τ2 t ,... xN (t) = t kp −1 e τp t .(kp −1))!(6)Ôóíäàìåíòàëüíûå ñèñòåìû ðåøåíèé çàäà÷è ÊîøèÌîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ñîâîêóïíîñòè ÷àñòíûõ ðåøåíèé (6)îáðàçóåò ôóíäàìåíòàëüíóþ ñèñòåìó ðåøåíèé (òî åñòü îíèëèíåéíî íåçàâèñèìû - óïðàæíåíèå 2).Èòàê, ðàçîáðàíû äâà ñëó÷àÿ ïîñòðîåíèÿ Ôóíäàìåòàëüíîéñèñòåìû ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (1):Ïåðâûé - õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ïîëèíîì íå èìååò êðàòíûõêîðíåé;âòîðîé - â ñëó÷àå êðàòíûõ êîðíåé.Îäíàêî, åñëè êîýôôèöèåíòû ai , i = 1,...,N (1) çàâèñÿò îò êàêèõ ëèáî ïàðàìåòðîâ, òî ïðè èçìåíåíèè ýòèõ ïàðàìåòðîâ êîðíèõàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ, áóäó÷è, ñêàæåì, ïðîñòûìè,ìîãóò ñáëèæàòüñÿ è ñòàíîâèòüñÿ êðàòíûìè, à çàòåì ñíîâàðàñõîäèòüñÿ è ò.ä.Ïîýòîìó, äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ íóæä ñëåäóåòîòûñêàòü òàêóþ ôóíäàìåíòàëüíóþ ñèñòåìó ðåøåíèé, êîòîðàÿîáñëóæèâàëà áû è ñëó÷àé ïðîñòûõ, è ñëó÷àé êðàòíûõ êîðíåéõàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ïîëèíîìà.

Ìû ñåé÷àñ ïðèñòóïèì êïîñòðîåíèþ òàêîé ôóíäàìåíòàëüíîé ñèñòåìû ðåøíèéóðàâíåíèÿ (1).Ôóíäàìåíòàëüíûå ñèñòåìû ðåøåíèé çàäà÷è ÊîøèÐàçëîæèìPN (τ ) = (τ − τN )...(τ − τ1 ),ãäå τi , i = 1...N - êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ïîëèíîìà (ìîãóòáûòü è êðàòíûå) (3),(ddd− τN )...( − τ2 )( − τ1 )x = 0.dtdtdtÑâåäåì ýòî óðàâíåíèå ê ñèñòåìå ëèíåéíûõ óðàâíåíèé (íå òàê,êàê ⠟3):Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ:y 1 = x = P0 (y2 = (d)x,dtP0 (d) = 1,dtdddd− τ2 )y1 = P1 ( )x, P1 ( ) =− τ1 ,dtdtdtdt...ddyN = ( − τN−1 )yN−1 = PN−1 ( )x,dtdtÔóíäàìåíòàëüíûå ñèñòåìû ðåøåíèé çàäà÷è ÊîøèN−1Y ddPN−1 ( ) =( − τi ),dtdti=1ïðè÷åì óðàâíåíèå (1) ýêâèâàëåíòíî óðàâíåíèþ äëÿ yN :(d= τN ) = 0.dt èòîãå äëÿ âåêòîðà y : 1y1 −τ1  y =  ...

Характеристики

Список файлов лекций