1612135124-c82f95de5ae5b8e93bc9da7770e8f930 (829504), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Òåîðåìà Ëèíäëåôà - Ïèêàðà2y=tf(t,y) = 2tyf(t,y) = _tyf(t,y) = _t0f(t,y) = -2t2y=-tÐèñ. 3Ëåììà Àäàìàðà. Òåîðåìà Ëèíäëåôà - ÏèêàðàËåãêî âèäåòü, ÷òîf (t, y ) íåïðåðûâíà âñþäó, â òîì ÷èñëåt = 0, y = 0.0Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ y (t) = f (t, y ) äàåòñÿ ôîðìóëîé: 200 t + C (C ≥ 0) ïðè y ≥ t 2 ,0000y (t) =C t 2 (|C | ≤ 1) ïðè |y | < t 2 ,000000−t 2 + C (C ≤ 0) ïðè y ≤ −t 2 .è âòî÷êåÒåïåðü î÷åâèäíî, ÷òî ó çàäà÷è Êîøè (1) áåñêîíå÷íî ìíîãî ýòîì0000y (t) = C t 2 (|C | ≤ 1).ñëó÷àå fy ñóùåñòâóåò ëèøü ïðè |y | =6 t 2! 0 ïðè y ≥ t 2 ,2ïðè |y | < t 2 ,fy = t0 ïðè y ≤ −t 2 .ðåøåíèé:11. Îáñóæäåíèå óòâåðæäåíèé ëîêàëüíîé òåîðåìûñóùåñòâîâàíèÿ.
Äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿðåøåíèÿ â öåëîì. Ïðîäîëæåíèå ðåøåíèé. Òåîðåìà îïîêèäàíèè êîìïàêòàÄîêàçàëè òåîðåìó îá îäíîçíà÷íîé ðàçðåøèìîñòè çàäà÷è Êîøè0y = f (t, y ),y (0) = 0,(1)ïðè íåêîòîðûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ îòíîñèòåëüíî ïðàâîé ÷àñòèf (t, y ).Íàïîìíèì, ÷òî:1) f (t, y ) îïðåäåëåíàè íåïðåðûâíà âΩ̄ = {(t, y ) |t| ≤ T , ky k ≤ R}, ïðè ýòîì kf (t, y )k ≤ F â Ω̄.2) Êîýôôèöèåíòû ìàòðèöû fy (t, y ) îïðåäåëåíû è íåïðåðûâíûâ Ω̄ è kfy (t, y )k ≤ L.Òåîðåìà îá îäíîçíà÷íîé ðàçðåøèìîñòè çàäà÷è Êîøè (1).Ïóñòü T0 = min{T , RF }. Òîãäà ïðè |t| ≤ T0 ñóùåñòâóåòíåïðåðûâíî - äèôôåðåíöèðóåìàÿ y (t) òàêàÿ, ÷òî âûïîëíåíî (1)Ïðîäîëæåíèå ðåøåíèé.
Òåîðåìà î ïîêèäàíèè êîìïàêòàèky (t)k ≤ F |t| ≤ FT0 ≤ R.Âåêòîð - ôóíêöèÿ y (t) îïðåäåëåíà óñëîâèÿìè 1), 2) îäíîçíà÷íî.Ïðèìåð 1 (N = 1).0y = 1 + t 2 + y 2 , y (0) = 0.Äëÿ ïðèìåíåíèÿ òåîðåìû íóæíî çíàòü T , R . Ïóñòü T = 2,R = 5. Òîãäà |f (t, y )| ≤ 30, òî åñòü F = 30. Ïðè ýòîìT0 = min{2, 16 } = 16 .Èòàê, â òåîðåìå óòâåðæäàåòñÿ ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèÿ ïðè|t| ≤ 16 .Ïðåäïîëîæåíèå 2) âûïîëíåíî:|fy | ≤ 10 (= L).Ìîæåò ïîêàçàòüñÿ, ÷òî ñèëüíîå îãðàíè÷åíèå íà äëèíó îòðåçêàìû ïîëó÷èëè ïîòîìó, ÷òî â ñàìîì íà÷àëå âûáðàëè íå î÷åíü6,áîëüøèå T , R . Ïóñòü T = 7, R = 10. Òîãäà F = 150 è T0 = 25òî åñòü äëèíà îòðåçêà ïî t , íà êîòîðîì îïðåäåëåíî ðåøåíèåy (t) åùå ìåíüøå, ÷åì â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå.Ïðîäîëæåíèå ðåøåíèé. Òåîðåìà î ïîêèäàíèè êîìïàêòàÍà ñàìîì äåëå ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè è íå ìîæåò áûòüîïðåäåëåíî ïðè âñåõ |t| < ∞.Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü t ≥ 0. Òîãäà000y = 1 + t 2 + y 2 , òî åñòü y ≥ 1 + y 2 , èëè {arctg y } ≥ 1.Îòñþäàarctg y (t) ≥ t, òî åñòü y (t) ≥ tg t.Ñëåäîâàòåëüíî, èíòåðâàë ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ íå ìîæåòñîäåðæàòü îòðåçîê [0, π2 ], òàê êàê y (t) íà íåì íå ìîæåò áûòüîãðàíè÷åííûì, à ñëåäîâàòåëüíî, è íåïðåðûâíûì.
Ýòîò ïðèìåðïîêàçûâàåò, ÷òî äàæå åñëè ïðàâàÿ ÷àñòü "õîðîøàÿ ôóíêöèÿ",íå âñåãäà ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî ðåøåíèå çàäà÷è Êîøèîïðåäåëåíî ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ t .Òåì íå ìåíåå, ìîæíî óñòàíîâèòü íåêîòîðûå äîñòàòî÷íûåóñëîâèÿ íà f (t, y ) è íà íà÷àëüíûå äàííûå äîïîëíèòåëüíûå ê 1),2), êîòîðûå áû îáåñïå÷èâàëè ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèÿ y = y (t)çàäà÷è Êîøè (1) ïðè ëþáûõ t ≥ 0. äàëüíåéøåì ðàññìàòðèâàþòñÿ ëèøü ÷àñòíûå ñëó÷àè çàäà÷èÏðîäîëæåíèå ðåøåíèé.
Òåîðåìà î ïîêèäàíèè êîìïàêòàÊîøè (1), à èìåííî:0t > 0,y = f (y ),y (0) = y0 .0(1 )≡ Àâòîíîìíûå ñèñòåìû.Êðèòåðèé ïðèíàäëåæèò À.Ì. Ëÿïóíîâó.Èñïîëüçóþòñÿ âñïîìîãàòåëüíûå ôóíêöèèH(y ) = H(y1 , ... , yN ):Ë.1) Ôóíêöèÿ H(y ) îïðåäåëåíà ïðè ky k ≤ R è ÿâëÿåòñÿ âíóòðèè íà ãðàíèöå ýòîãî øàðà íåïðåðûâíîé è èìåþùåé íåïðåðûâíûå÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå∂H, j = 1,...,N .∂yjË.2) H(y ) ≥ 0 ïðè ky k ≤ R , ïðè÷åì H(0) = 0 è H(y ) > 0 ïðè0 < ky k < R .Ë.3) Íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ J(y ):J(y ) = −NXi=1fi (y )∂H∂iiÏðîäîëæåíèå ðåøåíèé.
Òåîðåìà î ïîêèäàíèè êîìïàêòàóäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ J(y ) ≥ 0 ïðè ky k ≤ R .0Èíîãäà âìåñòî Ë.3 ðàññìàòðèâàþò åãî óñèëåíèå (óñëîâèå Ë.3 ):0Ë.3 ) Íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ J(y ), îïðåäåëåííàÿ â óñëîâèè Ë.3)â äîïîëíåíèå ê íåðàâåíñòâóJ(y ) ≥ 0 ïðè ky k ≤ Róäîâëåòâîðÿåò åùå óñëîâèþ J(y ) > 0 ïðè 0 < ky k ≤ R .Áåç äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìà ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è0Êîøè (1 ) â öåëîì, òî åñòü ïðè âñåõ T ≥ 0 (ñì. Ãîäóíîâ ñòð.145-150).Òåîðåìà 1.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò H(y ) òàêàÿ, ÷òî âûïîëíåíûË.1), Ë.2), Ë.3).  ýòîì ñëó÷àå ìîæíî âûáðàòü òàêîå ρ0(0 < ρ0 < R ), ÷òî åñëè ky0 k ≤ ρ0 , òî ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ y = y (t), îïðåäåëåííàÿ ïðèëþáîì t ≥ 0, óäîâëåòâîðÿþùàÿ íåðàâåíñòâó ky (t)k ≤ R è0òàêàÿ, ÷òî y (0) = y0 , y = f (y )(ìû, åñòåñòâåííî, ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ïðàâàÿ ÷àñòü F (y )óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì 1), 2), îáåñïå÷èâàþùèõÏðîäîëæåíèå ðåøåíèé.
Òåîðåìà î ïîêèäàíèè êîìïàêòàñïðàâåäëèâîñòü òåîðåìû ñóùåñòâîâàíèÿ).0Åñëè æå ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ñïðàâäåëèâî åùå è Ë.3 ), òîy (t) → 0 ïðè t → ∞.Ðàçúÿñíèì, êàêîâ ñìûñë ôóíêöèè J(y ).Ïóñòü íà íåêîòîðîì èíòåðâàëå ïî t îïðåäåëåíî ðåøåíèå y (t)0óðàâíåíèÿ y = f (y ).Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ ϕ(t) = H y (t) è âû÷èñëèì åå0ïðîèçâîäíóþ ϕ (t).N X ∂H dyidy (t)=ϕ (t) = H y (t) =dt∂yidt0i=1=NX∂Hi=1òî åñòü− J y (t)∂yifi = −J y (t) , ïðîèçâîäíàÿ ïî t îò H(y ) âäîëü0ðåøåíèÿ y (t) çàäà÷è Êîøè (1 ).Òîãäà, åñëè J(y ) ≥ 0, òî ñ ðîñòîì t ϕ(t) íå âîçðàñòàåò.Ïðîäîëæåíèå ðåøåíèé. Òåîðåìà î ïîêèäàíèè êîìïàêòàÌîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ H(y ) ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿäëÿ îöåíêè íîðìû âåêòîðà y è ïîýòîìó íåâîçðàñòàíèå H(y )ñâèäåòåëüñòâóåò î òîì, ÷òî ñ òå÷åíèåì âðåìåíè ðåøåíèå y (t)îãðàíè÷åíî.Íàïîìíèì, ÷òî â ïðèâåäåííîì âûøå ïðèìåðå 0y = 1 + t 2 + y 2,y (0) = y0èìåííî íåîãðàíè÷åííîå âîçðàñòàíèå y = y (t) íà êîíå÷íîìèíòåðâàëå áûëî ïðè÷èíîé òîãî, ÷òî y (t) íåëüçÿ áûëîîïðåäåëèòü ïðè âñåõ t .Ïðèìåð 2.0y1 = −y2 − y13 ,0y2 = y1 − y23 ,0(Óäîâëåòâîðÿåò Ë.1), Ë.2), Ë.3), Ë.3 !)H(y ) = y12 + y22 = ky k2 ,Ïðîäîëæåíèå ðåøåíèé.
Òåîðåìà î ïîêèäàíèè êîìïàêòàJ(y ) = 2(y14 + y24 ).Î÷åâèäíî, ÷òî óñëîâèÿ ëîêàëüíîé òåîðåìû ñóùåñòâîâàíèÿ(óñëîâèÿ 1), 2) ) âûïîëíåíû ïðè ëþáîì R > 0.Ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè ñóùåñòâóåò ïðè âñåõ t ≥ 0 è ëþáûõíà÷àëüíûõ äàííûõ.Ïðèìåð 3.Äëÿ ñèñòåìû0y1 = −y2 ,0y2 = y1H(y ) = y12 + y22 . Òîãäà J(y ) = 0. Óñëîâèÿ 1), 2) âûïîëíåíû ïðè0ëþáîì R > 0, óñëîâèÿ Ë.1), Ë.2), Ë.3) âûïîëíåíû (íî íå Ë.3 ).Òåîðåìà ñóùåñòâîâàíèÿ â öåëîì ïî t ñïðàâåäëèâà, íîóòâåðæäàòü, ÷òî ïðè t → ∞ âñå ðåøåíèÿ → 0 ìû íå ìîæåì.Îïðåäåëåíèå 1.H(y ) - ôóíêöèÿ Ëÿïóíîâà.Ïðîäîëæåíèå ðåøåíèé. Òåîðåìà î ïîêèäàíèè êîìïàêòà.Ðàññìîòðèì çàäà÷ó Êîøè0y = f (x, y ) â G - îáëàñòè â R N ,(2)Ïðîäîëæåíèå ðåøåíèé. Òåîðåìà î ïîêèäàíèè êîìïàêòày (x0 ) = y0 ,(x0 , y0 ) ∈ G .(3)Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ôóíêöèÿ f (x, y ) íåïðåðûâíà â îáëàñòè G .Îïðåäåëåíèå 2.G - îáëàñòü åäèíñòâåííîñòè äëÿ óðàâíåíèÿ (2), åñëè äâà ëþáûõðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (2) (èõ ãðàôèêè ïðèíàäëåæàò îáëàñòè G !),îïðåäåëåííûå íà ïðîìåæóòêå < a, b > è ñîâïàäàþùèå ïðèíåêîòîðîì x0 ∈< a, b >, ñîâïàäàþò íà âñåì ïðîìåæóòêå< a, b >.Äàæå ïðè ýòîì íåëüçÿ óòâåðæäàòü, ÷òî ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè(2), (3) åäèíñòâåííî, òàê êàê ðåøåíèÿ ìîãóò îòëè÷àòüñÿîáëàñòÿìè îïðåäåëåíèÿ.Ïðèìåð 4.0y =yy (0) = 1.(4)Òîãäà e x : (−1, 1) → R + è e x : (−2, 2) → R + - ðåøåíèÿ çàäà÷èÊîøè (4).Ïîëíîå æå ðåøåíèå y (x) = e x îïðåäåëåíî ïðè âñåõ x ∈ R .Ïðîäîëæåíèå ðåøåíèé.
Òåîðåìà î ïîêèäàíèè êîìïàêòàÎïðåäåëåíèå 3.Ðåøåíèå ϕ : < a, b >→ R n ïðîäîëæèìî âïðàâî çà òî÷êó b , åñëèñóùåñòâóåò ðåøåíèåψ : < a1 , b1 >→ R n , b1 > b , ñóæåíèå êîòîðîãî íà < a, b >ñîâïàäàåò ñ ϕ (ψ - ïðîäîëæåíèå ðåøåíèÿ ϕ âïðàâî).Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ïðîäîëæåíèå ðåøåíèÿ âëåâî.ÑïðàâåäëèâàÒåîðåìà 2.Äëÿ òîãî, ÷òîáû ðåøåíèå ϕ : [a, b) → R n ïðîäîëæàëîñü âïðàâî,íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ñóùåñòâîâàë êîíå÷íûé ïðåäåë:∃ lim ϕ(x) = η,x→b−0(b, η) ∈ G .Äîêàçàòåëüñòâî.1.Íåîáõîäèìîñòü ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ 2.2.Äîñòàòî÷íîñòü.Ïóñòü ϕ1 : (α, β) → R n , b ∈ (α, β) - ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2) ñíà÷àëüíûìè äàííûìè (b, η), òî åñòü ϕ1 (b) = η . ñèëó òåîðåìû Ïåàíî ñóùåñòâóåò ðåøåíèå ñôîðìóëèðîâàííîéçàäà÷è Êîøè.Ïðîäîëæåíèå ðåøåíèé.
Òåîðåìà î ïîêèäàíèè êîìïàêòàÎïðåäåëèì ôóíêöèþ ψ(x) ñëåäóþùèì îáðàçîì:ϕ(x), x ∈ [a, b).ψ(x) =ϕ1 (x), x ∈ [b, β).ÏîëîæèìZJ(x) = ϕ(a) +xf s, ψ(s) ds.aÒîãäà, åñëè x ∈ [b, β), òîZJ(x) = ϕ(a) +bZ+axZ=η+bx= ϕ1 (x) = ψ(x).bÒàêèì îáðàçîì, ϕ(x) ïðîäîëæåíî âïðàâî.Òåîðåìà äîêàçàíà.Îïðåäåëåíèå 4.Ðåøåíèå ϕ : I → R n äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (2)íàçûâàåòñÿ ïîëíûì ðåøåíèåì, à I - ìàêñèìàëüíûì èíòåðâàëîìñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ, åñëè îíî íå ïðîäîëæèìî íè âïðàâî,íè âëåâî.Ïðîäîëæåíèå ðåøåíèé. Òåîðåìà î ïîêèäàíèè êîìïàêòàÇàìå÷àíèå 1.Ïðîìåæóòîê I - îáÿçàòåëüíî èíòåðâàë, èíà÷å ðåøåíèå ϕ(t)ïðîäîëæèìî çà I .Êðàòêî îïèøåì ïðîöåäóðó ïðîäîëæåíèÿ ðåøåíèÿ.(x0 , y0 ) ∈ G - íà÷àëüíàÿ òî÷êà.
Òîãäà[x0 − h(x0 , y0 ), x0 + h(x0 , y0 )] - îòðåçîê Ïåàíî.Îáîçíà÷èì x1 = x0 + h(x0 , y0 ), y1 = ϕ1 (x1 ). Òîãäà â ñèëóòåîðåìû 2 ñóùåñòâóåò ïðîäîëæåíèå ϕ1 (x) ðåøåíèÿ ϕ(x) íàîòðåçîê [x1 − h(x1 , y1 ), x1 + h(x1 , y1 )].Ïðîäîëæàÿ ýòîò ïðîöåññ, ïîëó÷àåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòüïðîäîëæåíèé è öåïî÷êó âëîæåííûõ îòðåçêîâ:[a1 , b1 ] ⊂ [a2 , b2 ] ⊂ ... èϕk : [ak , bk ] → R n ,Ïðè ýòîì(ā, b̄) =∞[ϕk (x0 ) = x0 .[ak , bk ].k=1Ïðîäîëæåíèå ðåøåíèé.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
