1612725068-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (828990), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Рассеяние292т. е. f(π − θ) = − f(θ), а для состояния с полным спином 0 (спины антипараллельны)амплитуда рассеяния не меняется при отражении, т. е. f(π − θ) = f(θ). Например,для «игрушечного» потенциала V = f(s1 s2)δ (r1 − r2) в состоянии с полным спином1 амплитуда рассеяния равна нулю, а в состоянии с полным спином 0 это – легковычисляемая константа.• При рассеянии строго вперёд или назад (в системе центра масс) проекцияполного орбитального момента на импульс равна нулю, и сохранение момента импульса означает, что сохраняется проекция суммарного спина на импульс (суммарная спиральность, равная разности спиральностей сталкивающихся или разлетающихся частиц).
Так, для рассеяния электрона на протоне (спины 1/2) эти проекцииλe и λ p могут быть равны ±1/2 (±) и суммарная спиральность есть λ ≡ λe − λ p .Для рассеяния вперёд отличны от нуля только амплитудыf (+,+)→(+,+) ≡ f (−,−)→(−,−) , f (+,+)→(−,−) ≡ f (−,−)→(+,+)f (+,−)→(+,−) ≡ f (−,+)→(−,+) (λ = ±1).(λ = 0),Равенства между амплитудами с противоположными спиральностями следуют изсохранения чётности. Наличие переходов (+, +) → (−, −) означает, что для рассеяния вперёд закон сохранения момента импульса допускает изменение поляризацииотдельных электронов.Если сечение рассеяния мало, то слой рассеивателей практически прозрачен дляпадающих частиц (как Земля для потока нейтрино). При этом, однако, амплитударассеяния может оказаться не настолько малой, и вычисление, подобное тому, чтопривело нас к оптической теореме, показывает, что интерференция падающей волныс рассеянной на поляризованной мишени, различная для разных переходов, можетпривести к перераспределению прошедших частиц по поляризациям (как в прозрачной среде с двоякопреломлением) при сохранении полного их числа.
Такое явлениеимеет место при прохождении поляризованных фотонов большой энергии через достаточно плотный поляризованный лазерный сгусток, фотоны которого в этом случаеможно считать мишенями (Г. Л. Коткин, В. Г. Сербо).§ 17.6.Некоторые особенности рассеяния заряженных частицНа больших расстояниях взаимодействие пары заряженных частиц друг с другомостаётся чисто кулоновским, это поле недостаточно быстро убывает с расстоянием,и асимптотическое условие (17.2) для рассеяния в этом случае записать невозможно. Прямое решение уравнения Шредингера даёт для этой задачи взамен (9.12) совсем другую асимптотику. В этом случае сходящаяся волна появляется не только изпадающей волны, но и из рассеянной.
В итоге взамен (17.2) при r → ∞ следует писать полученное в [1] решение для волновой функции и амплитуды рассеяния (здесьaB,Z = ~2 / (mZe 2) )[]if(θ) i (kr−ln(qr) / (kaB,Z) ]ψ = 1− 2 2e i [kz+ln(qr) / (kaB,Z) ] +e,raB,Z k (qr)(17.40а)Γ(1 + i/ (kaB,Z))1·.f(θ) = −2k2 aB,Z sin2 (θ/2) Γ(1 − i/ (kaB,Z))17.7. Рассеяние при наличии неупругости293Получающееся отсюда выражение для сечения совпадает с результатом борновского приближения (17.22).
Сильному изменению подверглась в сравнении с этимприближением фаза амплитуды рассеяния и фаза волновой функции.Соответствующее выражение для парциальной волны имеет вид()1π2ln(kr) − ℓ + δℓc ,Rkℓ ≈ sin kr +rkaB2(17.40б)δℓc = arg Γ(ℓ + 1 − i/k) .Важной новой чертой (17.40) является появление медленно меняющейся величиныln(kr) в показателе экспоненты или под аргументом синуса («кулоновская фаза»).Ситуация меняется в условиях, когда наряду с электростатическими действуютдругие, короткодействующие силы, вклад которых при очень малых углах рассеянияпренебрежимо мал по сравнению с кулоновским. Грубо говоря, амплитуда, получающаяся из короткодействующей силы, складывается с кулоновской. В итоге наблюдаемое сечение начинает зависеть от величины ln(kr), взятой на масштабе действияэтих короткодействующих сил.
Наблюдение этой зависимости доставляет новые сведения о характере короткодействующих сил. Именно это является одной из задачисследования упругого протон-протонного рассеяния при больших энергиях и стольмалых углах рассеяния, что величина квадрата переданного импульса (17.24) близкак квадрату обратного радиуса действия ядерных сил (~/a) 2 ≈ (mπ c) 2 .§ 17.7.Рассеяние при наличии неупругостиПростое обобщение соотношений (17.30) позволяет описывать и те случаи, когдав результате соударения помимо «повёрнутых» состояний исходных частиц появляются новые состояния или частицы – при наличии неупругости (примеры – рассеяние света на атоме с его переходом в возбуждённое состояние, рассеяние с вылетомэлектрона – фотоэффект, рассеяние протона на протоне с вылетом π-мезона).17.7.1.
Общие соотношения. Канал упругого рассеянияПри низких энергиях модификация упругого рассеяния и основные характеристики неупругого рассеяния можно компактно описать, если использовать комплексныезначения фаз рассеяния δℓ . Парциальное сечение упругого рассеяния (17.31) можнозаписать ещё в виде σℓ(el) = π (2ℓ + 1)|1 − Sℓ |2 /k2 . Мы ограничимся здесь основнымисоотношениями.Напомним, что парциальная амплитуда расходящейся волны отличается множителем (−1) ℓ+1 Sℓ от соответствующей амплитуды в сходящейся волне. Если поглощения нет, то в силу сохранения вероятности |Sℓ | = 1.
Если есть поглощение,то |Sℓ | < 1, и величина 1 − |Sℓ |2 описывает уменьшение потока частиц в расходящейся волне по сравнению со сходящейся. Действительно,Jin = −π~k ∑(2ℓ + 1);mJout =π~k ∑(2ℓ + 1)|Sℓ |2 .mГлава 17. Рассеяние294Неупругое сечение – разность этих интегралов, делённая на падающий поток jinc ,а полное сечение σtot = σel + σin . Окончательно∑σel = σℓ(el) , σℓ(el) = π (2ℓ + 1) (|1 − Sℓ |2) /k2 ;∑(17.41)σin = σℓ(in) , σℓ(in) = π (2ℓ + 1) (1 − |Sℓ |2) /k2 ;∑2σtot = σℓ(tot) , σℓ(tot) = 2π (2ℓ + 1) (1 − ReSℓ) /k .Итак,▽ при Sℓ = 1 нет ни поглощения, ни рассеяния,▽ при |Sℓ | = 1 есть только рассеяние и нет поглощения,▽ при Sℓ = 0 поглощение и рассеяние одинаково сильны.Если рассеяние чисто упругое, все фазы действительны, и мы приходим к (17.31).♢ Соотношения (17.30), (17.41) позволяют вычислить и мнимую часть парциальной амплитуды Imfℓ (k) = (1 − ReSℓ) /2k.
Сравнение с (17.41) показывает, чтооптическая теорема (17.12) выполняется для каждой парциальной волны по отдельности:kσℓ(tot) (k).(17.42)(2ℓ + 1)Im fℓ (k) =4π17.7.2. Неупругие процессыДля описания отдельных неупругих каналов рассеяния общий формализм, развитый выше, не проходит. Конечно, можно вычислять амплитуду рассеяния для каждого отдельного канала, и, например, первому Борновскому приближению отвечаетвычисление амплитуды как матричного элемента перехода между начальным и избранным конечным состоянием. Но как учесть разнообразие конечных состояний?Здесь на помощь приходит золотое правило Ферми (15.26).
Скорость переходовиз начального состояния в конечное пропорциональна плотности числа конечныхсостояний по энергии, которая определяется из закона сохранения энергии. Сечениеже процесса пропорционально этой скорости, делённой на величину падающего потока частиц ~k/m. В свою очередь плотность числа конечных состояний электронапри его фиксированной энергии пропорциональна k. Именно поэтому для упругогорассеяния множитель k из ответа выпадает, из этой плотности в ответе осталосьтолько интегрирование по углам (17.5).Сечение неупругого процесса i → f определяется как скорость процесса, делённая на поток падающих частиц,∫σ f(i) = m|F fi |2Πd 3 k fδ (E f − Ei) .ki(17.43)(Мы распорядились нормировкой так, чтобы включить в матричный элемент всевозникшие множители).При небольших энергиях падающей частицы интересны три важных случая.1.
Конечное состояние кинематически не отличимо от начального, пример – реакция π − p → π 0 n в пренебрежении различием масс π − и π 0 , p и n. В этом случае17.7. Рассеяние при наличии неупругости295сечение процесса при малых энергиях стремится к конечному пределу, в точностикак и для упругого рассеяния – (17.36).2. Конечное состояние может рождаться, только если энергия падающей частицы больше некоторого «порогового» значения Et (примеры – рассеяние электронана атоме, сопровождающееся его переходом в возбуждённое состояние, рассеяниепротона на протоне с рождением пиона,...) В этом случае повторение предыдущегорассуждения для упругого рассеяния показывает, что для двухчастичного конечногосостояния при небольших превышениях энергии над порогом√ сечение пропорционально импульсу рождённой частицы k p , т.
е. σi ∝ k p ∝ E − Et . Разумеется,эти оценки справедливы на небольших расстояниях от порога – малых E − Et внезависимости от величины энергии сталкивающихся частиц1 .3. Конечное состояние нестабильно и может спонтанно распадаться на другиечастицы. Один из примеров – рассеяние электрона на атоме, находящемся в возбуждённом состоянии. Другой пример хорошо известен в истории проблемы атомнойбомбы. Медленные (тепловые) нейтроны хорошо поглощаются ядрами 235 U , получающееся возбуждённое ядро испытывает быстрый спонтанный распад на ядра середины периодической таблицы элементов с выделением большого количества энергии (ядерная энергия – см. обсуждение на стр.
243). В этом случае приуменьшении энергии падающей частицы плотность конечных состояний стремитсяк конечному пределу, отвечающему спонтанному распаду, а поток падающих частицстремится к нулю пропорционально скорости. Это означает, что при уменьшенииэнергии сечение рассматриваемого процесса растёт как σi ∝ 1/v, при этом числоядерных распадов в единицу времени nσi v (n – плотность числа нейтронов) практически не зависит от их скорости.
(Поглощение быстрых нейтронов приводит обычно к образованию сравнительно долго живущих трансурановых элементов, которыеможно использовать отдельно, но с точки зрения немедленного энерговыделения этинейтроны пропадают. Поэтому в урановом ядерном реакторе для увеличения числаактов деления нейтроны замедляют, заставляя их пройти через слой тяжёлой водыили графита.) Подобная ситуация (σv ≈ const) возникает и при изучении некоторыхпроцессов с частицами, которые могли бы составлять тёмную материю.17.7.3. Рассеяние быстрых частиц на сером шареДля ряда физических задач грубую картину рассеяния неплохо описывает картина дифракционного рассеяния быстрых частиц на частично поглощающем (сером)шаре радиуса a при ka ≫ 1 с коэффициентом поглощения ρ (значение ρ = 1 отвечает чёрному шару, при ρ = 0 рассеиватель незаметен).
Эта задача очень похожана задачу о дифракции плоской волны на сером (полупрозрачном) шаре.При ka ≫ 1 разумный результат даёт квазиклассическое приближение. Моментимпульса частицы, движущейся с прицельным параметром ρ, есть L = pρ ≡ ~kρ.Поэтому значения момента, участвующие в соударениях, ℓ . ℓ0 = ka. Приℓ ≫ ℓ0 = ka частицы не сталкиваются с шаром, соответствующие Sℓ = 1. При1 Здесь фактически предполагается, что в неупругом процессе рождается система с моментом ℓ = 0.ℓПри ℓ ̸= 0 в пороговую зависимость добавляется дополнительный множитель k2ℓr ∝ (E − Et ) .Глава 17.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
