1612725068-ab00255e9903dcaf7042f91c26c49388 (828990), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Частица находилась в связанном состоянии в поле притяжения V̂ = −G0 δ (x).В момент времени t = 0 яма внезапно углубилась G0 → G1 = G0 + ∆G. Найтивероятность того, что частица останется в яме. Найти распределение по импульсамулетевших частиц.2. Вычислить вероятности переходов в случае удара по осциллятору, т. е. мгновеннойпередачи частице в осцилляторе некоторого импульса.3. Найти вероятности переходов из n-го состоянияA) бесконечно глубокой прямоугольной ямы с шириной 2a;Б) осциллятора с частотой ωпод действием возмущения V(x, t) = −eExf(t) в первом порядке теории возмущений, приняв t0 = −∞, для случаев2а) f(t) = e −(t/τ) ,2τб) f(t) = 2,2(τ + t−t τ )в) f(t) = 1 − e / θ (t),г) f(t) =(e −|t|/τ ,)д) f(t) = e −t/τ1 +b sin(ω1 t)e −t/τ θ (t).
Обсудить частные случаи τ1 = τ , τ1 → ∞.4. Заряженный плоский ротатор находится в состоянии с определённым значением Lz = ~m. Найти вероятности различных значений Lz в электрическом полеEx = f(t)E0 при t → ∞.5. Рассмотреть поведение системы, в которой существенную роль играют 3 уровня1, 2 и 3 с такими частотами переходов ω32 ≡ (E3 − E2) /~, ω21 ≡ (E2 − E1) /~, что|ω32 − ω21 | = ∆ ≪ ω21 , под действием периодического возмущения с частотойω ≈ ω32 ≈ ω21 ≫ ∆ (ср. разд.
15.5.2).6. Получите угловое распределение фотоэффекта, заменяющее (15.29), для неполяризованного света.Глава 16Испускание и поглощениеизлученияМы рассмотрим здесь процессы излучения электромагнитных волн и их поглощения системами, для описания которых достаточно нерелятивистской квантовоймеханики. Выход за рамки этих вопросов – задача квантовой электродинамики.§ 16.1.Излучение и поглощение светаРассмотрим атомную систему с двумя уровнями u и d (Ed < Eu) (состояния |ψu ⟩и |ψd ⟩), которая находится в среде, где плотность энергии электромагнитного данной частоты U(ω) не зависит от направления распространения волны. Обозначимчерез N(u) и N(d) числа атомов в состояниях u и d соответственно.
В этой системепереходы с нижнего на более высокий уровень d → u происходят только под действием внешнего поля (поля излучения), это вынужденные переходы. В то же времяпереходы u → d могут происходить и под действием поля излучения (вынужденныепереходы), и самопроизвольно (спонтанные переходы). Каждый переход сопровождается излучением или поглощением фотона с энергией ~ωud = Eu − Ed , импульскоторого ~k, причём k = ωud /c, и вектор поляризации εkλ .Выполним сначала некоторые оценки на примере излучения в атоме водорода приизменении главного квантового числа n на единицу (nu − nd = 1). Для такого атомахарактерный размер области взаимодействия определяется наименьшим характерным размером для состояния d – радиусом aB n2d , соответствующая характернаяскорость v = cα/nd .
Произведение()( )Eu − Ed111e22α⟨v⟩2ka =a = 1Ry− 2 aB nd ∼·∼∼.2~c~c ndnu2~cndndcЗдесь α ≈ 1/137 – постоянная тонкой структуры, в вычислениях мы использоваливыражения (9.14). Вообще оценкаka . v/c . α ≪ 1(16.1)Глава 16. Испускание и поглощение излучения262справедлива для спонтанного излучения любой системы с нерелятивистским движением частиц.16.1.1. Коэффициенты ЭйнштейнаЭйнштейн предложил записывать соответствующие скорости переходов (числапереходов в секунду) следующим образом.Скорость вынужденных переходов d → u естьrd→ u N(d) = Bdu U(ωud )N(d).(16.2а)Скорость переходов u → d (вынужденных и спонтанных) естьru→ d N(u) = [Aud + Bud U(ωud )] N(u).(16.2б)Введённые здесь коэффициент поглощения Bdu , коэффициент вынужденного испускания Bud и коэффициент спонтанного испускания Aud называют коэффициентамиЭйнштейна.Чтобы найти соотношение между ними, выразим плотность энергии через числофотонов газа излучения (13.31) и запишем отношение скоростей переходов в расчётена один атом:rd→ uBdu nkλ ~ω 3 / (π 2 c 3)=.(16.3)ru→ dAud + Bud nkλ ~ω 3 / (π 2 c 3)В согласии с (4.11), (13.30), для состояния поля с n фотонами данного типаматричный элемент√ излучения, т.
е. добавления ещё одного фотона, домножается√на⟨n + 1|â+ |n⟩ = n + 1, а матричный элемент поглощения – на ⟨n − 1|â|n⟩ = n.Поэтому вероятности излучения и поглощения связаны соотношениемw поглrd→un==.излwru→dn+1Сравнивая с (16.3), получим соотношения Эйнштейна:Bud = Bdu ,Aud =~ω 3· Bud .π2 c 3(16.4)Мы получили, в частности, что коэффициенты вынужденного излучения и поглощения совпадают. Это позволяет далее не выписывать индексы ud и duу коэффициентов Эйнштейна.16.1.2. Вероятность излучения.
Подход ФермиИдея подхода Ферми состоит в том, что скорость поглощения света атомнойсистемой несомненно описывается в подходе разд. 15.6.2, см. (15.26). Из выражениядля этой скорости с помощью (16.4) отыскивается скорость спонтанного излучения.При таком подходе не возникает необходимости использовать аккуратные формулыквантования электромагнитного поля.16.1. Излучение и поглощение света263Итак, пусть на рассматриваемую атомную систему падает достаточно длинныйпакет волн электромагнитного поля, в среднем поляризованных вдоль оси z, с напряжённостью электрического поля E и с частотой ω. Мы рассмотрим переходымежду уровнями u и d атомной системы в поле этого пакета. Считая нашу систему одноэлектронной, запишем возмущение в виде V(t) = eEz cos ωt.
Это частныйслучай периодического возмущения (15.10) с F = eEz/2.Волновой пакет не бывает монохроматическим, его разброс по частотам описывается спектральной плотностью ρ̄(ω). Поэтому выражение для скорости переходовв непрерывный спектр (15.26) применимо с минимальными изменениями для описания u ↔ d переходов в поле этого пакета. В частности, вероятность перехода d → uесть (ср. (15.26))(e 2 E 2 |zud |2·4~2ωud − ω2(ωud − ω) 2)4 sin2tdN ⇒ πte 2 E 2 |zud |2dΩδ (ωud − ω) ρ̄(ω)dω.2~24πПодставляя сюда E 2 = 8π · U , найдёмrd→ u =4π 2 e 2dΩ|zud |2 · U(ωud ).2~4πЗависимость матричного элемента zud от углов определяется множителем cos θ.Усреднение по углам для сферически симметричного распределения электронав атоме даёт поэтому множитель 1/3. Окончательно получаем скорость переходов споглощением падающей (вынуждающей) волны на один атом в состоянии d (вероятность вынужденного излучения за единицу времени на один атом):(1)rd→ u =4π 2 e 2|rud |2 · U(ωud ).3~2(16.5)• Используя теперь (13.31) и (16.4), получим вероятность спонтанного дипольного излучения за единицу времени (скорость излучения) и интенсивностьэтого излучения I(ω) – среднюю энергию, излучаемую за секунду:4e 2 ω 34ω 32|r|≡|dud |2 ,ud3~c 33~c 34e 2 ω 44ω 4I(ω) = r спонт ~ω =|rud |2 ≡ 3 |dud |2 ,33c3cr спонт =(16.6)где d = er – оператор электрического дипольного момента (здесь принято, что ядро расположено в начале координат).
Последние выражения естественнымобразом∑обобщаются на многоэлектронные системы, для которых dud = ei ri,ud .Эти формулы описывают переходы между атомными состояниями, обусловленные взаимодействием внешнего поля с электрическим дипольным моментом атома.Их естественно называют электрическими дипольными переходами.Глава 16. Испускание и поглощение излучения26416.1.3. Излучение света. Квантованные поляТеперь мы опишем излучение света более строгим образом, без обращения к термодинамическим идеям. Это позволит получить полное описание, включая зависимости от углов и поляризаций, которые в подходе Ферми получать трудно. Развитыйметод легко позволяет рассмотреть излучение высших мультиполей.В терминах квантованного электромагнитного поля (разд.
13.3.3) для системыатом + электромагнитное поле излучение – это переход из начального состояния |ψu , nkλ,... ⟩ в конечное состояние |ψd , nkλ + 1, ...⟩. Многоточие отмечает числафотонов с другими k и ελ , которые не меняются в рассматриваемом процессе.В рассматриваемых задачах размер a области движения в состоянии, определённом невозмущённым гамильтонианом, достаточно мал (ka ≪ 1), и в соответствиис (11.10) можно учитывать воздействие поля с излучающей системой как возмущение, линейное по оператору поля (13.25):()eÂ(r) p̂ + p̂Â(r)eV̂ = −− gµB (ŝB̂) ≡ −Â(r) p̂ − gµB (ŝB̂) .(16.7)mc2mcДва выражения для этого оператора эквивалентны в силу (13.28).
Мы употребляем обычно вторую из этих форм, но иногда удобнее использовать первую.Амплитуда вероятности интересующего нас перехода принимает видVdu = ⟨ψd , nkλ + 1, . . . |V̂ |ψu , nkλ , . . .⟩ .(16.8)Главное (дипольное) приближение. Поскольку ka ≪ 1, в экспонентах e ±ikrдля оператора поля (13.25) можно ограничиться только первым членом разложенияпо kr, т. е. положить e ±ikr = 1. В том же приближении отбрасывается и взаимодействие со спином. В итоге в нашем приближенииV̂ = V̂ (1) = −eÂ(0) p̂ .mc(16.9)Теперь интересующий нас матричный элемент сводится к произведению матричного элемента между фотонными состояниями и матричного элемента импульса поневозмущённому гамильтониану.
Полезно преобразовать последний, заметив, чтоˆ По общим правилам ⟨ψ f |p̂|ψi ⟩ = m(i/~) ⟨ψ f |Ĥ r̂ − r̂Ĥ |ψi ⟩. Вспоминая, чтоp̂ = mṙ.Ĥ |ψu ⟩ = Eu |ψu ⟩, Ĥ |ψd ⟩ = Ed |ψd ⟩, получим (i/~)⟨ψd |p̂|ψu ⟩ = −imωud rdu . C учётом(13.26) это отвечает записи оператора взаимодействия в видеV̂ = −d Ê(0) ,d̂ = e r̂ .(16.10)Здесь d̂ – оператордипольного момента атома, для многоэлектронной системы,∑очевидно, d̂ = ea r̂a .aПодставляя теперь в (16.8) выражения (13.26), (13.30), найдём√iωdu 2π~c 2 √nkλ + 1 · εkλ ddu .Vdu = −cωL3(16.11)16.1.
Излучение и поглощение света265Используя (15.26) и (15.24в), найдём теперь вероятность излучения фотонав единицу времени в элемент телесного угла dΩdrkλ =L3 ω 22πL3 d 3 k22|Vdu | δ (~ω − Eu + Ed )=|Vdu | ⇒3~(2π)(2π~) 2 c 33ωdu2⇒ drkλ =|εkλ ddu | (nkλ + 1)dΩ .2π~c 3(16.12)объём L3 из результата выпал, стало быть, ответ применим и для случая неограниченного пространства.В этой формуле слагаемое, пропорциональное nkλ , описывает вынужденное излучение, при nkλ = 0 мы имеем дело со спонтанным излучением. В соответствии с(16.4), поглощение света описывается такой же формулой с заменой nkλ +1 → nkλ .Угловое распределение, поляризация, интенсивность.
При описании вынужденного излучения направления векторов k и ελ задаются источником поля, излучённый свет когерентно складывается с падающим. В этом случае формула (16.12)определяет характер возбуждения дипольного момента и интенсивность излучённого света. Ниже n – единичный вектор, направленный вдоль волнового вектора,θ – полярный угол вылета фотона.При описании спонтанного излучения формула (16.12) по известному типу возбуждения дипольного момента определяет угловое распределение, поляризациюи интенсивность излучения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
