1612725068-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (828990), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Рассеяние296ℓ ≪ ℓ0 часть потока частиц поглощается (их доля составляет ρ), а отношение амплитуд расходящейся и сходящейся волн в полном решении составляет Sℓ = 1 − ρ(ср. определение (17.30)). (Для полного поглощения – чёрный шар – Sℓ = 0.) Область ℓ ≈ ℓ0 не даёт большого вклада в сечение. Итак, в соответствии с (17.30) мыполучаем в хорошем приближении чисто мнимую амплитуду упругого рассеяния0i ∑ρ(2ℓ + 1)Pℓ (cos θ).2kℓf(k, θ) =(17.44)ℓ=0Найдём сначала полное и упругое сечения.
Для этого выпишем мнимую часть амплитуды (упругого) рассеяния вперёд с помощью (Б.15):01 2ρ1 ∑ρ(2ℓ + 1) =ρℓ ≈ ka2 .2k2k 02ℓImf(k, 0) =ℓ=0Использование оптической теоремы (17.12) даёт теперь полное сечениеσtot = 2πρa2 ,(17.45)Результат имеет правильный порядок величины πa2 , но как появился множитель 2ρ(для чёрного шара это был бы не очень понятный множитель 2)? Чтобы понять это,воспользуемся соотношениями (17.41). Они даютσel =ℓ0πℓ20 ρ2π ∑σelρ2ρ(2ℓ+1)== πρ2 a2 ⇒= .22kkσtot2(17.46)ℓ=0Точно так же получается сечение неупругого рассеяния σ in = π (2ρ − ρ2)a2 . Итак,в нашей модели упругое сечение значительно меньше неупругого, и только для чёрного шара упругое и неупругое сечения равны.
(Чтобы получить в такой моделиотносительно небольшую неупругость, надо использовать комплексные Sℓ .)Чтобы описать угловое распределение упругого рассеяния, при больших ℓ заменим в (17.44) суммирование интегрированием (Б.17). Тогда получаетсяif(k, θ) ≈ ρk∫ℓ0ℓJ0 (ℓθ)dℓ = ρiaJ1 (kaθ).θ0Поэтому (ср. (Б.19)) сечение упругого рассеяния велико лишь в области малых угловθ . (1/ka):(ka) 2 /4при θ ≪ 1/ka,dσel22 22= |f | ≈ ρ a 2 sin (ka − π /4)dΩпри θ ≫ 1/ka.πkaθ2Полученная картина при ρ = 1 (чёрный шар) неплохо описывает, например,рассеяние нейтронов с E = 100 МэВ на тяжёлом ядре радиуса a ∼ 10−12 см, при17.8. Ограничения подхода297этом ka ∼ 10. Эта картина даёт грубое описание и для рассеяния адронов (протонов,нейтронов, антипротонов) друг на друге при больших энергиях (в сотни и тысячиГэВ), с ρ ≈ 0, 4 и a ∼ 0, 6 Фм, эти столкновения преимущественно неупругие.Для классических же частиц дифракция практически не наблюдаема.
Так, приm ∼ 1 г и v ∼ 1 см/с углы дифракции на шаре радиуса a ∼ 1 см – порядкаθ ∼ (~/mva) ∼ 10−27 . Увидеть это рассеяние можно было бы лишь на расстоянияхa θ−1 ∼ 1027 см (размер видимой Вселенной).§ 17.8.Ограничения подходаОбсудим теперь некоторые ограничения развитых выше подходов к изучениюреальных физических задач.• Иногда сама концепция потенциала требует уточнения. Простейший пример– рассеяние электрона на атоме (изучавшееся в разд. 17.3.3). При более точномподходе, помимо детализации структуры рассеивателя, т. е.
отдельного учёта полей,создаваемых ядром и отдельными электронами, и учёта возможного возбужденияэлектронных состояний в атоме, необходимо учитывать обменное взаимодействиерассеивающегося электрона с электронами атома. Последняя поправка никак неможет быть сведена к простой модификации потенциала.• При переходе к релятивистским задачам становится существенным запаздывание (как запаздывающие потенциалы в электродинамике). В таких задачах следует учитывать зависимость взаимодействия от времени, что не описывается какимнибудь простым потенциалом. При описании столкновений элементарных частицконцепция потенциала чаще всего не работает, здесь оказывается важным рождение и поглощение частиц в промежуточных состояниях.
Для этих задач разработаныдругие подходы.• Выше задачи рассеяния рассматривались в предположении, что начальное(и конечное) состояния – плоские волны. В действительности начальные и конечныесостояния реализуются как некоторые волновые пакеты – суперпозиции плоскихволн с некоторым разбросом импульсов ∆ p. В большинстве задач отличие волновых пакетов от плоских волн не приводит к заметным эффектам.
Однако естькласс задач, в которых это отличие может приводить к серьёзным наблюдаемымэффектам. Так, амплитуда тормозного излучения при рассеянии ультрарелятивистских электронов на встречных протонах или позитронах в коллайдере очень сильноменяется уже при ничтожном изменении переданного импульса, меньшем ∆ p. Приэтом в конечном состоянии невозможно различить электрон, испытавший рассеяние, которое обусловило тормозное излучение, и электрон, который не испыталрассеяния, а просто имеет немного другой импульс в пределах пакета – возникаетинтерференция вкладов разных электронов – происходит переход от суммы излучений отдельных электронов к излучению сгустка электронов как целого (наподобиегромадного ядра).• Бесконечный радиус действия кулоновских сил (нулевая масса фотона) приводят к трудностям в постановке и решении задач с участием заряженных частиц.
Ужепри получении формулы Резерфорда (разд. 17.3.2) для того, чтобы избежать появления расходящихся выражений на промежуточных этапах вычисления, мы заменилиГлава 17. Рассеяние298кулоновское поле более быстро убывающим полем 1/r → e −µr /r cо вспомогательным параметром µ (µ = mγ c/~, где mγ – масса фотона), и устремили µ к нулю(регуляризация).Рассмотрим в качестве примера Комптон-эффект (γe → eγ) и вычисление его сечения с помощью Борновской теории возмущений.
В этой задаче ряд теории возмущений есть разложение по постоянной тонкой структуры α. В первом неисчезающемприближении этой теории получается простое конечное выражение для амплитудыКомптоновского рассеяния и сечения f = α f1 , dσ (1) = A|f1 |2 (при низких частотахэто – формула Томсона, известная из курса электродинамики, A – коэффициент).При вычислении первой поправки по α к этому сечению два обстоятельства создают большие трудности. Во-первых, поправка к сечению dσ (1) расходится. Вовторых, на опыте энергия и импульс фотона измеряются с некоторой конечной погрешностью ε, и не существует способа отличить состояния электрона с 4-импульсом(E, pc от состояния электрон + фотон с 4-импульсом электрона E ′ + ω, pc + kпри k = ω, если E ′ и E, p и p′ достаточно близки, и энергия фотона ω < ε (если быфотон имел конечную массу mγ , достаточно было бы иметь ε < mγ c 2).
Поэтому наблюдаемой величиной является не сечение простого Комптон-эффекта, а сечениеКомптон-эффекта с возможным дополнительным излучением любого числа мягкихсопутствующих фотонов, чья суммарная энергия меньше ε. В получившемся суммарном сечении «страшные» эффекты компенсируют друг друга. Спасение пришлов изменении постановки задачи рассеяния.Если ввести, как раньше, малую конечную массу фотона µ, вычисление поправкипорядка α к амплитуде и сечению Комптон-эффекта даёт f = α f1 + α2 (f2 + g ln µ),dσ = Aα2 | f1 |2 + 2Aα3 Re[ f1∗ (f2 + g ln µ)]. При µ → 0 поправка оказывается расходящейся и к тому же отрицательной (инфракрасная катастрофа)! В том жепорядке по α сечение двукратного Комптон-эффекта (e + γ → e + γ + γ) с излучением дополнительного «мягкого»[ фотона с энергией,] меньшей малой величины εрасходится так, что dσs2 = Aα3 f3 + Re(f1∗ g) ln(ε/µ) .
Сумма же обоих этих вкладов уже не содержит µ – переход к пределу µ → 0 стал законным. Эта сумма даётконечное сечение наблюдаемого процесса рассеяния с испусканием дополнительного «мягкого» фотона. Цена вопроса – появление в ответе величины погрешностиизмерения энергии ε.§ 17.9.Задачи1.
Получить в борновском приближении дифференциальное сечение рассеянияи указать критерий применимости для потенциалов−µrа) V = (g(Юкава); б) V = Are −br ;{/r)e−U при |r| < a,в) V =(прямоугольная яма).0при |r| > a2. Вычислить сечение упругого рассеяния быстрых электронов атомом водородав основном состоянии.3. Быстрый электрон упруго рассеивается протоном, находящимся в основном состоянии в поле U = mω 2 r2 /2.
Вычислить дифференциальное сечение.17.9. Задачи2994. Для сферической потенциальной ямы (барьера) с радиусом R найти сечение рассеянияа) в борновском приближении;б) для медленных частиц (включая и резонансное рассеяние – ср. [7] , задача13.35).5. Найти фазы для рассеяния в поле V(r) = a/r 2 при a > 0. При ma/~2 ≪ 1 найтидифференциальное и полное сечения.6. Найти дифракционную картину, возникающую при упругом рассеянии электроновв газе двухатомных молекул. Расстояние между атомами в молекуле a. Потенциал,создаваемый каждым атомом, имеет вид V(r) = (λ/r)e −r/r0 .
Предполагается, чтоλ ≪ ~2 /ma2 ; молекулы ориентированы хаотично. Для a ≈ 3r0 ≈ 3 Åоценить,при каких энергиях можно наблюдать эту картину. Рассмотреть случаи большихи малых переданных импульсов.Разобрать ту же задачу, не конкретизируя вид потенциала V(r). Выяснить, как повиду угловой зависимости дифференциального сечения можно находить a.7.
Получите амплитуду рассеяния во втором борновском приближении.8. Вычислить в борновском приближении фазы рассеяния для потенциала22U(r) = U0 e −r /a .9. Найти сечение рассеяния медленных частиц (s- и p-волновые вклады) на потенциале V(r) = −Gδ (r − a). Рассмотреть случай, когда в таком поле есть связанноесостояние.10. Вычислить фазы для рассеяния в поле U(r) в борновском приближении.Приложение АКвантовая механика на компьютере§ А.1.Постановка задачиВ программе Quant [13] многие физические ситуации моделируются для одномерного кусочно постоянного потенциала вида рис. 2.1, и это моделирование осуществляется по немного видоизменённому варианту схемы, изложенной в конце § 2.5с примерами в §§ 2.6, 2.7.
При подходящем числе делений таким способом можноаппроксимировать любой потенциал. В отличие от изложения в гл. 2, в программе сшивки осуществляются не справа налево, а слева направо. Поэтому в задаче о связанных состояниях можно вычислять коэффициент при растущей направоасимптотике правее области действия сил B(E), и для определения уровней решатьуравнение B(E) = 0.В практических вычислениях вводятся единица длины a и соответствующая единица энергии ε0 = ~2 / (2ma2) (для электрона при атомном размере a = 0, 5 · 10−8 смимеем ε0 = 13, 6 эВ, для протона в ядерном размере a = 10−13 см (1 ферми)ε0 ≈ 20 МэВ). Далее рассматриваются безразмерные величины√x̃ = x/a , Ẽ = E/ε0 , Ũ = U/ε0 , ψ̃ = ψ / a.После этого уравнение Шредингера и условие нормировки в случае дискретногоспектра принимают вид−d 2 ψ̃ (x̃)+ Ũ (x) ψ̃ (x̃) = Ẽ ψ̃ (x̃) ,d x̃ 2∫|ψ̃ (x̃)|2 d x̃ = 1 .(А.1)В последующем тексте этого приложения значки тильда опускаются.Общие указания к выполнению работПредлагаемые упражнения следует рассматривать как численный эксперименти отнестись к этой работе и её результатам так же, как к нормальному лабораторному эксперименту.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
