1612725068-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (828990), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Математические дополнения308§ Б.2.δ-функция, θ-функцияОпределение. Как известно, δ-функция — не обычная функция, а обобщённая функция, или распределение. Эта функция обращается в ноль при x ̸= 0, онане определена при x = 0. δ-функция задаётся на пространстве обычных гладкихфункций g(x) правилом свёртки с любой из функций g(x),{∫bg(x) δ (x)dx =при a < 0 < b ,при a, b > 0 или a, b < 0 .g(0)0(Б.3)aδ-функция — предел последовательностей обычных функций. Во многихзадачах δ-функция возникает как предел последовательности обычных функций, например,)(11 −x 2 /ε2εsin2 xtδ1 (x) = lim, δ2 (x) = lim √ e.
(Б.4), δ3 (x) = limt→∞ε→0 π x 2 + ε2ε→0πx 2 tπεВсе эти представления описывают одну и ту же δ-функцию, определённую равенством (Б.3). Для функции δ3 (x), совпадающей с (15.25), это было показано в гл. 15.Для функции δ1 (x) это видно из цепочки равенств∫b−ax=yε=limε→0ε1 ∫bg(x)dx =ε→0 π −a x 2 + ε211 ∫∞1g(yε)dy=g(0)= g(0) .22y +1π −∞ y + 1g(x)δ1 (x)dx = lim1 b∫/επ −a/εПредельный переход δ1 (x) описывает, в частности, как от описания нестабильной частицы перейти к случаю, когда эффекты нестабильности не важны, и частицуможно считать стабильной.δ-функция от сложного аргумента.Пусть f(x) = 0 при x = x0 . Тогдаδ [ f(x)] =1δ (x − x0).| f ′ (x0)|(Б.5)∫Рассмотрим I = φ(x)δ [ f(x)] dx.
Вблизи x = x0 имеем f(x) = f ′ (x0) (x − x0).Подставим это выражение в интеграл. Тогда после замены y = f ′ (x) (x − x0) получимсоотношение, подтверждающее (Б.5):)∫ (yδ (y)φ(x0)I = φ x0 + ′· ′dy = ′.f (x0)f (x0)|f (x0)|Производная δ-функции.
В вычислениях иногда появляется производнаяδ-функции, δ ′ (x). В соответствии с общими правилами, эта производная определяетсяс помощью интегрирования по частям (a < 0 < b):∫ b∫δ ′ (x) g(x)dx = δ (x) g(x)|ba − δ (x) g ′ (x)dx = − g ′ (0) .(Б.6)aБ .2. δ -функция , θ-функция309θ-функция и ε-функция. В дополнение к δ-функции определяют также двесхожие ступенчатые функции{∫x0 при x < 0,θ (x) =δ (x)dx =(Б.7а)1 при x > 0−∞{−1 при x < 0, ε(x) ≡ sign(x) == 2θ (x) − 1 = θ (x) − θ (−x) . (Б.7б)1при x > 0 Очевидно, чтоdθ (x) /dx = δ (x) ,d|x|/dx = ε(x) .(Б.7в)Для трёхмерного случая δ-функцию естественно определить соотношением∫δ (r) f(r) d 3 r = f(0) .(Б.8а)Это означает, в частности, что в прямоугольных координатахδ (r) = δ (x)δ (y)δ (z) .(Б.8б)Таким образом, размерность функции δ (r) есть [ℓ] −3 .
Уже из этого ясно, что функцияδ (r) не может совпадать с δ-функцией от радиуса δ (r), хотя на первый взгляд этиδ-функции имеют одинаковый смысл. Чтобы установить соответствие между этими функциями, найдём с помощью уравнения Пуассона плотность распределениязаряда, отвечающую распределению потенциалаϕ(r) = q/r .Начнём с не совсем аккуратного, но «естественного» вычисления.
Очевидно, чтораспределение заряда ρ(r), как и распределение потенциала обладает сферическойсимметрией, т. е. зависит только от r. Поэтому удобно записать уравнение Пуассонав сферических координатах, оставляя только радиальную часть оператора Лапласа:()()1 1 d1 1 dΦ2 dϕ(r)2 dϕ(r)ρ(r) = −r=−Φ=r.4π r 2 drdr4π r 2 drdrПервая производная потенциала даёт Φ = r 2 (−q/r 2) = −q.
Дифференцированиеконстанты даёт ноль. Итак, пространственная плотность заряда оказалась равнойнулю. Из результата исчез источник поля — точечный заряд в начале координат.Неточность предыдущего вычисления состояла в неаккуратной записи исходногоуравнения в сферических координатах. Действительно, в этих координатах значенияr не могут быть отрицательными.
Поэтому в сферических координатах потенциалследует записывать в виде ϕ = (q/r) θ (r). Теперь дифференцирование даёт последовательноΦ = −qθ (r) + qrδ (r) ,dΦ/dr = −qδ (r) + qδ (r) + qrδ ′ (r) = qrδ ′ (r) .П р и л о ж е н и е Б . Математические дополнения310В итоге мы получаемρ(r) = −q ′δ (r) .4πrС другой стороны, в случае точечного заряда, расположенного в начале координат,мы имеем ρ(r) = qδ (r). Отсюда получаетсяδ (r) = −δ ′ (r).4πr(Б.9)Легко проверить, что такое выражение удовлетворяет определению (Б.8).§ Б.3.Γ-функция. Некоторые интегралы и ряды`-функция определяется как интеграл∫∞pΓ(p) = ax p−1 e −ax dx.(Б.10)0Полезные для нас свойства Γ-функции:Γ(p + 1) = pΓ(p) ,Γ(1/2) =√π,Γ(n + 1) = n! (n — целое),)(n+1n −x 2.x e dx = Γ2−∞∫∞(Б.11)При x ≫ 1 имеем формулу (Стирлинга)Γ(x + 1) =√2πx( x )xe.(Б.12)При малых значениях x имеют место разложения в ряды:(1 + x) a = 1 + ax +x3th x = x −+ ··· ;3a(a − 1) 2x + ··· ;2!1 xx3cth x = + −+ ···x3 20(Б.13)Для суммирования хорошо сходящихся рядов иногда удобно использовать формулу Эйлера–Маклорена∞∑j=0∫∞f(j) =′′f(j)dj +0f(0) f ′ (0) f (0)−+− ···212720(Б.14)Б .4.
Некоторые свойства важных специальных функций§ Б.4.311Некоторые свойства важных специальных функцийPk (−x) = (−1) k Pk (x),2ℓ + 12Pk (1) = 1,(Б.15)∫πPℓ (cos θ)Pm (cos θ) sin θdθ = δℓm .(Б.16)0Pk (cos θ) → J0 (kθ) при k → ∞.(Б.17)∫axJ0 (x)dx = aJ1 (a),(Б.18)0(x/2) n √(Jn (x) ⇒πn π )2cos x −−πx24приx → 0;приx → ∞.(Б.19)Радиальные функции атома водорода Rn,ℓ (r) выразим через вспомогательные полиномы Kn,ℓ (r), вычисляемые с помощью рекуррентных соотношений (9.16) (при нормировке использованы соотношения (Б.10), (Б.11)).
В атомных единицах()ℓ(r )2re −r/n · Kn,ℓ,nn () nxKn,n−1 (x) = 1 , Kn,n−2 (x) = 2(n − 1) 1 −,n−1()2√2x2xKn,n−3 (x) = (2n − 3) (2n − 4) 1−+.n − 2 (n − 2) (2n − 3)Rn,ℓ ≡ e −r/n Φnℓ(r )=21√n2(n + ℓ)!(Б.20)В частности,x1Φ21 = √ ,Φ10 = 2,Φ20 = √ (1 − x),62()22 28x (x)4x 2Φ30 = √1−2x + x , Φ31 = √ 1−, Φ32 = √ .323 39 69 30§ Б.5.(Б.21)Оператор e B̂e− . Проекционные операторы• Чтобы вычислить оператор e  B̂e − , полезно рассмотреть вспомогательныйоператор B̂ (η) = e η B̂e −η и найти для него дифференциальное уравнение. В итогеполучается1(Б.22)e  B̂e − = B̂ + [Â, B̂] + [Â, [Â, B̂]] + · · ·2!При [Â, [Â, B̂]] = [B̂, [Â, B̂]] = 0 имеем e η (Â+B̂) = e η e ηB̂ e −η2[Â,B̂] /2.(Б.23)П р и л о ж е н и е Б . Математические дополнения312• В § 1.4 введено понятие проекционного оператора как оператора, осуществляющего проектирование произвольного вектора состояния |a⟩ на состояние |fi ⟩,defP̂i = | fi ⟩⟨fi |(Б.24)(без суммирования по значениям i) (1.14).
Важнейшие свойства (и признаки) проекционного оператора легко усматриваются из определения.(а) Квадрат проекционного оператора P̂i2 совпадает с P̂i (1.15).(б) Сумма проекционных операторов на пару ортогональных состояний есть тожеоператор проектирования на «плоскость», образованную этими двумя состояниями.P̂i + P̂ j ≡ P̂i, j при ⟨fi |f j ⟩ = 0 .(Б.25)Напомним, что при суммировании по полному набору векторов состояния i получаетсяединичный оператор (вне зависимости от конкретного базиса f) –∑∑P̂i = |fi ⟩⟨ fi | = 1̂ (1.16).iiНаконец, вероятность обнаружить в произвольном состоянии |f ⟩ компоненту,отвечающую вектору состояния | fi ⟩, естьwi/ f = ⟨f |P̂i | · |P̂i |f ⟩ ≡ ⟨ f |P̂i | f ⟩ .(Б.26)§ Б.6.
Момент импульса в четырёхмерном эвклидовомпространствеГенераторы преобразований группы вращений четырёхмерного эвклидова пространства O(4) (естественные обобщения генераторов преобразований группы вращений трёхмерного эвклидова пространства O(3) – компонент вектора момента импульса, обсуждавшихся в гл. 8) образуют четырёхмерный тензор момента импульса1(здесь, как обычно, p0 = −i~∂ /∂x0)0txtytz−tx0Lz −Lx .Lµν = xµ pν − xν pµ ⇒ (Б.27)−ty −Lz0Ly −tz Lx −Ly0Поскольку O(3) ∈ O(4), естественно, что Lx , Ly и Lz – компоненты обычного векторамомента импульса.
Квадрат длины нашего тензора Lµν Lµν = t2 + L2 .Перестановочные соотношения между компонентами этого тензора легко получаются из их определений и имеют вид[L̂i , L̂ j ] = i~eijk L̂k ,[L̂i , t̂ j ] = i~eijk t̂k ,[t̂i , t̂ j ] = i~eijk L̂k .(Б.28)1 Обратите внимание на сходство этого тензора с тензором электромагнитного поля так, что векторt отвечает полярному вектору E, а вектор L – аксиальному вектору H.
Различие с псевдоэвклидовымпространством теории относительности – в метрике пространства. В частности, в теории относительностибыло бы x0 = ct, p0 = E/c, Lµν Lµν = t2 − L2 , а tx , ty и tz – компоненты трёхмерного вектора буста,связанные с преобразованиями Лоренца вдоль каждой из осей x, y и z так же, как компоненты обычногомомента импульса связаны с вращениями вокруг пространственных осей.Приложение ВСкрытые параметры и квантовая механикаНекоторые авторы полагали, что существует динамическая теория классическоготипа, содержащая некоторые неизвестные нам ныне переменные (скрытые параметры), в которой все результаты предсказываются однозначно, а квантовая механика с её вероятностными предсказаниями возникает как результат усредненияпо этим скрытым параметрам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
