1612725170-9c968fc10e8fee5a326602fe967c8a7f (828895), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

„ ­® ᥬ¥©á⢮ U[0,θ℄ , ¯à®¡­ë¥ ä㭪樨 g1 (t) = t,g2 (t) = t2 .h′ (t)|t=2α22222§3. Œ¥â®¤ ¬ ªá¨¬ «ì­®£® ¯à ¢¤®¯®¤®¡¨ï.”ã­ªæ¨îf (θ) = f (θ, X ) :=nYi=1fθ (Xi ),f (θ) = f (θ, X ) :=nYi=1¢ ¡á®«îâ­® ­¥¯à¥à뢭®¬ á«ãç ¥pθ (Xi ),¢ ¤¨áªà¥â­®¬ á«ãç ¥­ §®¢¥¬ äã­ªæ¨ï ¯à ¢¤®¯®¤®¡¨ï, äã­ªæ¨îL(θ) = L(θ, X ) := ln f (θ)12­ §®¢¥¬ «®£ à¨ä¬¨ç¥áª ï äã­ªæ¨ï ¯à ¢¤®¯®¤®¡¨ï.Žæ¥­ªã θ∗ ­ §®¢¥¬ Ž(業ª®©) Œ( ªá¨¬ «ì­®£®) Ǒ(à ¢¤®¯®¤®¡¨ï),¥á«¨f (θ∗ ) = sup f (θ).θǑਬ¥à 1.Ǒਬ¥à 2.„ ­® ᥬ¥©á⢮ a,σ .„ ­® ᥬ¥©á⢮ α,λ á ¯«®â­®áâìî2γα,λ (t) =αλ λ−1 −αtt e ,(λ )t ≥ 0.’®£¤ äã­ªæ¨ï ¯à ¢¤®¯®¤®¡¨ï ¨¬¥¥â ¢¨¤L(α, λ) = −n ln(λ) + nλ ln α + (λ − 1)…᫨ λ ¨§¢¥áâ­®, â® ®æ¥­ª α∗=nXi=1ln Xi − αnX.λX¥áâì ŽŒǑ ¤«ï ¯ à ¬¥âà α.Ǒਬ¥à 3.

„ ­® ᥬ¥©á⢮ U0,b , ⮣¤ b∗= X(n)|ŽŒǑ ¤«ï ¯ à ¬¥âà b.Ǒਬ¥à 4. „ ­® ᥬ¥©á⢮ Ua,a+1 , ⮣¤ «î¡ ï â®çª ¨§®â१ª [X(n) − 1, X(1) ℄ ¥áâì ŽŒǑ ¤«ï ¯ à ¬¥âà a.Ǒਬ¥à 5.  á¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¥à­ã««¨ á ¯ à ¬¥â஬ p. ”ã­ªæ¨ï ¯à ¢¤®¯®¤®¡¨ï ¨¬¥¥â ¢¨¤L(p) = nX ln p + (n − nX ) ln(1 − p).Ž.¬.¯. ¨¬¥¥â ¢¨¤ p∗ = X .Ǒਬ¥à 6.  á¯à¥¤¥«¥­¨¥ Ǒã áá®­ á ¯ à ¬¥â஬ λ.L(λ) = −nλ + nX − C (X ).Ž.¬.¯. ¨¬¥¥â ¢¨¤ λ∗ = X .§4. ‘à ¢­¥­¨¥ ®æ¥­®ª.13Žæ¥­ª θ1∗ ­¥ åã¥, 祬 ®æ¥­ª θ2∗ , ¥á«¨ d21 (θ ) ≤ d22 (θ )¤«ï ¢á¥å θ ∈ , £¤¥ d2i (θ ) = Eθ (θi∗ − θ )2 | á।­¥ª¢ ¤à â¨ç¥áª®¥®âª«®­¥­¨¥ ®æ¥­ª¨.1.‡ ¬¥â¨¬, çâ®d2 (θ) = Dθ θ∗ + b2 (θ),2.b(θ) := Eθ θ∗ − θ.…᫨ ®æ¥­ª¨ θi∗ ïîâáï €..Ž. á ª®íää¨æ¨¥­â ¬¨ ­®à¬ «ì­®á⨠σi2 (θ ), â® ®æ¥­ª θ1∗ ­¥ åã¥, 祬 ®æ¥­ª θ2∗ , ¥á«¨σ12 (θ) ≤ σ22 (θ) ¤«ï ¢á¥å θ ∈ .Ǒਬ¥à 1.„ ­® ᥬ¥©á⢮ U0,θ .  áᬮâਬ ¤¢¥ ®æ¥­ª¨= X(n) , θ2∗ = 2X.θ1∗(X(n) < t) = θt n , EX(kn) = nnθ+k ¯®í⮬ã Dθ X(kn) =n θnθ(n+1) = (n+2)(n+1)4nθ = θ .d22 (θ) = n4 Dθ Sn = 12n3n‡­ ç¨â2θ 2θ222d1 (θ) =, d 2 (θ ) =,(n + 1)(n + 2)3n¯®í⮬ãd21 (b) ≤ d22 (b).nP2 2k22nθ 2n+2−222§225.

Ǒ®­ï⨥ ãá«®¢­®£® à á¯à¥¤¥«¥­¨ï ¨ ãá«®¢­®£®¬ ⥬ â¨ç¥áª®£® ®¨¤ ­¨ï.Ǒãáâì ¤ ­® ­ ®¤­®¬ ¢¥à®ïâ­®áâ­®¬ ¯à®áâà ­á⢥ (ξ, S ), £¤¥ξ |á«ãç ©­ ï ¢¥«¨ç¨­ , S = (S1 , ..., Sn )|á«ãç ©­ë© ¢¥ªâ®à.  áᬮâਬ ¤¢ ç áâ­ëå á«ãç ï1) ¢¥ªâ®à S ¨¬¥¥â ¤¨áªà¥â­®¥ à á¯à¥¤¥«¥­¨¥.2) ¢¥ªâ®à S ¨¬¥¥â ¡á®«îâ­® ­¥¯à¥à뢭®¥ à á¯à¥¤¥«¥­¨¥.Ž¯à¥¤¥«¨¬ äã­ªæ¨î à á¯à¥¤¥«¥­¨ï: ¢ ¤¨áªà¥â­®¬ á«ãç ¥F (x/y1 , ..., yn ) = P(ξ < x/ S= (y1 , ..., yn)),¢ ¡á®«îâ­® ­¥¯à¥à뢭®¬ á«ãç ¥∂ n P(ξ<x, S <y ,...,Sn<yn )∂y ...∂yn.F (x/ã1 , ..., yn ) =∂ n P(S <y ,...,Sn<yn )11111∂y1 ...∂yn14â® äã­ªæ¨ï à á¯à¥¤¥«¥­¨ï, § ¢¨áïé ï ®â ¯ à ¬¥âà (y1 , ..., yn).Ž¯à¥¤¥«¨¬ á।­¥¥E(ξ/y1, ..., yn) =Z∞−∞xdF (x/y1 , ..., yn ).Ǒ®­ï⨥ ãá«®¢­®£® ¬ ⥬ â¨ç¥áª®£® ®¨¤ ­¨ï:E(ξ/S ) =Z∞xdF (x/y1 , ..., yn )|y1 ,...,yn=(S1 ,...,Sn)−∞’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ãá«®¢­®¥ ¬ ⥬ â¨ç¥áª®¥ ®¨¤ ­¨¥ ¥áâì äã­ªæ¨ï ®â S :E(ξ/S ) = g (S ).‘¢®©á⢠ã.¬.®., ª®â®àë¥ ­ ¬ ¯®­ ¤®¡ïâáï: ‚ᥠ᢮©á⢠¬ ⥬ â¨ç¥áª®£® ®¨¤ ­¨ï, ¨§¢¥áâ­ë¥ ­ ¬, á®åà ­ïîâáï.

Šà®¬¥â®£®,1.EE(ξ/S ) = Eξ.„®ª § ⥫ìá⢮ ¢ ¤¨áªà¥â­®¬ á«ãç ¥.EE(ξ/S ) =Z∞−∞tdXsXg (s)P(S= s) =XZs−∞tdP(ξ < t/S(ξ < t/S = s)P(S = s) =Ps∞2. …᫨ η = η (S ), â®Z∞−∞= s)P(S = s) =tdP(ξ < t) = Eξ.(ηξ/S ) = η E(ξ/S ).„®ª § ⥫ìá⢮ ¢ ¤¨áªà¥â­®¬ á«ãç ¥.EEη (s)3.Z(ηξ/S ) =∞−∞E(ξ/S ))2 /S ).∞−∞tdP(η (S )ξ < t/SttdP(ξ </Sη (s)η (s)(ξ/S ) =DZE= s)|s=S == s)|s=S = η (S )E(ξ/S ).(ξ 2/S ) − (E(ξ/S ))2, £¤¥(ξ/S ) :=DǑ® ®¯à¥¤¥«¥­¨î,(ξ/S ) := E((ξ − E(ξ/S ))2/S ),D15E((ξ −¤ «¥¥|¯®­ïâ­®.4. „«ï «î¡®© ä㭪樨 η = η (S ) ¢ë¯®«­ï¥âáïE(ξ − η (S ))2 ≥ E(ξ − E(ξ/S ))2 = ED(ξ/S ).„®ª § ⥫ìá⢮.E((ξ − η (S ))2 /S ) = E((ξ )2 /S ) − 2η (S )E(ξ/S ) + E(η 2(S )/S ) =((ξ )2/S ) − 2η (S )E(ξ/S )+ η 2(S ) ≥ E((ξ − E(ξ/S ))2/S ) := D(ξ/S ),¯®í⮬ãEE(ξ − η (S ))2 = EE((ξ − η (S ))2 /S ) ≥ ED(ξ/S ).Ǒਬ¥à 1.(X1 /X ) = X.„®ª § ⥫ìá⢮.

Žç¥¢¨¤­®, çâ®EE(X1 /X ) = E(X2 /X ) = ... = E(Xn/X ),â ª çâ®E1(X1 /X ) = (E(X1 /X )+...+E(Xn /X )) = E(X/X ) = X E(1/X ) = X.n§6.  ©¥á®¢áª¨© ¯®¤å®¤ ª ®æ¥­¨¢ ­¨î ¯ à ¬¥â஢.1.  ©¥á®¢áª¨© ¯®¤å®¤. Ǒãáâì ­¥¨§¢¥áâ­ë© ¯ à ¬¥âà θ á«ãç ¥­ á ¯à¨®à­ë¬ à á¯à¥¤¥«¥­¨¥¬ Q á ¯«®â­®áâìî q (t) ®â­®á¨â¥«ì­® ¬¥àë λ(dt). ã¤¥¬ ­ §ë¢ âì ®æ¥­ªã θB∗ ¡ ©¥á®¢áª®©®æ¥­ª®© ¯ à ¬¥âà θ (¯à¨ ¯à¨®à­®¬ à á¯à¥¤¥«¥­¨¨ Q), ¥á«¨¤«ï «î¡®© ¤à㣮© ®æ¥­ª¨ θ∗ = θ∗ (X ) ¢ë¯®«­ï¥âáï2E(θ −θ )∗=Z2Et (θ −t) q (t)λ(dt) ≥∗ZEt(θB∗ −t)2 q (t)λ(dt) = E(θB∗ −θ)2 .€¯®áâ¥à¨®à­®© ¯«®â­®áâìî θ ­ §ë¢ îâ äã­ªæ¨î1q (t/x1 , ..., xn ) =ft (x1 )...ft (xn )q (t),c(x1 , ..., xn )£¤¥ äã­ªæ¨ï c(x1 , ..., xn ) â ª®¢ , çâ®Zq (t/x1 , ..., xn )λ(dt) = 1.16’®£¤ E(θ/ X ) =Ztq (t/X1 , ..., Xn )λ(dt)|ãá«®¢­®¥ ¬ ⥬ â¨ç¥áª®¥ ®¨¤ ­¨¥ á«ãç ©­®© ¢¥«¨ç¨­ë θ®â­®á¨â¥«ì­® S = X = (X1 , ..., Xn ).’¥®à¥¬ 1.

„«ï «î¡®© ®æ¥­ª¨2E(θ − θ )∗Z=ZEtθ∗ ¢¥à­®(θ∗ − t)2 q (t)λ(dt) ≥( (θ/X ) − t)2 q (t)λ(dt) = E(E(θ/X ) − θ)2 = ED(θ/X ).Et E’ ª¨¬ ®¡à §®¬,θB∗= E(θ/X ).Ǒਠí⮬ZEt(θB∗ − t)2 q (t)λ(dt) = ED(θ/X ),¥áâì á।­¥¥ ¤¨á¯¥àᨨ á«ãç ©­®© ¢¥«¨ç¨­ë­®áâìî q (t/x1 , ..., xn ).θ(x1 , ..., xn ) á ¯«®â-„®ª § ⥫ìá⢮ á«¥¤ã¥â ¨§ ᢮©á⢠4 ãá«®¢­®£® ¬ ⥬ â¨ç¥áª®£® ®¨¤ ­¨ï.Ǒਬ¥à 1.

X1 |­®à¬ «ì­ ï á.¢. á® á।­¨¬ a ¨ ¥¤¨­¨ç­®©¤¨á¯¥àᨥ©, a|­®à¬ «ì­ ï á.¢. á® á।­¨¬ 0 ¨ ¤¨á¯¥àᨥ© σ2 .’®£¤ ¯®áâ¥à¨®à­ ï ¯«®â­®áâì q (t/X ) ª ª äã­ªæ¨ï à£ã¬¥­â t ¯à®¯®à樮­ «ì­ ä㭪樨exp(−Ǒ®áª®«ìªã−t2−2σt2−2σn1X(X − t)2 ).2 i=1 int21X(Xi − t)2 = − (1/σ2 + n) + Xnt + h1 (X ) =2 i=12−1Xn)2 + h1 (X ),(1/σ2 + n)(t −21/σ2 + n17â® ¯®áâ¥à¨®à­ ï ¯«®â­®áâì q (t/ X ) ¥áâì ¯«®â­®áâì ­®à¬ «ì­®£® § ª®­ á® á।­¨¬ 1/σXn+n ¨ á ª ª®©â® ¤¨á¯¥àᨥ©. ‡­ ç¨â,2E(a/X ) =Xn1/σ2 + n=X.1 + 1/(nσ2 )¢¥«¨ç¨­ á à ¢­®¬¥à­ë¬­ ®â१ª¥ [0, 1℄ à á¯à¥¤¥«¥­¨¥¬.

’®£¤ ¤«ï α := 1 + nX , β :=1 + n(1 − X )Ǒਬ¥à 2.Xi ∈ Bp , p|á«ãç ©­ ïq (t/X1 , · · · , Xn ) =(α + β ) α−1t (1 − t)β−1 ,(α) (β )¯à¨ t ∈ [0, 1℄.Ǒ®í⮬ãE(p/X ) =Z 10t(α + β ) α−1t (1 − t)β−1 dt =(α) (β )(α + β + 1) α(α + 1) (β ) (α + β )t (1 − t)β−1 dt=(α + 1) (β )(α + β + 1) (α) (β )0(α + 1) (α + β )(α + 1) (β ) (α + β )==(α + β + 1) (α) (β )(α + β + 1) (α)α (α)α(α + β )1 + nX=.=(α + β ) (α + β ) (α)α+β2+n2. Œ¨­¨¬ ªá­ë¥ ¯®¤å®¤ (⮫쪮 ®¯à¥¤¥«¥­¨¥). ã¤¥¬ ­ §ë¢ âì ®æ¥­ªã θ∗ ¬¨­¨¬ ªá­®©, ¥á«¨ ¢ë¯®«­ï¥âáïZ 1tsup Et(θ∗ − t)2 ≤ sup Et(θ∗ − t)2t∈t∈¤«ï «î¡®© ¤à㣮© ®æ¥­ª¨ θ∗ .§7.

„®áâ â®ç­ë¥ áâ â¨á⨪¨. Ǒ®«­ë¥ áâ â¨á⨪¨.ä䥪⨢­ë¥ ®æ¥­ª¨.‘â â¨á⨪ S = S (X ) ­ §ë¢ ¥âáï ¤®áâ â®ç­®© áâ â¨á⨪®©,¥á«¨ ãá«®¢­®¥ à á¯à¥¤¥«¥­¨¥Pθ(X ∈ A/S )18­¥ § ¢¨á¨â ®â θ.S (X )á⨪ ¡ë(¥©¬ ­ -”¨è¥à )„«ï ⮣®, ç⮡ë áâ â¨¡ë« ¤®áâ â®ç­®©, ­¥®¡å®¤¨¬® ¨ ¤®áâ â®ç­®, çâ®-’¥®à¥¬ 1.nY1fθ (xi ) = ψ (S (x1 , ..., xn ), θ)h(x1 , ..., xn ).„®ª § ⥫ìá⢮|⮫쪮 ¤®áâ â®ç­®áâì, ¨ ⮫쪮 ¢ ¤¨áªà¥â­®¬á«ãç ¥.Pθ (X = (x1 , ..., xn ), S (X ) = s)Pθ (X = (x1 , ..., xn )/S (X ) = s) ==Pθ (S (X ) = s)Pθ (X = (x1 , ..., xn ))I{S (x ,...,xn)=s}Pθ (S (X ) = s)‚ ᨫã ä ªâ®à¨§ 樨Pθ (X = (x1 , ..., xn ))I{S (x ,...,xn )=s} = ψ (s, θ )h(x1 , ..., xn ),Pθ (S (X ) = s) =XXPθ (S (X ) = s, X = (y1 , ..., yn )) =ψ (s, θ)h(y1 , ..., yn ).11(y1 ,...,yn)S ((y1 ,...,yn ))=sǑ®í⮬ãPθ(X = (x1 , ..., xn )/S (X ) = s) =­¥ § ¢¨á¨â ®â θ.Ǒਬ¥à 2.

a,σ .Ǒਬ¥à 3. U0,b .Ǒਬ¥à 4. λ .ǑãáâìI{S (x1 ,...,xn)=s} h(x1 , ..., xn )S ((y1 ,...,yn))=s h(y1 , ..., yn )P2= {θ∗ : Eθ θ∗ = θ + b(θ)}|ª« áá ®æ¥­®ª ᮠᬥ饭¨¥¬ b(θ).  ¯à¨¬¥à, K0 |ª« áá ­¥á¬¥é¥­­ëå ®æ¥­®ª. Žæ¥­ª θ∗ ∈ Kb ­ §ë¢ ¥âáï íä䥪⨢­®©¢ ª« áᥠKb , ¥á«¨ ¤«ï «î¡®© ¤à㣮© ®æ¥­ª¨ θ∗∗ ∈ Kb ¢¥à­®∗2∗∗2Eθ (θ − θ ) ≤ Eθ (θ − θ ) .‹¥¬¬ 1.

Ǒãáâì b(θ ) = cθ |«¨­¥©­ ï äã­ªæ¨ï, ¨ ®æ¥­ª θ ∗1 θ∗ï¥âáï íä䥪⨢­®© ¢ ª« áᥠKb . ’®£¤ ®æ¥­ª θ1∗ = 1+áKb«¥¨â ¢ ª« áá¥K0 ¨ ï¥âáï íä䥪⨢­®© ¢ í⮬ ª« áá¥.19„®ª § ⥫ìá⢮. Ž¡®§­ 稬 ¤«ï θ1∗∗ ∈ K0 ®æ¥­ªã θ∗∗ = (1 +c)θ1∗∗ ∈ Kcθ ’®£¤ (1 + c)2 Eθ (θ1∗ − θ)2 = Eθ (θ∗ − (1 + c)θ)2 = Eθ (θ∗ − θ)2 + R(θ),(1 + c)2 Eθ (θ1∗∗ − θ)2 = Eθ (θ∗∗ − (1 + c)θ)2 = Eθ (θ∗∗ − θ)2 + R(θ),£¤¥ äã­ªæ¨ï R(θ) ­¥ § ¢¨á¨â ®â ®æ¥­ª¨ ¨ ¨§¢¥á⭠® (­ ©â¨).S | ¤®áâ â®ç­ ï áâ â¨á⨪ , θ∗ ∈ Kb .Eθ (θ /S ) ¥áâì ®æ¥­ª (­¥ § ¢¨á¨â ®â θ ) ¨ ¤«ï’¥®à¥¬ 2. Ǒãáâ쒮£¤ ¤«ï=¢á¥å θ ∈ á¯à ¢¥¤«¨¢®θS∗∗1. θS∗ ∈ Kb ,2. θS∗ ¥áâì äã­ªæ¨ï ®â S ,3.

Eθ (θS∗ − θ)2 ≤ Eθ (θ∗ − θ)2‡ ¬¥ç ­¨¥ 1. ‚ ¯ 3 à ¢¥­á⢮ ¢®§¬®­® ⮣¤ ¨ ¨ ⮫쪮⮣¤ , ª®£¤ Pθ (θ ∗ = θS∗ ) = 1 ¤«ï ¢á¥å θ ∈ .„®ª § ⥫ìá⢮. Ǒ¥à¢ë¥ ¤¢ ᢮©á⢠®ç¥¢¨¤­ë.Eθ(θ∗ − θ)2 = Eθ (θS∗ − θ + θ∗ − θS∗ )2 =(θS∗ − θ)2 + Eθ (θ∗ − θS )2 + 2Eθ (θS∗ − θ)(θ∗ − θS∗ ).Ǒ®áª®«ìªãEθEθEθâ®(θS∗ − θ)(θ∗ − θS∗ ) = Eθ Eθ ((θS∗ − θ)(θ∗ − θS∗ )|S ) =(θS∗ − θ)Eθ ((θ∗ − θS∗ )|S ) = Eθ (θS∗ − θ)(θS∗ − θS∗ ) = 0,(θ∗ − θ)2 = Eθ (θS∗ − θ)2 + Eθ (θ∗ − θS )2 ,¨ ᢮©á⢮ 3 ¤®ª § ­®.‘â â¨á⨪ S (X ) ­ §ë¢ ¥âáï ¯®«­®© ¤«ï ᥬ¥©á⢠{Fθ ; θ ∈}, ¥á«¨ ¤«ï «î¡®© ¨§¬¥à¨¬®© ä㭪樨 g (S ) ¨§ à ¢¥­á⢠Eθ g (S ) ≡0 ¤«ï ¢á¥å θ ∈ á«¥¤ã¥â Pθ (g (S ) = 0) ≡ 1 ¤«ï ¢á¥å θ ∈ .‹¥¬¬ 2. …᫨ áâ â¨á⨪ S = S (X ) ï¥âáï ¯®«­®©, ⮤«ï ¤¢ãå ®æ¥­®ª θi∗ = fi (S ) ∈ Kbi , i = 1, 2 ¨§ à ¢¥­á⢠ᬥ饭¨©b1 (θ) ≡ b2 (θ) á«¥¤ã¥â à ¢¥­á⢮ ®æ¥­®ª Pθ (θ1∗ = θ2∗ ) ≡ 1.„®ª § ⥫ìá⢮ ®ç¥¢¨¤­®.Eθ’¥®à¥¬ 3.

Ǒãáâì∗θ ∈ Kb . ’®£¤ ®æ¥­ª ¢ Kb .θS∗=S | ¯®«­ ï ¤®áâ â®ç­ ï áâ â¨á⨪ ,Eθ (θ ∗ /S )| ¥¤¨­á⢥­­ ï íä䥪⨢­ ï20„®ª § ⥫ìá⢮. Ǒãáâì θ∗ , θ∗∗ ∈ Kb | ¤¢¥ íä䥪⨢­ë¥ áâ â¨á⨪¨ ¢ ª« áᥠKb . ‚ ᨫã ⥮६ë 2θ∗= θS∗ , θ∗∗ = θS∗∗ .‚ ᨫ㠫¥¬¬ë 2 ®­¨ ᮢ¯ ¤ îâ.„®ª ¥¬, çâ® θS∗ |íä䥪⨢­ ï ®æ¥­ª . Ǒãáâì θ∗∗ ∈ Kb . ’®£¤ ¯® ⥮६¥ 2 θS∗∗ ∈ Kb , ¨ ¢ ᨫ㠫¥¬¬ë 2 θS∗∗ = θS∗ .

’®£¤ ¯®â¥®à¥¬¥ 2Eθ(θS∗ − θ)2 = Eθ (θS∗∗ − θ)2 ≤ Eθ (θ∗∗ − θ)2 .’¥®à¥¬ 3 ¤®ª § ­ .Ǒਬ¥àë.1. X1 ∈ a,1 , S = nX |¯®«­ ï ¤®áâ â®ç­ ï áâ â¨á⨪ |á¬,§ ¤ çã 11.2.2. X1 ∈ Eα S = nX |¯®«­ ï ¤®áâ â®ç­ ï áâ â¨á⨪ |á¬.áâà 19.3. X1 ∈ U0,θ S = X(n) |¯®«­ ï ¤®áâ â®ç­ ï áâ â¨á⨪ |¤®ª § âì á ¬®áâ®ï⥫쭮.§8. ¥à ¢¥­á⢮  ®-Šà ¬¥à . R-íä䥪⨢­ë¥ ®æ¥­ª¨. ¯®¬­¨¬ ®¡®§­ 祭¨ï:l(θ) = l(X1 , θ) := ln fθ (X1 ),L(θ) = L(X, θ) :=a(θ) = Eθ θ∗nXk =1l(Xi , θ),= θ + b(θ), θ ∈ ,£¤¥ |¨­â¥à¢ « ­ ¢¥é¥á⢥­­®© ®á¨.“á«®¢¨¥q(R).

”ã­ªæ¨ï fθ (x) ¤«ï ¯.¢. §­ 祭¨© x ­¥¯à¥à뢭® ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ¯®θ ¨ ¨­ä®à¬ æ¨ï ”¨è¥à I (θ) = Eθ (l′ (X1 , θ))2(2)θ ∈ .(¥à ¢¥­á⢮  ®-Šà ¬¥à ) …᫨ θ∗ ∈ Kb , Eθ (θ∗ )2 ≤ª®­¥ç­ , ¯®«®¨â¥«ì­ ¨ ­¥¯à¥à뢭 ¯®’¥®à¥¬ 1.c < ∞, ¨ ¢ë¯®«­¥­ë âà¨ à ¢¥­á⢠(à ¢¥­á⢮ (5) á«¥¤ã¥â ¨§(4))21Eθ θ∗L′ (θ) = a′ (θ),(θ) = 0,′2Eθ (L (θ )) = nI (θ ),′Eθ Lâ®Dθ θ…᫨θ∗= const ¨«¨ ¥á«¨∗≥(3)(4)(5)(1 + b′ (θ))2.nI (θ)L(X, θ) = θ∗ A(θ) + B (θ) + h(X ),â® ¢ ­¥à ¢¥­á⢥  ®-Šà ¬¥à ¤®á⨣ ¥âáï à ¢¥­á⢮.„®ª § ⥫ìá⢮.

“¬­® ï (4) ­ a(θ) ¨ ¢ëç¨â ï ¥£® ¨§ (3),¯®«ã稬a′ (θ) = Eθ (θ∗ − a(θ))L′ (θ).¥à ¢¥­á⢮ Š®è¨ ¤ ¥â:(a′ (θ))2 ≤ Eθ (θ∗ − a(θ))2 Eθ (L′ (θ))2 .¥à ¢¥­á⢮  ®-Šà ¬¥à ¤®ª § ­®.…᫨ ¥L(X, θ) = θ∗ A(θ) + B (θ) + h(X ),â®L′ (X, θ) = θ∗ A′ (θ) + B ′ (θ),®âªã¤ ¢ ᨫã ⮣®, çâ®′Eθ Lá«¥¤ã¥â, çâ®(X, θ) = 0, B ′ (θ) = −a(θ)A′ (θ),L′ (X, θ) = (θ∗ − a(θ))A′ (θ).Žâáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® ¢ ­¥à ¢¥­á⢥ Š®è¨ ¢ë¯®«­ï¥âáï à ¢¥­á⢮. ‡­ ç¨â, ¨ ¢ ­¥à ¢¥­á⢥  ®-Šà ¬¥à ¢ë¯®«­ï¥âáï à ¢¥­á⢮. ’¥®à¥¬ ¤®ª § ­ .‡ ¬¥ç ­¨¥.¡/¤ …᫨ θ∗ ∈ Kb , ¢ë¯®«­¥­® ãá«®¢¨¥ (R) ¨Eθ (θ ∗ )2 ≤ c < ∞, â® à ¢¥­á⢠(3)|(5) ¨¬¥îâ ¬¥áâ®.22Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥. Žæ¥­ª θ∗ ∈ Kb ­ §ë¢ ¥âáï R-íä䥪⨢­®©,¥á«¨ ¤«ï ­¥¥ ¢ ­¥à ¢¥­á⢥  ®-Šà ¬¥à ¤®á⨣ ¥âáï à ¢¥­á⢮:Dθ θ∗=22Eθ (θ − θ ) − b (θ )∗â.¥.Eθ(θ∗ − θ)2 =(1 + b′ (θ))2=,nI (θ)(1 + b′ (θ))2 2+ b (θ).nI (θ)Ǒãáâì X ¨§ α,1 .

“á«®¢¨¥ (R) ¢ ¬­®¥á⢥ =(δ, ∞) ¯à¨ δ > 0 ¢ë¯®«­¥­®.0. Š ª ¯à®¢¥à¨âì ¯®«­®âã áâ â¨á⨪¨ S (X ) = nX ? â á«ãç ©­ ï ¢¥«¨ç¨­ ¨¬¥¥â à á¯à¥¤¥«¥­¨¥ α,n, ¯®í⮬ã ᢮©á⢮¯®«­®âë ¢ë⥪ ¥â ¨§ â ª®£® ä ªâ : ¥á«¨ ¤«ï ­¥ª®â®à®£® ¨­â¥à¢ « (a, b) ∈ (0, ∞) ¤«ï ¢á¥å α ∈ (a, b)Ǒਬ¥à 1.g^(α) :=Z∞0e−αx g (x)dx = 0,g (x) = 0 ¤«ï ¢á¥å x ≥ 0.„®ª ¥¬ íâ®. Ǒãáâì α0 ∈ (a, b)|䨪á¨à®¢ ­­ ï â®çª .⮧­ 稬f (x) := e−α0 x g (x),Ž¡®-f+ (x) := e−α0 x g+ (x),f− (x) := e−α0 x g− (x), g+ (x) := g (x)I{g(x)≥0} , g− (x) := −g (x)I{g(x)<0} ,â ª çâ® f (x) = f+ (x) − f− (x).

”㭪樨 f+ (x), f− (x) ­¥®âà¨æ ⥫ì­ë ¨ ¤«ï ­¨åc :=Z0∞f+ (x)dx =Z∞0f− (x)dx.Ǒ®í⮬ã ä㭪樨 p± (x) := 1c f± (x) ïîâáï ¯«®â­®áâﬨ. ‚ ᨫã ãá«®¢¨ï g^(α) = 0 ¯à¨ α ∈ (a, b) ­ «¨â¨ç¥áª ï äã­ªæ¨ï g^(α +iβ ) ¢ ¯®«®á¥ α ∈ (a, b) ⮤¥á⢥­­®à ¢­ 0. Râ® ®§­ ç ¥â, çâ®R ∞ iβxå à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨¥ ä㭪樨 0 e p+ (x)dx, 0∞ eiβx p− (x)dx ᮢ¯ ¤ îâ. ‡­ ç¨â, ᮢ¯ ¤ îâ ¨ à á¯à¥¤¥«¥­¨ï, ®â¢¥ç î騥 í⨬å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨¬ äã­ªæ¨ï¬.

Характеристики

Список файлов лекций