1612725068-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (828990), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Суммирование по поляризациям вылетевшего фотонас учётом (13.22) даёт угловое распределение вероятности вылета фотонаdrkω32=| [dud × n]| ,dΩ2π~c 3n=k.k(16.13)Излучённый свет оказывается нетривиально поляризованным, если специальным образом поляризовать излучающую среду, организовав дело так, чтобы только некоторые компоненты матричного элемента dud отличались от нуля. При этом различным оказывается и усреднённое по поляризациям угловое распределение излучения.Приведем примеры.▽ Если начальное u и (или) конечное d состояния организованы так, что dud ∝(0, 0, 1), то drk /dΩ ∝ sin2 θ – как в классической задаче об излучении частицы,которая колеблется вдоль оси z.▽ Если начальное и (или) конечное состояния организованы так, чтоdud ∝ (1, ±i, 0), то drk /dΩ ∝ (1 + cos2 θ) – как в классической задаче об излучении частицы, которая вращается по окружности в плоскости (xy).Полная вероятность излучения в единицу времени (скорость излучения) получается из предыдущего выражения интегрированием по углам, а интенсивность излучения (энергия, излучаемая в единицу времени) I получается домножением скоростиизлучения на энергию одного фотона ~ω:r ñïîíò =4ω 32|dud | ,3~c 3I = r ñïîíò ~ω =4ω 42|dud | .3c 3(16.14)Эти выражения, естественно, совпадают с полученными в подходе Ферми (16.6).Глава 16.
Испускание и поглощение излучения266♢ Результат (16.6), (16.14) очень похож на результат классической электродинамики I(ω) = 2ω 4 / (3c 3)⟨|dω |2 ⟩, но – на первый взгляд – отличается от него коэффициентом. В действительности эти результаты совпадают, просто в эти ответы входятразные объекты.В квантово-механическое выражение (16.6) входит матричный элемент дипольного момента, отвечающий переходам в одну сторону u → d. В классическое выражение входит Фурье-компонента дипольного момента с частотой ωud , отвечающаяколебаниям u ↔ d.
Эта Фурье-компонента состоит из двух слагаемых, отвечающихпереходам d → u и u → d, т. е.dω = dud e iωud t + ddu e −iωud t ,∗причём ddu = dud . Поэтому после возведения в квадрат и усреднения по времени получается ⟨|d(t)|2 ⟩ = 2⟨|dud |2 ⟩. При такой замене результат (16.6) по формесовпадает с классическим – в полном согласии с принципом соответствия.§ 16.2.Излучение высших мультиполейВ ряде важных случаев представляют интерес излучение при переходах, для которых правила отбора (16.20) не выполняются.
Иногда это – уникальный способполучить излучение той или иной необходимой нам частоты или получить сведения о деталях спектра состояний, иногда же структура уровней системы такова, чтоправила отбора (16.20) не выполняются ни для каких уровней, лежащих ниже интересующего нас уровня u. Переходы с нарушением правил отбора (16.20) называютзапрещёнными, поскольку их вероятности значительно меньше, чем для электрического дипольного излучения.Следующий член разложения по ka. Итак, пусть dud = 0. В этом случае вамплитуде перехода (16.8) необходимо учесть уже второй член разложения по kr впоказателях экспонент e ikr , входящих в разложение оператора поля по операторамрождения и уничтожения фотонов (13.25) 1 . Тот же порядок по ka имеет и операторспинового взаимодействия.
В итоге взамен (16.10) оператор взаимодействия принимает вид:ieV̂ (2) = −(kr) (Â(0) p̂) − gµB (ŝâ) .(16.15а)mcДальнейшее вычисление очень похоже на то, что делается в курсе электродинамики. В слагаемом, не содержащем спина, удобно перейти к покомпонентной записискалярных произведений и разбить возникший тензор ri p j на антисимметричнуюи симметричную части:ie(2)(2)ki ri  j (0) p̂ j = V̂a + V̂s ,mcieki  j (0)ieki  j (0)(2)=−(r̂i p̂ j − r̂ j p̂i) ,V̂s = −(r̂i p̂ j + r̂ j p̂i) .2mc2mc(2)V̂s=0 = −(2)V̂a(16.15б)1 В приводимых формулах учитываются только слагаемые, отвечающие операторам рождения фотонов.учёт слагаемых с операторами уничтожения, необходимый при изучении поглощения света, не вносяничего нового в результаты, сделал бы вычисления более громоздкими.16.2.
Излучение высших мультиполей267Антисимметричное слагаемое содержит компоненту вектора момента импульса(r̂i p̂ j −r̂ j p̂i) = eijk L̂k ≡ ei jk ~ℓ̂k . В итоге это слагаемое преобразуется к виду (ср. (11.9))V̂a = −)()ie~ (ℓ̂[k Â(0)] ≡ −µB ℓ̂ B̂(0) .2mcВторая форма здесь получена с помощью (13.26). Окончательно, добавляя ещё слагаемое, содержащее спин, мы получаем оператор, содержащий магнитный моментсистемы,V̂a(2) = −m̂B̂(0),m̂ = µB (ℓ̂ + g ŝ).(16.16)Он определяет магнитно-дипольное излучение.Для симметричной части V̂s мы пользуемся тем же преобразованием, что и приописании электрического дипольного излучения, с использованием первой формыв выражении для возмущения (16.7) :()e⟨ψd | ri p̂ j + r j p̂i + p̂ j ri + p̂i r j |ψu ⟩ =2()ime⟨ψd | ri Ĥ r j − ri r j Ĥ + r j Ĥ ri − r j ri Ĥ + Ĥ r j ri − r j Ĥri + Ĥri r j − ri Ĥ r j |ψu ⟩ ≡2~()imeime≡⟨ψd | −ri r j Ĥ − r j ri Ĥ + Ĥ r j ri + Ĥri r j |ψu ⟩ = −(Eu − Ed )⟨ψd |ri r j |ψu ⟩ =2~~im= −imeωud ⟨ψd |ri r j |ψu ⟩ ≡ − ωud ⟨ψd |Qij |ψu ⟩ + Gδij ,3ime2ãäåQi j = e(3ri r j − r δij),G=−ωud ⟨ψd |r 2 |ψu ⟩ .3=Здесь Qi j – квадрупольный момент системы.Подставляя получившееся выражение в симметричную часть оператора взаимодействия (16.15) с учётом (13.26), можно записать это взаимодействие в виде1V̂s(2) = −Qij ∂ Êi(0) .6 ∂r j(16.17)Это выражение определяет электрическое квадрупольное излучение.Вычисляя, наконец, матричные элементы (16.8) этих двух слагаемых по состояниям (частица + поле) с учётом (13.26), (13.30), найдём√iωdu 2π~c 2 √(2)Vdu,a = −nkλ + 1 · εkλ mdu ,(16.18а)cωL3√iωdu 2π~c 2 √(2)Vdu,s = −nkλ + 1 · εkλ;i k j Qij,du ,(16.18б)6cωL3При nkλ = 0 эти формулы описывают соответственно магнитное дипольное и электрическое квадрупольное излучение.
Соответствующие скорости переходов, угловыераспределения и интенсивности вычисляются точно так же, как и при выводе формулы для дипольного излучения (16.12). Из окончательного ответа объём L3 выпадает.1 СлагаемоеG из ответа выпало, ибо коэффициент при нём есть δi j ki A j ∝ (k ε) = 0.Глава 16. Испускание и поглощение излучения268Получающийся результат совпадает с результатом классической электродинамики(c учётом видоизменения, обсуждавшегося в конце разд.
16.1.3).По построению ясно, чтоа) чётности состояний u и d должны совпадать (произведение ri p̂ j не меняетзнак при отражении);б) соответствующие скорости переходов в (ka) 2 . α2 раз меньше скоростейэлектрических дипольных переходов (если те возможны). Поэтому такие переходыназывают (однократно) запрещёнными.Иногда оказывается, что обращаются в ноль и матричные элементы, входящиев (16.18). В этом случае приходится учитывать следующие члены разложения экспоненты e i(kr) по (kr).
Принято говорить, что N -му члену разложения экспонентыe i(kr) по (kr) отвечают магнитный мультипольный переход (MN) и электрическиймультипольный переход (E N + 1).В частности, при N = 0 мы имеем электрический дипольный переход (E1), приN = 1 – магнитный дипольный переход (M1) и электрический квадрупольный переход (E2). В следующем за рассмотренным порядке по (k r) (N = 2) в покомпонентной записи возникает тензор ri rk p̂ j .
Как и выше, его удобно разбить на симметричную и антисимметричную части. Антисимметричная часть отвечает за магнитноквадрупольное излучение M2, а симметричная часть за электрическое октупольноеизлучение E3 (дважды запрещённые переходы).По построению ясно, что в отсутствие запретов для спонтанного излученияс частотой ω ∼ ω0 = Ry/~ENE1E1 2(N −1)rud∼ rud(ka) 2(N −1) . rudα,MNE1E1 2Nrud∼ rud(ka) 2N . rudα .(16.19)Иными словами, переходы высокой мультипольности очень маловероятны, это –двукратно, трёхкратно и т.
д. запрещённые переходы. Как и в классической электродинамике, скорости переходов (MN) и (E N + 1) – одного порядка1 .Если свойства симметрии системы таковы, что кажется возможным только сильно запрещённый переход, вероятность реального перехода может оказаться большерассмотренной выше, поскольку более «выгодным» станет процесс c нерезонанснымизлучением пары фотонов (при фиксированной законом сохранения их суммарнойэнергии) за счёт слагаемого e 2 A2 / (2mc 2) в гамильтониане (11.6).§ 16.3.Правила отбора для излученияВ (16.6), (16.12) (16.14) входит матричный элемент электрического дипольногомомента между состояниями u и d в атомной системе.
Для заданного начального состояния u конечное состояние d, достижимое с помощью электрического дипольного перехода, не может быть произвольным. Набор возможных конечных состоянийдля данного начального и соответствующий набор неисчезающих матричных элементов при таких переходах даются правилами отбора для векторных операторов1 Переходы между близко расположенными уровнями, для которых частота излучения ω ≪ ω , до0полнительно подавлены множителями (ω /ω0) 3+2(N −1) или (ω /ω0) 3+2N соответственно. В большинствеслучаев рассмотрение этих переходов лишено смысла в силу их чрезвычайно малой вероятности.16.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
