1612725068-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (828990), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Эти коэффициентыA′ , B ′ выражаются через A, B также и с помощью условия инвариантности относительно конечного сдвига (7.1), A′ = e iqa A, B ′ = e iqa B. Получающиеся соотношениясоставляют уравнение для определения квазиимпульса q при заданной энергии E(или зависимости E от q). Для значений энергии, принадлежащих запрещённой зоне,это уравнение не имеет действительного решения.Цели второй серии упражнений — понять, как возникают энергетические зоныв периодическом поле, как выглядит зависимость энергии от квазиимпульса дляразных зон, разобраться, как происходит переход от конечного большого числа ямк бесконечной решётке.В соответствии с этим предлагается выполнить следующий набор упражнений.1. Рассмотрите сначала одну уединённую яму глубиной −U0 с числом уровней неменьше 4, затем расположим на расстоянии b от неё ещё одну такую же яму,две, три, и так до восьми.
Если уровни первоначальной ямы обозначить через E1 ,E2 ,... Ek , то в системе из n ям каждый из этих уровней превратится в группу из nуровней (для верхнего уровня число дочерних уровней может оказаться меньше— выталкивание уровней). Убедитесь, что с увеличением b число вытолкнутых уровней уменьшается. Как меняется при этом расстояние между уровнями вкаждой группе? Что происходит с группами уровней при уменьшении b?2.
В предыдущей задаче для n = 8 сделайте третью яму чуть глубже или мельче иличуть уже. Обнаружьте локализацию некоторых состояний на этой примеси.3. Рассмотрите зависимость от энергии коэффициента прохождения над указаннымивыше системами. Рассмотреть ту же зависимость для системы барьеров высотойU0 с теми же ширинами и расстояниями между барьерами.Убедиться в том, что при росте числа ям или барьеров появляются энергетические интервалы практически полной прозрачности и непрозрачности со все болеерезкими границами (прообразы разрешённых и запрещённых зон в кристалле).Рассмотреть волновые функции в этих интервалах.Рассмотрите те же задачи для случая, когда тиражируется яма другой формы.Найдите какие-нибудь наборы параметров, отвечающие случаям с выталкиванием уровней. Покажите, что в этом случае существуют области прозрачности принизких энергиях.А .5.
Движение в центральном поле4.5.6.7.8.305В последующих задачах по возможности используйте те же элементарные ямы, что и в предыдущих.Взять за основу уединённую яму с одним, двумя или тремя уровнями. Составитьпериодическую решётку из таких ям, разделённых интервалом длины b. Рассмотреть систему разрешённых и запрещённых зон в такой решётке при различныхзначениях b. Обнаружить значение b, при котором число разрешённых зон с отрицательной энергией равно числу уровней в «материнской» яме.
Как меняютсяширины разрешённых и запрещённых зон при изменении b?Просмотрите зависимость энергии от квазиимпульса для разных зон. Пронаблюдайте, как меняется эффективная масса электрона при изменении b (если надо,произведите вычисления на бумаге для некоторых значений параметров решётки).Просмотрите вид Re ψ (x), Im ψ (x), |ψ (x)|2 для значений энергии, соответствующихдну зоны и её «потолку», чуть выше и чуть ниже – для разных зон.Просмотрите то же самое в трёхмерном изображении, где на осях отложены x,Reψ (x) и Imψ (x). Пронаблюдайте изменение картины при непрерывном измененииэнергии в интервале, включающем и запрещённую зону.Рассмотрите зависимость энергии от квазиимпульса E(q) в случае слабого периодического поля – когда для «материнской» ямы U0 a2 ∼ 1 ÷ 0, 1 и b ∼ a.Убедитесь, что в этом случае кривая E(q) представляет собой куски параболыс малыми разрывами. Интересен вид квадрата модуля волновой функции вблизиразрывов — на границах разрешённых зон.Повторите предыдущее задание, взяв за элемент периодичности пару ям существенно разной глубины и (или) ширины.Рассмотрим сначала ту же решётку, что и в первом задании, взяв за элементпериодичности 5, 6 или 7 ям из этой решётки.
Сами зоны при этом, естественноне изменятся. Как изменится при этом вид зависимости E(q)?Для решётки, рассмотренной в предыдущем задании, «испортите» элемент периодичности, сделав, например, третью яму немного глубже или немного шире. Какизменится при этом зонная структура? Рассмотрите |ψ (x)|2 для разных зон.§ А.5.Движение в центральном полеВ программе Quant-R центрально-симметричный потенциал аппроксимируют последовательностью ступенек√ (по радиусу). В каждой из них решение имеет вид (9.10)с соответствующим k = 2m(E − Ui) /~2 , действительным или мнимым. Правиласшивки на каждой границе те же, что и для обычного одномерного движения.
Программа может стартовать с начала координат, r = 0, где решение имеет форму R s (r).После последней границы должно получаться либо экспоненциально убывающеерешение (дискретный спектр), либо решение в форме (9.12) (непрерывный спектр).Прямое применение этой схемы сложнее, чем для простого одномерного движения,поскольку аналитические выражения для решений (9.10) при больших ℓ оказываются очень громоздкими суммами взаимно компенсирующих друг друга слагаемых.Поэтому приходится использовать модификацию указанной схемы, уменьшающуюэти трудности. При E < 0 условие исчезновения растущей экспоненты даёт уровни306П р и л о ж е н и е А .
Квантовая механика на компьютереэнергии, при E > 0 из решения получаются фазы рассеяния. Задача моделирования– понять особенности трёхмерной задачи в сравнении с одномерной.Ответы можно представлять для частного значения ℓ или для всех значений ℓ,меньших некоторого. По умолчанию рассматривается второй вариант с максимальновысокой верхней границей по ℓ.В соответствии с этим предлагается выполнить следующий набор упражнений.1. Определите уровни энергии в прямоугольной (по радиусу) потенциальной яме.Рассмотрите радиальные волновые функции для отдельных состояний.2.
Рассмотрите частицу в узком сферическом «слое». Изучите аналогию с вращательными уровнями молекулы.3. Рассмотрите трёхмерный гармонический осциллятор в приближении суммы ступенек. Определите чётность и кратности вырождения уровней. Рассмотрите погрешность приближения ступеньками.4. Рассмотрите кулоновскую задачу в приближении суммы ступенек. Определитечётность и кратности вырождения уровней. Рассмотрите погрешность приближения ступеньками.5. Для потенциала, представляющего собой твёрдый шарик радиусом a, построить волновые функции и найти фазы рассеяния в зависимости от энергии дляℓ = 0, 1, 2.6. Повторить ту же задачу для потенциала, представляющего собой тонкий сферический слой глубины U с радиусами границ a и a + b.Приложение БМатематические дополнения§ Б.1.Некоторые тензорыВ тексте широко используются два тензора, вид которых не меняется при вращениях осей координат, симметричный тензор δij и совершенный антисимметричныйтензор – тензор Леви–Чивита ei jk (иногда εijk).
Они определяются следующим образом:{δij =1 при i = j ,0 при i ̸= j .ei jk = −e jik = −eikj = ekij = ...e123 = 1, e122 = e311 = ... = 0 .(Б.1)(Б.2)Тензор δi j , элементы которого равны единице при совпадающих значениях индексов и нулю при несовпадающих, определён не только в трёхмерном пространстве,но и в пространстве любой размерности.Тензор Леви–Чивита eijk определён только в трёхмерном пространстве1 . Онопределяется так, что его элементы меняют знак при любой перестановке соседних индексов и e123 = 1.
По этому определению, элементы с двумя (или тремя)совпадающими индексами равны нулю, а остальные элементы равны +1 или −1 взависимости от чётности перестановки индексов 1, 2, 3.В дальнейших примерах мы считаем, что по повторяющимся индексам выполняется суммирование. Скалярное произведение двух векторов a = (a1 , a2 , a3)и b = (b1 , b2 , b3) можно записать в виде(ab) = ai bi ≡ δij ai b j .Тензор ei jk используется для записи компонент векторного произведения и ротора. Так, для векторного произведения тех же двух векторов и для ротора вектораa имеемa × b i = ei jk a j bk , rot ai ≡ ∇ × a|i = eijk (∂ /∂x j)ak .1Вd-мерном пространстве совершенный антисимметричный тензор имеет d индексов.П р и л о ж е н и е Б .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
