1612725068-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (828990), страница 70
Текст из файла (страница 70)
kr. С ростом r эффективныйверхний предел суммирования растёт, а вклады слагаемых с бо́льшими ℓ малы, и суммируются в экспоненциально малые величины. (Это следует из детального анализаасимптотик (9.11).) Предельное же выражение (17.28б) указывает только правилосоответствия для асимптотического ряда, стоящего справа, и буквально понимаемоевыражение в правой части не всегда существует (например, при θ = 0, π).В изучаемом случае потенциала со сферической симметрией волновая функция зависит лишь от r и θ, но не от φ.
Поэтому разложение общего решения по17.4. Разложение по парциальным волнам287сферическим гармоникам (9.3) содержит лишь Yℓ0 (θ, φ) ∝ Pℓ (cos θ). Вместе с (17.2),(9.12) это означает, что на больших расстояниях от рассеивателяψ (r) = e ikz + f(E, θ) · e ikr /r ==∑i −ℓ (2ℓ + 1) Aℓ Pℓ (cos θ)sin(kr − ℓπ /2 + δℓ),kr(17.29)где множитель i −ℓ (2ℓ + 1) /k введён для удобства последующих вычислений, и Aℓ– коэффициент, определяемый видом потенциала.
При этом в точном разложенииплоской волны (17.28) коэффициенты1 Aℓ = 1.Рассмотрим разность между полной волновой функцией (17.29) и выражениемдля плоской волны (17.28), выразив "по дороге" sin α через экспоненты e ±iα[] ∑ 2ℓ+ 1[]∑ 2ℓ+ 1Aℓ Pℓ (cos θ) e ikr+iδℓ − (−1) ℓ e −ikr−iδℓ −Pℓ (cos θ) e ikr − (−1) ℓ e −ikr ≡2ikr2ikr[() ikr()]∑ 2ℓ+ 1iδℓ≡Pℓ (cos θ) Aℓ e − 1 e − (−1) ℓ Aℓ e −iδℓ − 1 e −ikr .2ikrПо определению (17.29) эта разность представляет собой только расходящуюсяволну f(E, θ)e ikr /r. Поэтому коэффициент при сходящейся волне e −ikr /r обращаетсяв ноль, т.
е. Aℓ e −iδℓ − 1 = 0. Отсюда следует, что Aℓ = e iδℓ , и мы получаемf(E, θ)∑ 2ℓ+ 1()e ikr=Pℓ (cos θ) e 2iδℓ − 1 e ikr .r2ikrТаким образом, разложение для амплитуды рассеяния можно записать в видеf(E, θ) =∞∑(2ℓ + 1) fℓ (E)Pℓ (cos θ) ;ℓ=0fℓ (E) =sin δℓSℓ − 11 ∫πe 2iδℓ − 1sin θdθPℓ (cos θ) f(E, θ) .≡ e iδℓ≡≡2ikk2ik20(17.30)Величины fℓ (E) называются парциальными амплитудами. Последнее выражениедаёт способ вычисления парциальных амплитуд по известной полной амплитуде рассеяния f(θ).
Соотношением (17.30) мы ввели также удобную для некоторых обсуждений величину Sℓ – отношение амплитуд расходящейся и сходящейся волн в полномрешении (17.29) (с точностью до коэффициента (−1) ℓ+1).В соответствии с (17.30) и (Б.16), полное сечение упругого рассеяния σel ≡ σскладывается из парциальных сечений σℓ :∫σ=|f(θ)|2 dΩ =∑ℓ=0σℓ ,σℓ = 4π (2ℓ + 1)|fℓ |2 ≡ 4π (2ℓ + 1)sin2 δℓ.k2(17.31)1 Эти коэффициенты определяются стандартным образом, с помощью интегрирования по углам выражения Pℓ (cos θ)e ikz или сравнением избранных членов степенного разложения в двух частях равенства(как это сделано в [1]).Глава 17.
Рассеяние288Подобным же образом определяются и парциальные сечения для разных каналовнеупругого рассеяния (см. § 17.7). Как мы увидим ниже, в итоге удаётся записатьоптическую теорему для каждой парциальной волны по отдельности (17.42).Полезно заметить ещё, что в силу (17.30) для упругого рассеяния имеет местосоотношение Im fℓ = k|fℓ |2 . Его можно переписать в виде Im(1/ fℓ) = −k. Последняя запись означает, что парциальную амплитуду можно выразить через некоторуюдействительную функцию gℓ в видеfℓ =1.gℓ − ik(17.32)Такое представление полезно при некоторых анализах.♢ Проиллюстрируем введённые понятия в классической механике для рассеянияна твёрдом шаре радиуса R.
Здесь ρ – прицельный параметр и (при ℓ ≫ 1) моментимпульса ~ℓ = pρ = ~kρ. Поэтому прицельный параметр, отвечающий данномузначению ℓ, есть ρℓ = ℓ/k. Парциальное сечение σℓ(кл) определяется как площадькольца между окружностями радиусов ρℓ и ρℓ+1 , т. е. классическое парциальноесечение:π (2ℓ + 1)σℓ(кл) = π (ρ2ℓ+1 − ρ2ℓ) =(ℓ 6 kR) .(17.33)k2Имея экспериментальные данные по угловому распределению рассеянных частиц, можно найти отдельные парциальные сечения и относительные фазы амплитуд.Так, если в рассеянии представлены только s- и p-волны (ℓ = 0 и 1), то сечениеимеет вид dσ = [| f0 |2 + 6Re(f0∗ f1) cos θ + 9| f1 |2 cos2 θ] dΩ. Процедуру извлеченияпарциальных волн из дифференциальных сечений называют фазовым анализом.♢ Полученное разложение особенно удобно для описания рассеяния медленныхчастиц, когда фактически работает только несколько первых гармоник (см.
подробнее ниже, разд. 17.4.2). Область применимости такого описания часто простираетсядо довольно больших энергий. Это разложение оказывается также полезным приописании резонансов в рассеянии (разд. 17.4.3).При детальном анализе полезным является исследование парциальных амплитуд в зависимости от энергии во всей комплексной плоскости энергии. Приведем некоторые результаты.♢ Парциальная амплитуда – аналитическая функция энергии во всей её комплексной плоскости с разрезом по действительной оси при E > 0 и возможнымиполюсами при E < 0. Принимают, что физическое значение амплитуды отвечаетверхнему берегу разреза.♢ В задаче об одномерном движении мы обнаружили связь между полюсами амплитуды рассеяния и энергиями связанных состояний (2.38).
В трёхмерном случаеэта связь формулируется в виде общей теоремы.Вне положительной полуоси особенности парциальной амплитуды на физическом листе – только полюса при E < 0.Положения этих полюсов отвечают энергиям связанныхсостояний с данным значением момента импульса ℓ.17.4. Разложение по парциальным волнам289♢ Аналитическое продолжение парциальной амплитуды под разрез (на второйриманов лист) может иметь полюса в точках Ei = Mi − iΓi /2. При небольших значениях Γi эти полюса отвечают резонансам в рассеянии, см. подробнее в разд.
17.4.3.При этом Mi – масса резонанса, Γi – его ширина, ℓ – его спин. (На других языкахэти резонансы называют квазисвязанными состояниями, виртуальными уровнями,квазиуровнями, § 2.8 и т. п.)17.4.2. Упругое рассеяние медленных частицПри ka ≪ 1 для ℓ ̸= 0 прицельные параметры велики, ρℓ = ℓ/k ≫ a, поэтомулишь s-волна (ℓ = 0) может давать заметное рассеяние. Таким образом, угловоераспределение рассеянных частиц изотропно.Если потенциал достаточно быстро убывает с расстоянием, то при k → 0 фазырассеяния малы, т. е.
вклады высших гармоник подавлены:δℓ ∝ k2ℓ+1 ⇒ fℓ ∝ k2l .(17.34а)Напомним, что фаза рассеяния безразмерна. Единственный размерный фактор, присутствующий в задаче помимо k, – характерный размер поля a. Поэтому выписанныеоценки уточняются следующим образом:δℓ ∝ (ka) 2ℓ+1 ⇒ fℓ ∝ a(ka) 2l .(17.34б)Чтобы получить эти оценки в случае, когда применимо ещё и борновское приближение1 , подставим в (17.30) формулу (17.18б), где разложим sin qr в ряд, и воспользуемся тождеством q 2 = 2k2 (1 − cos θ).
Обозначив cos θ = z, получаем∫∑ (−2k2 r 2 (1 − z)) n2mfℓ (k) = − 2r 2 drV(r)dzPℓ (z).(17.35)~(2n + 1)!kФункции Pℓ (z) – полиномы (Лежандра) по z степени ℓ, ортогональные друг другуна отрезке (−1, 1). Поэтому вклад в fℓ дают только те слагаемые ряда, номеркоторых n > ℓ. При k → 0 это означает, что fℓ ∝ k2ℓ , что подтверждает вывод(17.34а).Такое вычисление даёт правильный ответ, если интеграл (17.35) сходится для всехn.
Это справедливо для ядерных сил, убывающих на больших расстояниях по законуe −(r/a) /r. Межатомные и межмолекулярные силы убывают обычно медленнее – постепенному закону V ∼ 1/r γ . Для таких потенциалов зависимость (17.34а) имеетместо только при ℓ < (γ − 3) /2. Для фаз с ℓ > (γ − 3) /2 оценка того же интеграладаёт зависимость δℓ ∝ kγ−2 .Итак, при низких энергиях fℓ ∝ k2ℓ . В частности, при этом основной вклад даётs-волна, для которой δ0 = −ak, f0 = −a.
Величина a называется длиной рассеяния.При этом в соответствии со сказанным в начале разделаdσ = a2 dΩ,1 Общийσ = 4πa2 .случай требует лишь небольших уточнений.(17.36)Глава 17. Рассеяние29017.4.3. Резонансное рассеяниеВыясним теперь, как проявляются в рассеянии квазистационарные состояния,подобные изучавшимся в разд.
2.8. Рассмотрим для этого амплитуду как функциюэнергии частицы E в комплексной плоскости энергии.Перепишем Rkℓ (r) ∼ sin(kr − πℓ/2 + δℓ) /r в виде]C[Rkℓ (r) →aℓ (E)e ikr + a∗ℓ (E)e −ikr ,aℓ (E) = −ie i(δℓ −πℓ/2) .rПри этом в соответствии с (17.30) парциальная амплитуда есть[])1 aℓ (E)1 ( 2iδℓℓe −1 =(−1)−1.(17.37)fℓ (E) =2ik2ik a∗ℓ (E)Пусть в рассматриваемом поле V(r) возможно квазистационарное состояние приE = E0 = Er − iΓ/2, и Γ ≪ E. Тогда асимптотика Rkℓ (r) при данной энергии должнасодержать только расходящуюся волну1 , т.
е. должно быть a∗ℓ (E0) = 0. В соответствии с этим простейшая аппроксимация вблизи резонанса имеет видa∗ℓ (E) ≈ βℓ∗ (E − E0) ≡ βℓ∗ (E − Er + iΓ/2).Иными словами, парциальная амплитуда имеет полюс при E = E0∗ = Er − iΓ/2(формула Брейта–Вигнера):[]()1ℓ βℓ2iδℓ0 E − Er − iΓ/22iδℓ0fℓ (E) == (−1) ∗ .e−1e(17.38)2ikE − Er + iΓ/2βℓ1.00.80.60.40.20.00.80.91.01.11.21.31.4Рис. 17.1. Зависимость фазы (17.37) от Eвблизи резонанса при |δℓ0 | ≪ 1.σℓ =π(2ℓ + 1)Γ2.2k (E − Er) 2 + Γ2 /41.00.80.60.40.20.00.80.91.01.11.21.31.4Рис.
17.2. Зависимость парциального сечения σℓ от E вблизи резонанса при |δℓ0 | ≪ 1.σℓ =1 ТакоеПри этом δℓ = δℓ0 − arctg[Γ/2(E − Er)] ,где δℓ0 – фаза рассеяния вдали от резонанса. При прохождении через резонанс фазарассеяния изменяется на π.Обычно фаза δℓ0 невелика. В этом случае парциальное сечение имеет резонансную зависимость от энергии, с "куполом"приE = Er и (ср. (2.44))(17.39а)Однако наличие даже постоянной, но неочень маленькой нерезонансной фазы сдвигает положение максимума и меняет егоформу.
Если, в частности, δℓ0 = π /2, зависимость сечения от энергии имеет совсемдругой вид, с двумя максимумами и нулёмпри E = Er :4π (2ℓ + 1) (E − Er) 2.k2 (E − Er) 2 + Γ2 /4же условие использовалось в § 2.8 для определения ширины квазиуровня Γ.(17.39б)17.5. Особенности рассеяния частиц со спином291Поэтому наблюдение пика в сечении при некоторой энергии E p говорит толькоо том, что резонанс скорее всего есть, и его положение Er близко к E p , утверждатьже, что Er = E p , нельзя. Чтобы найти истинные параметры резонанса из данныхпо рассеянию, необходимо выполнить довольно громоздкий анализ, включающий иопределение медленно меняющейся фазы δℓ0 .▽ Чтобы выяснить смысл величины βℓ , вернёмся к нестационарной задаче, изучавшейся в § 2.8.
При E = Er − iΓ/2 радиальная волновая функция на большихрасстояниях есть Rkℓ (r) = βℓ∗ (−iΓ) e ikr /r. Если Rkℓ (r) нормирована во внутреннейобласти на единицу, то полный поток в расходящейся волне vΓ2 |βℓ |2 должен равняться вероятности распада Γ/~. Отсюда |βℓ |2 = 1/ (~vΓ).♢ Соотношение (17.38) представляет собой ясную иллюстрацию общего утверждения, содержащегося в § 17.4.1 о том, что резонансам в рассеянии отвечаютполюса в нижней полуплоскости комплексной энергии.§ 17.5.Особенности рассеяния частиц со спином• При рассеянии спинорных частиц все амплитуды и сечения зависят ещёи от спинов.
Обычным приёмом является изучение рассеяния при различных значениях спинов каждой из частиц в начальном и конечном состояниях.Если взаимодействие сохраняет суммарный спин частиц (например, не зависит отспина или зависит от скалярного произведения спинов), полезно разложить начальное состояние по состояниям с различными значениями полного спина и вычислитьпо отдельности амплитуды рассеяния в каждом случае.Во многих случаях оказывается достаточным изучить зависимость только от спина сталкивающихся частиц и усреднить по конечным спиновым состояниям. В этомслучае, например, для описания первого Борновского приближения удобно обозначить через |i⟩ и |f ⟩ начальное и конечное спиновые состояния и через n f – кратностьвозможных конечных спиновых состояний, обычно n f = (2s1 + 1) (2s2 + 1).
При этомdσ ∝∫∫1 ∑′|⟨i| d 3 rV(r)e −iqr |f ⟩⟨ f | d 3 r′ V(r′)e iqr |i⟩ ≡nf f∫∫1′≡⟨i| d 3 rV(r)e −iqr d 3 r′ V(r′)e iqr |i⟩.nf(Здесь выписаны только спиновые усреднения).• При рассеянии тождественных частиц результат зависит от суммарного спина начального состояния. Фактически здесь проявляется обменное взаимодействие.Пространственная волновая функция относительного движения симметрична относительно перестановки частиц (θ ↔ π − θ), если суммарный спин системы чётный,пространственная волновая функция относительного движения антисимметрична относительно перестановки частиц, если суммарный спин системы нечётный (13.6). Этоозначает, в частности, что в состояниях с чётным суммарным спином амплитуда рассеяния содержит лишь чётные парциальные волны, а в состояниях с нечётным суммарным спином амплитуда рассеяния содержит лишь нечётные парциальные волны.Так, для рассеяния электрона на электроне в состоянии с полным спином 1 (спины параллельны) амплитуда рассеяния меняет знак при отражении,Глава 17.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
