1612135124-c82f95de5ae5b8e93bc9da7770e8f930 (829504), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Òåîðåìà î ïîêèäàíèè êîìïàêòàÏóñòü ϕ(x) : (ā, b̄) → R n - ôóíêöèÿ, ñóæåíèå êîòîðîé íà[ak , bk ] åñòü ϕk (x).Çàìå÷àíèå 2.Âåëè÷èíà h(x, y ) äëÿ òî÷êè (x, y ) ∈ G îïðåäåëÿåòñÿíåîäíîçíàíî. Òåì íå ìåíåå, äëÿ ëþáîãî êîìïàêòà A ⊂ Gñóùåñòâóåò ÷èñëî 4(A), êîòîðîå ìîæíî âûáðàòü â êà÷åñòâåâåëè÷èíû h(x, y ) äëÿ êàæäîé òî÷êè (x, y ) ∈ A.Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êîìïàêòîâ Ki ⊂ G , ïðè÷åì(x0 , y0 ) ⊂ K1 ⊂ K2 ⊂ ... ,∞[Ki = G .(5)i=1Ïîëîæèì A0 = (x0 , y0 ), Ai = Ki \Ki−1 , 4i = 4(Ai ).Ðàññìîòðèì íåêîòîðîå ðåøåíèå ϕ : (α, β) → R n .Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ðåøåíèå ϕ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (Â),åñëè ëèáî β = ∞ (α = −∞), ëèáî äëÿ ëþáîãî êîìïàêòà K ⊂ Gìîæíî óêàçàòü δ > 0 òàêîå, ÷òî ïðè t ∈ (β − δ, β),t ∈ (α, α + δ) òî÷êè èíòåãðàëüíîé êðèâîé ëåæàò âíå K , òî åñòüt, ϕ(t) ∈ G \K (ñì. Ðèñ. 1).Ïðîäîëæåíèå ðåøåíèé.

Òåîðåìà î ïîêèäàíèè êîìïàêòàyy0K2K1G0x0xÐèñ. 1Ëåììà 1.ϕ̄ : (ā, b̄) → R n óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (B).Äîêàçàòåëüñòâî.Îò ïðîòèâíîãî.Ïðîäîëæåíèå ðåøåíèé. Òåîðåìà î ïîêèäàíèè êîìïàêòàÏóñòü b̄ < ∞ è ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü xk → b̄ − 0 ïðèk → ∞, ïðè÷åìxk , ϕ̄(xk ) ∈ K ⊂ G . Ïóñòü Ki - êîìïàêò èç ñåìåéñòâà (5),ñîäåðæàùèé K . Òàê êàê ðåøåíèå ïîñëå êàæäîãî xk ìîæíîïðîäîëæèòü íà îòðåçîê äëèíîé 4i , òî ìîæíî ñ÷èòàòüxk+1 − xk ≥ 4i , íî ýòî ïðîòèâîðå÷èò òîìó, ÷òî b̄ < ∞.Ëåììà äîêàçàíà.Òåîðåìà 3.Äëÿ òîãî, ÷òîáû ðåøåíèå ϕ : (α, β) → R n óðàâíåíèÿ (2) áûëîïîëíûì, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû îíî óäîâëåòâîðÿëîóñëîâèþ (B).Äîêàçàòåëüñòâî.Ïóñòü ïðåäåëû ϕ(β − 0) è ϕ(α + 0) íå ñóùåñòâóþò.

Òîãäà ïîòåîðåìå 2 (α, β) - ìàêñèìàëüíûé èíòåðâàë ñóùåñòâîâàíèÿ, àðåøåíèå ϕ - ïîëíîå ðåøåíèå.Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî âûïîëíåíî óñëîâèå (B) è ñóùåñòâóåòïðåäåë ϕ(β − 0) = η . Òîãäà (β, η) ∈/ G .  ñèëó òåîðåìû 2ðåøåíèå ϕ íå ìîæåò áûòü ïðîäîëæåíî âïðàâî çà òî÷êó β .Ñëåäîâàòåëüíî, β - ïðàâûé êîíåö ìàêñèìàëüíîãî èíòåðâàëàÏðîäîëæåíèå ðåøåíèé. Òåîðåìà î ïîêèäàíèè êîìïàêòàñóùåñòâîâàíèÿ. Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî α - ëåâûé êîíåöìàêñèìàëüíîãî èíòåðâàëà ñóùåñòâîâàíèÿ.

Äîñòàòî÷íîñòüäîêàçàíà.Äîêàæåì íåîáõîäèìîñòü.Ïóñòü ϕ : (α, β) → R n - ïîëíîå ðåøåíèå. Ðàññìîòðèìϕ̄ : (ā, b̄) → R n , ïîñòðîåííîå ïî îïèñàííîé âûøå ïðîöåäóðå,èìåþùåå òå æå íà÷àëüíûå äàííûå, ÷òî è ϕ. Äëÿ ϕ̄ óñëîâèå (B)âûïîëíÿåòñÿ â ñèëó ëåììû. Ñëåäîâàòåëüíî, â ñèëó äîêàçàííîé÷àñòè òåîðåìû 3 (äîñòàòî÷íîñòü), ϕ̄ - ïîëíîå ðåøåíèå. Òàê êàêïîëíîå ðåøåíèå ñ ôèêñèðîâàííûìè íà÷àëüíûìè äàííûìèîïðåäåëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì îáðàçîì, òî ϕ è ϕ̄ ñîâïàäàþò. Àçíà÷èò, ϕ : (α, β) → R n óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (B).Òåîðåìà äîêàçàíà.Ñëåäñòâèå 1.Ðåøåíèå ϕ : (ā, b̄) → R - ïîëíîå.Çàìå÷àíèå 3.Åñëè G = (a, b) × D , ãäå (a, b) - âðåìåííîé èíòåðâàë, D ⊂ R n îáëàñòü ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà, òî òåîðåìó 3 ìîæíîñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:Ïðîäîëæåíèå ðåøåíèé.

Òåîðåìà î ïîêèäàíèè êîìïàêòàÒåîðåìà 4.Ðåøåíèå ϕ : (α, β) → R n - ïîëíîå òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàëèáî β = b (α = a), ëèáî äëÿ êàæäîãî êîìïàêòà K ⊂ D ìîæíîóêàçàòü òàêîå δ > 0, ÷òî ïðè t ∈ (β − δ, β) t ∈ (α, α + δ)òî÷êè åãî òðàåêòîðèè ëåæàò âíå K , òî åñòü ϕ(t) ∈ D \ K . (íàðèñ. 2 â êà÷åñòâå òî÷êè β âçÿòî íà÷àëî êîîðäèíàò).Ñëåäóþùàÿ çàäà÷à èëëþñòðèðóåò, êàê òåîðåìó 3 ìîæíîïðèìåíÿòü äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ïðîäîëæèìîñòè ðåøåíèÿ íàçàäàííûé ïðîìåæóòîê.Ïðåäëîæåíèå 1.Ïóñòü G = (a, b) × R n è â Gkf (t, x)k ≤ u(t)|x| + v (t),(6)ãäå u(t), v (t) - íåîòðèöàòåëüíûå íà èíòåðâàëå (a, b) ôóíêöèè.Òîãäà êàæäîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2) ìîæåò áûòü ïðîäîëæåíîíà èíòåðâàë (a, b).Ïðîäîëæåíèå ðåøåíèé. Òåîðåìà î ïîêèäàíèè êîìïàêòày-dt0KÐèñ.2Ïðîäîëæåíèå ðåøåíèé.

Òåîðåìà î ïîêèäàíèè êîìïàêòàËåììà 2. (Ãðîíóîëë)Ïóñòü µ > 0, f (x) ≥ 0, λ(x) ≥ 0 - íåïðåðûâíûå íà<a, b > ôóíêöèè, óäîâëåòâîðÿþùèå òàì íåðàâåíñòâóZ xf (s)ds (x0 , x ∈ <a, b >).f (x) ≤ λ(x) + µ(7)x0Òîãäà ïðè âñåõ x ∈<a, b >f (x) ≤ λ(x) + µZxexp{µ|x − s|}λ(s)ds .(8)x0Äîêàçàòåëüñòâî.Ðàññìîòðèì ñëó÷àéR x x ≥ x0 .Ïîëîæèì F (x) = x0 f (s)ds .Èç (7) ñëåäóåò, ÷òî0 ≤ f (x) ≤ λ(x) + µF (s),èëè(9)0F (x) ≤ λ(x) + µF (x).Ïðîäîëæåíèå ðåøåíèé. Òåîðåìà î ïîêèäàíèè êîìïàêòàÓìíîæàÿ (9) íà exp{−µ(x − x0 }, çàìå÷àåì, ÷òî (9) ìîæíîïåðåïèñàòü òàê:d[exp{−µ(x − x0 )}F (x)} ≤ λ(x)exp{−µ(x − x0 )}.dx(10)Èíòåãðèðóÿ íåðàâåíñòâî (10) â ïðåäåëàõ îò x0 äî x , ïîëó÷àåìíåðàâåíñòâî (6).Çàìåòèì, ÷òî óñëîâèå (6) âûïîëíÿåòñÿ äëÿ ëèíåéíûõ ñèñòåì.Ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, êîòîðûåóäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ (6), íàçûâàþòñÿ ïî÷òè ëèíåéíûìè.Òåîðåìà 5.Ïóñòü ôóíêöèÿ f (x, y ) îïðåäåëåíà è íåïðåðûâíà â îáëàñòè G .Òîãäà äëÿ íåïðîäîëæàåìîñòè ðåøåíèÿ ϕ(x) (α < x < β )óðàâíåíèÿ (2) âïðàâî (âëåâî) íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íîâûïîëíåíèÿ ïî êðàéíåé ìåðå îäíîãî èç òðåõ óñëîâèé:1) β = +∞ (α = −∞);2) |y (x)| → +∞ ïðè x → β − 0 (x → α + 0);3) ðàññòîÿíèå îò òî÷êè x, ϕ(x) äî ãðàíèöû G ñòðåìèòñÿ êíóëþ ïðè x → β − 0 (x → α + 0).Ïðîäîëæåíèå ðåøåíèé.

Òåîðåìà î ïîêèäàíèè êîìïàêòàÇàìå÷àíèå 4.Åñëè îáëàñòü G îãðàíè÷åíà, òî ñëó÷àè 1) è 2) îòïàäàþò, èïîýòîìó âñÿêîå íåïðîäîëæàåìîå ðåøåíèå óäîâëåòâîðÿåòóñëîâèþ 3). Åñëè, êðîìå òîãî, ôóíêöèÿ f íà G îãðàíè÷åíà, òîïðè x1 , x2 → β − 0 (x2 < x1 )0ϕ(x1 − ϕ(x2 ) = (x1 − x2 )ϕ (ξ)x <ξ<x =21= (x1 − x2 )f ξ, ϕ(ξ) → 0,è â ñèëó êðèòåðèÿ Êîøè ïîëó÷àåì, ÷òî äëÿ íåïðîäîëæàåìîãîðåøåíèÿ ñóùåñòâóåòlim ϕ(x).x→β−0Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè îáëàñòü G ñîäåðæèò ïîëóïëîñêîñòüx ≥ x0 (x ≤ x0 ) (α < x0 < β ), òî îòïàäàåò ñëó÷àé 3).Ÿ12.

Íåïðåðûâíàÿ è äèôôåðåíöèðóåìàÿ çàâèñèìîñòüðåøåíèÿ îò ïàðàìåòðà0y = f (t, y , µ) - íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿt0 = t0 (µ) - íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ,y (t0 ) = y0 (µ) - íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ.îòµ,Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ: 1)f (t, y , µ)îïðåäåëåíà è íåïðåðûâíà âΩ̄ = {(t, y , µ)kt − t0 (µ)k ≤ T , ky − y0 (µ)k ≤ R, |µ − µ0 | ≤ m}.Ïðè ýòîì â Ω̄kf (t, y , µ)k ≤ F ,(1)F- íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ;kf (t, y , µ1 ) − f (t, y , µ2 )k ≤ ω(|µ1 − µ2 |),ω = ω(ξ) òàêàÿ, ÷òî ω(ξ) > 0 ïðè ξ > 0, ω(ξ) → +0 ïðèξ → +0, òî åñòü ìîäóëü íåïðåðûâíîñòè.2) Êîýôôèöèåíòû ìàòðèöû fy (t, y , µ) îïðåäåëåíû èíåïðåðûâíû â Ω̄, ïðè÷åì:kfy (t, y , µ)k ≤ M,Çàâèñèìîñòü ðåøåíèÿ îò ïàðàìåòðàM- âíîâü íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ.Èç ñâîéñòâà 1) ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò ïîñòîÿííàÿ0m00< m ≤ m) òàêàÿ, ÷òî ïðè |µ − µ0 | ≤ m|t0 (µ) − t0 (µ0 )| ≤ T3 è ky0 (µ) − y0 (µ0 )k ≤ R3 .(0Òîãäà èç 1) ñëåäóåò0f (t, y , µ) îïðåäåëåíà è íåïðåðûâíà0|µ − µ0 | ≤ m , ky − y0 (µ)k ≤ 23R .1 )ïðè|t − t0 (µ)| ≤2T3 ,Èç ëîêàëüíîé òåîðåìû ñóùåñòâîâàíèÿ ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå èåäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè0y = f (t, y , µ),y t0 (µ) = y0 (µ),(2)0|µ − µ0 | ≤ m ,|t − t0 (µ)| ≤ T = min{ 23RF , 23T }, ïðè÷åìîïðåäåëåííîãî ïðè0|y (t, µ) − y (t0 (µ), µ)| ≤2R3.Çàâèñèìîñòü ðåøåíèÿ îò ïàðàìåòðàÒîãäàky (t, µ) − y0 (µ0 )k = ky (t, µ) − y (t0 (µ), µ)++ y (t0 (µ), µ) − y0 (µ0 )k ≤002RÈòàê, åñëè|µ − µ0 | ≤ m , |t − t0 (µ)| ≤ Ty = y (t, µ)îïðåäåëåíû è íå âûõîäÿò çà ïðåäåëû3+R3= R., òî ôóíêöèèΩ̄.Ìîæíî åùå ñóçèòü îòðåçîê äîïóñòèìûõ çíà÷åíèé µ:00000|µ − µ0 | ≤ m (0 < m ≤ m ) òàê, ÷òîáû |t0 (µ) − t0 (µ0 )| ≤0|t − t0 (µ0 )| ≤ 2T3 áóäåò âûïîëíåíî è0|t − t0 (µ)| ≤ T , òî ðåøåíèå y = y (t, µ) çàâåäîìî ïðè00000|µ − µ0 | ≤ m , |t − t0 (µ0 )| ≤ 2T3 (= T ) íå âûõîäèò çàΩ̄.T3.Òàê êàê ïðèïðåäåëûÒåîðåìà î íåïðåðûâíîé çàâèñèìîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè (2)îòµ.f (t, y , µ) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì 1), 2) è ïóñòü ðåøåíèå0000y = y (t, µ) îïðåäåëåíî ïðè |µ − µ0 | ≤ m , |t − t0 (µ0 )| ≤ T èky (t, µ) − y0 (µ0 )k ≤ R .ÏóñòüÇàâèñèìîñòü ðåøåíèÿ îò ïàðàìåòðàÒîãäà â ýòîé îáëàñòèy (t, µ)íåïðåðûâíà îòtèµ.Çàìå÷àíèå 1.Ïóñòüτ = t − t0 (µ), z(τ , µ) = y (t, µ) = y τ + t0 (µ), µ) .Òîãäàïîëó÷èì çàäà÷ó Êîøè (2)ddτ z(τ , µ)= f {t0 (µ) + τ , z(τ , µ), µ}.z(0, µ) = y0 (µ),ó êîòîðîé íà÷àëüíûå äàííûå ïðè âñåõµçàäàíû â òî÷êåÑëåäîâàòåëüíî, ïðè äîêàçàòåëüñòâå ìîæíî ñ÷èòàòüçàâèñÿùèì îòt0τ = 0.íåµ.Çàìå÷àíèå 2.Âåêòîðíûé ïàðàìåòðµ = (µ(1) , ...

µ(m) ). ýòîì ñëó÷àå ìîæíîïîòðåáîâàòü:kf (. , µ1 ) − f (. , µ2 )| ≤ ω(kµ1 − µ2 k),ãäåkµ1 − µ2 k- íîðìà âåêòîðൠ1 − µ2 .3) Ïîòðåáóåì, ÷òîáû áûëî âûïîëíåíî óñëîâèå:íåïðåðûâíî - äèôôåðåíöèðóåìû ïîf (t, y , µ), y0 (µ)µ.Çàâèñèìîñòü ðåøåíèÿ îò ïàðàìåòðàÒåîðåìà 2.Ïðè 1), 2), 3) ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè äèôôåðåíöèðóåìî ïîïðè÷åì ôóíêöèÿ∂∂µ y (t, µ)= z(t, µ)íåïðåðûâíà ïîtèµµ,èÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è Êîøèddt z(t, µ)= fy (t, y (t, µ), µ) · z(t, µ) + fµ (t, y (t, µ), µ),dy0 (µ).z(t0 , µ) = dµÇàìå÷àíèå 3.Íåïðåðûâíîñòüz(t, µ)ñëåäóåò èç òîãî, ÷òîz(t, µ)óäîâëåòâîðÿåò äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ.Çàìå÷àíèå 4.Íåñòðîãèé ýâðèñòè÷åñêèé âûâîä äèôôåðåíöèàëüíîãîóðàâíåíèÿ äëÿÏóñòüy (t, µ)z(t, µ).íåïðåðûâíî - äèôôåðåíöèðóåìà ïîÄèôôåðåíöèðóåì èñõîäíîå óðàâíåíèå ïîµµè ïîè ìåíÿåì ïîðÿäîêäèôôåðåíöèðîâàíèÿ ñëåâà.Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 2.Ïóñòü åñòü äâà ðåøåíèÿt.y [1],[2] (t), 4 = y [1] (t) − y [2] (t) ⇒Çàâèñèìîñòü ðåøåíèÿ îò ïàðàìåòðà04 = f (t, y [1] , µ1 ) − f (t, y [2] , µ2 ).Òîãäà ïî ëåììå Àäàìàðà04 = A(t)4 + (µ1 − µ2 )b(t),1ZA(t) =01Zb(t) =0Çàìåòèì, ÷òîfy (t, λy [1] + (1 − λ)y [2] , λµ1 + (1 − λ)µ2 )dλ,fµ (t, λy [1] + (1 − λ)y [2] , λµ1 + (1 − λ)µ2 )dλ.y [1],[2] (t) = y (t, µ1,2 ), ãäå ddt y (t, µ1,2 ) = f (t, y (t, µ1,2 ), µ1,2 ),y (t0 , µ1,2 ) = y0 (µ1,2 )µ1 6= µ2 .4(t) = y (t, µ1 ) − y (t, µ2 ), 4(t0 ) = y0 (µ1 ) − y0 (µ2 ).èÒîãäà èç (3) ñëåäóåò(ddt ẑ(t, µ1 , µ2 )= A(t, µ1 , µ2 )ẑ(t, µ1 , µ2 ) + b(t, µ1 , µ2 ),0)ẑ(t0 , µ1 , µ2 ) = µ4(t,1 −µ2Çàâèñèìîñòü ðåøåíèÿ îò ïàðàìåòðà(3).ẑ(tµ1 , µ2 ) = µ4(t)1 −µ2Òàê êàê y (t, µ) íåïðåðûâíà îò µ, òî â ñèëó 3) êîýôôèöèåíòûA(t, µ1 , µ2 ), b(t, µ1 , µ2 ) íåïðåðûâíû ïî ñâîèì àðãóìåíòàì.ãäåÑëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåòlimµ1 ,µ2 →µA(t, µ1 , µ2 ) = A(t, µ, µ) = fy (t, y (t, µ), µ),limµ1 ,µ2 →µb(t, µ1 , µ2 ) = fµ (t, y (t, µ), µ).Ñóùåñòâîâàíèå ïðåäåëàẑ(t0 , µ, µ) =dy0 (µ) = lim ẑ(t0 , µ1 , µ2 )µ1 ,µ2 →µdµâûòåêàåò èç äèôôåðåíöèðóåìîñòèy0 (µ)ïîµè òåîðåìû îíåïðåðûâíîé çàâèñèìîñòè îò ïàðàìåòðà.Çàìå÷àíèå 5.Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû î íåïðåðûâíîé çàâèñèìîñòè ðåøåíèÿîò ïàðàìåòðîâ áûëî ïðèâåäåíî ïðè äîïîëíèòåëüíîìïðåäïîëîæåíèè î òîì, ÷òîf (t, y , µ)èìååò íåïðåðûâíóþÇàâèñèìîñòü ðåøåíèÿ îò ïàðàìåòðàïðîèçâîäíóþfµ (t, y , µ).Îäíàêî óòâåðæäåíèå òåîðåìû îñòàåòñÿñïðàâåäëèâûì è ïðè áîëåå ñëàáîì ïðåäïîëîæåíèè: âûïîëíåíûóñëîâèÿ 1), 2)! È íè÷åãî áîëåå.Äëÿ îáîñíîâàíèÿ äîñòàòî÷íî âîñïîëüçîâàòüñÿ ìåòîäîìïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé Ïèêàðà (óïð.).Ïðèìåð 1.dxdt= x 2 + µtx 3 , x(0) = 1 + µ;(d ∂xdt ∂µ =∂x(0)∂µ = 1⇒∂x ∂µ µ=0 .∂x∂x + 2x ∂µ,tx 3 + 3µtx 2 ∂µµ=0⇒dxµ (0, t) = tx 3 (0, t) + 2xxµ (0, t) ⇒dt(⇒íàéòèddt xµ (0, t)= − (t−t1)3 + 2x −xµ (0, 0) = 1.1t−1,Çàâèñèìîñòü ðåøåíèÿ îò ïàðàìåòðàd xµ (0,t)dt= − 2(t−x1)−2x(0,t)=C(t−1) µ00C (t − 1)−2 = − (t−t1)3 ⇒ C = − t−t 1 ⇒⇒ C = −t − ln(1 − t)−2−2x µ (0, t) = − t − ln(1 − t) (t − 1) + C (t − 1) ⇒1−t−ln(1−t) ⇒ C = 1 xµ (0, t) =.(1−t)2Ïðèìåð 2.00x =2−20tx x(1) = 1, x (1) = b .Óêàçàíèå: ïðè b = 1 x(t, 1) = t .,ÍàéòèÈç íà÷àëüíûõ äàííûõ ñëåäóåò, ÷òî0∂ 2 ∂x( )∂t 2 ∂b=y =t2∂x∂b = 1.

Характеристики

Список файлов лекций