1612725170-9c968fc10e8fee5a326602fe967c8a7f (828895), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

‚롥६r0 = −∞ < r1 < r2 < ... < rk = ∞, £¤ª k ≤ N , â ª¨¬ ®¡à §®¬,çâ® ¤«ï «î¡®£® x ∈ (ri , ri+1 ℄ ¢ë¯®«­ï¥âáïF (ri +0)+ε ≥ F (x) ≥ F (ri+1 )−ε, −Fn∗ (ri +0) ≥ −Fn∗ (x) ≥ −Fn∗ (ri+1 ).’®£¤ ¤«ï í⮣® ¥ xF (x) −Fn∗ (x) ≤ F (ri +0)+ ε−Fn∗ (ri +0) ≤ |F (ri +0) −Fn∗ (ri +0)| + ε,F (x) − Fn∗ (x) ≥ F (ri+1 ) − ε − Fn∗ (ri+1 ) ≥ −|F (ri+1 ) − Fn∗ (ri+1 )| − ε,3â ª çâ®|Fn∗ (x) − F (x)| ≤ |Fn∗ (ri+1 ) − F (ri+1 )| + |Fn∗ (ri + 0) − F (ri + 0)| + ε.Ǒ®í⮬㠢¥à­®max 1 |Fn∗(ri )−F (ri )|+1≤i≤k−max 1 |Fn∗(ri +0)−F (ri +0)|+ε.sup |Fn∗ (x)−F (x)| ≤ 1≤i≤k−−∞<x<∞Žáâ ¥âáï ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï «¥¬¬®© 2.§3. ‚ë¡®à®ç­ë¥ å à ªâ¥à¨á⨪¨.

„¢ ⨯ áâ â¨á⨪.n1Xg (X ) =g (Xi ).n i=1Xk=n1Xn i=1Xik|¢ë¡®à®ç­ë© ­ ç «ì­ë© ¬®¬¥­â,n1X1X =X =Xin i=1|¢ë¡®à®ç­®¥ á।­¥¥,k(X − X ) =n1Xn i=1(Xi − X )k|¢ë¡®à®ç­ë© 業âà «ì­ë© ¬®¬¥­â,n21X(Xi − X )2 = X 2 − (X )2s 2 = (X − X ) =n i=1|¢ë¡®à®ç­ ï ¤¨á¯¥àá¨ï,s20=n 2s ,n−12Es 0= DX1 ,|­¥á¬¥é¥­­ ï ¢ë¡®à®ç­ ï ¤¨á¯¥àá¨ï.Ǒãáâì áâ â¨á⨪ S (X ) ®¯à¥¤¥«¥­ ᮮ⭮襭¨¥¬S (X ) = G(Fn∗ ),£¤¥ G(F )|ä㭪樮­ «, ®â®¡à î騩 ä.à.

¢ R.4‘â â¨á⨪ ⨯ I:ZG(F ) = h( g (t)dF (t)) h(t)äã­ªæ¨ï, ­¥¯à¥à뢭 ï ¢ â®çª¥ a0 = Eg (X1), X1 ∈ F0 .‡ ¬¥â¨¬, çâ®S (X ) = G(Fn∗ ) = h(n1Xn k=1g (Xk )).‘â â¨á⨪ ⨯ II: G(F ) ­¥¯à¥à뢭 ¢ "â®çª¥" F = F0 ¢à ¢­®¬¥à­®© ¬¥âਪ¥.∗’¥®à¥¬ . Ǒãáâì S (X ) = G(Fn )| áâ â¨á⨪ I ¨«¨ II ⨯ . …᫨X1 ∈ F0 , â® ¯à¨ n → ∞S (X ) = G(Fn∗ ) → G(F0 )§¯.­.4. ’¥®à¥¬ë ­¥¯à¥à뢭®áâ¨h = h(t)|­¥¯à¥à뢭 ï äã­ªæ¨ï.

’®£¤ :ηn → η á ¢¥à®ïâ­®áâìî 1, ⮒¥®à¥¬ 1. Ǒãáâìa) ¥á«¨h(ηn ) → h(η )á ¢¥à®ïâ­®áâìî 1;b) ¥á«¨ ηn → η ¯® ¢¥à®ïâ­®áâ¨, â®h(ηn ) → h(η )¯® ¢¥à®ïâ­®áâ¨;á) ¥á«¨ ηn → η á« ¡®, â®h(ηn ) → h(η )á« ¡®.„®ª § ⥫ìá⢮. ‘室¨¬®áâì ¯.­. ®ç¥¢¨¤­ . „«ï ¤®ª § ⥫ìá⢠á室¨¬®á⨠¯® ¢¥à®ïâ­®á⨠¤«ï «î¡®£® ε > 0 ¢ë¡¥à¥¬ª®¬¯ ªâ K ∈ R1 â ª®©, çâ® P(η ∈ K ) ≥ 1 −ε.  í⮬ ª®¬¯ ªâ¥äã­ªæ¨ï h à ¢­®¬¥à­® ­¥¯à¥àë­ , ¯®í⮬㠤«ï «î¡®£® δ > 0­ ©¤¥âáï α > 0 â ª®¥, çâ®{|ηn − η| ≤ α} ∩ {η ∈ K} ⊆ {|h(ηn ) − h(η )| ≤ δ}.5Ǒ®í⮬ã, ¢ ᨫã(A ∩ B ) = P(A) + P(B ) − P(A ∪ B ) ≥ P(A) + P(B ) − 1P¨¬¥¥¬(|h(ηn ) − h(η )| ≤ δ ) ≥ P({|ηn − η| ≤ α} ∩ {η ∈ K}) ≥P(|ηn − η| ≤ α) + P(η ∈ K ) − 1 ≥1 − ε + P(|ηn − η| ≤ α) − 1 = P(|ηn − η| ≤ α) − ε.‘室¨¬®áâì ¯® ¢¥à®ïâ­®á⨠¤®ª § ­ .„«ï ¤®ª § ⥫ìá⢠᫠¡®© á室¨¬®á⨠¤®áâ â®ç­® ã¡¥¤¨âìáï, çâ® ¤«ï «î¡®© ­¥¯à¥à뢭®© ®£à ­¨ç¥­­®© ä㭪樨 f (t) á¯à ¢¥¤«¨¢®lim Ef (h(ηn)) = Ef (h(η )).n→∞P® äã­ªæ¨ï g (t) = f (h(t)) ⮥ ­¥¯à¥à뢭 ¨ ®£à ­¨ç¥­ , ¯®í⮬㠨§ á« ¡®© á室¨¬®á⨠᫥¤ã¥âlim Eg (ηn) = Eg (η ) = Ef (h(η )).lim Ef (h(ηn)) = n→∞n→∞’¥®à¥¬ ¤®ª § ­ .h = h(t)|­¥¯à¥à뢭 ï äã­ªæ¨ï, ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ï ¢ â®çª¥ a.

’®£¤ ¤«ï bn → 0a) ¥á«¨ ηn → η á ¢¥à®ïâ­®áâìî 1, ⮒¥®à¥¬ 2. Ǒãáâìh(a + bn ηn ) − h(a)→ ηh′ (a)bná ¢¥à®ïâ­®áâìî 1;b) ¥á«¨ ηn → η ¯® ¢¥à®ïâ­®áâ¨, â®h(a + bn ηn ) − h(a)→ ηh′ (a)bn¯® ¢¥à®ïâ­®áâ¨;á) ¥á«¨ ηn → η á« ¡®, â®h(a + bn ηn ) − h(a)→ ηh′ (a)bná« ¡®.6„®ª § ⥫ìá⢮. Ǒãáâì äã­ªæ¨ï H (x) = h(a+xx)−h(a) , ¥á«¨x=6 0, H (0) = h′ (a). â® ­¥¯à¥à뢭 ï äã­ªæ¨ï, ¨ ¢ ᨫã ⮣®,çâ® ¯à¨ bn → 0 ¢ë¯®«­ï¥âáï ηn bn → 0 (¢ ­ã­®¬ ­ ¬ á¬ëá«¥)á«¥¤ã¥â ¢ ᨫã ⥮६ë 1, çâ®H (ηn bn ) → h′ (a)¢ ­ã­®¬ ­ ¬ á¬ëá«¥.

Ǒ®í⮬㠨¬¥¥¬ á室¨¬®áâì (¢ ­ã­®¬­ ¬ á¬ëá«¥)h(a + bn ηn ) − h(a)bn= ηn H (ηn bn ) → ηh′ (a).‘«¥¤á⢨¥. ǑãáâìS (X ) = h(n1Xn i=1g (Xi ))|áâ â¨á⨪ I ⨯ , £¤¥ äã­ªæ¨ï h(t) ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ¢â®çª¥ a = Eg (X1 ), h′ (a) 6= 0, Eg 2 (X1 ) < ∞ . ’®£¤ √n(S (X ) − h(a))á« ¡® á室¨âáï ª ­®à¬ «ì­®© á.¢. á ¯ à ¬¥âà ¬¨(0, (h′ (a))2 Dg (X1)).„®ª § ⥫ìá⢮. „«ïηn¨¬¥¥¬1=√nX1(g (Xk ) − a), bn = √ ,n k=11S (X ) = h(a + bn [ √nnXn i=1(g (Xi) − a)℄) = h(a + bn ηn ).Ǒ®áª®«ìªã ηn á« ¡® á室¨âáï ª ­®à¬ «ì­®¬ã § ª®­ã á ¯ à ¬¥âà ¬¨ (0, Dg (X1)), â® ¯® ¢â®à®© ⥮६¥ ­¥¯à¥à뢭®áâ¨√n(S (X ) − h(a)) =h(a + bn ηn ) − h(a)bná« ¡® á室¨âáï ª ª ­®à¬ «ì­®© á.¢. á ¯ à ¬¥âà ¬¨ (0, (h′ (a))2 Dg (X1 )).7√n(X − EX1 ) á室¨âáï á« ¡® ª (0, DX ) .„®ª § ⥫ìá⢮.

Ǒãáâì h(t) = t, g (u) = u, a = EX1 . ’®£¤ Ǒਬ¥à 1.√n(X − EX1 ) =√1n(S (X ) − h(a)) → (0, (h′ (a))2 Dg(X1 ))= (0, DX ) .1Ǒãáâì E|X1|4 < ∞.’®£¤ n(s2 − DX1 ) á室¨âáï á« ¡® ª (0, D(X −X ) ) .„®ª § ⥫ìá⢮. ‚®á¯®«ì§ã¥¬áï ä®à¬ã«®©Ǒਬ¥à 2.√1s2’®£¤ √2= (X − b)2 − (X − b)2 , b = EX1 .1n(X − b)21=√ (nPni=1(Xi − b)√n)2 → 0 ¯® ¢¥à®ïâ­®áâ¨î„«ï ®æ¥­¨¢ ­¨ï (X − b)2 § ¬¥â¨¬, çâ®S (X ) = (X − b)2n1X= h(a +n i=1£¤¥ h(t) = t, g (u) = (u − b)2 , a =b := EX1 , bn := √1n . ¯®í⮬ã√n(S (X )−DX1 ) =DX1, ηn :=√1nPni=1(Xi − b)2 ,h(a + bn ηn ) − h(a)→ (0, (h′ (a))2 Dg(X1 )bn’¥®à¥¬ 3. Ǒãáâì4-å ãá«®¢¨©1)g (Xi )) = h(a + bn ηn ),ηn → η á« ¡®. Ǒãáâì ¢ë¯®«­¥­® ®¤­® ¨§lim lim sup E(|ηn|; |ηn | > N ) = 0,N →∞= (0, D(X −b) ) .n→∞2)lim lim supN →∞n→∞Z∞N(|ηn| > x)dx = 0,P3)(|ηn| > x) ≤ f (x),P4)8Z0∞f (x)dx < ∞,12E|ηn |’®£¤ 5)1+δ < C¤«ï ­¥ª®â®à®£®Eηnδ > 0.→ Eη.ξ ≥ 0.

’®£¤ Eξ < ∞ ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ ,ª®£¤ 0 P(ξ ≥ x)dx < ∞. Ǒਠí⮬‹¥¬¬ . ǑãáâìZMNR∞(ξ ≥ x)dx = M P(ξ ≥ M ) − N P(ξ ≥ N ) + E(ξ ; N ≤ ξ ≤ M ),P¨lim N P(ξ ≥ N ) = 0.N →∞Ǒ®í⮬ãEξ=Z∞0(ξ ≥ x)dx.P„®ª ⥫ìá⢮. Žç¥¢¨¤­®, çâ®M P(ξ ≥ M ) ≤ E(ξ : ξ ≥ M ).. Ǒã᪠© Eξ < ∞. ’®£¤ M P(ξ ≥ M ) → 0 ¯à¨ M → ∞, ¨, ¢á¨«ãZ0M(ξ ≥ x)dx = M P(ξ ≥ M ) + E(ξ ; 0 ≤ ξ ≤ M )P(1)¯®«ãç ¥¬ EξR = 0∞ P(ξ ≥ x)dx < ∞.…᫨ ¥ 0∞ P(ξ ≥ x)dx < ∞, â® ¢ ᨫã (1)RE(ξ ; 0 ≤ ξ ≤ M ) ≤ZM0(ξ ≥ x)dxP¯®«ãç ¥¬ Eξ < ∞, ®âªã¤ á«¥¤ã¥â ¢á¥ ®áâ «ì­®¥. ‹¥¬¬ ¤®ª § ­ .„®ª § ⥫ìá⢮ ⥮६ë 3. ‘奬 :4) =⇒ 3) =⇒ 2) =⇒ 5); 1) =⇒ 2).4) =⇒ 3). ˆ§ ­¥à ¢¥­á⢠—¥¡ë襢 (|ηn | > x) ≤PE|ηn |1+δx1+δ9C≤ 1+δ .xá«¥¤ã¥â, çâ® ãá«®¢¨¥ 4) ¢«¥ç¥â ãá«®¢¨¥ 3).3) =⇒ 2).

“á«®¢¨¥ 3) ¢«¥ç¥â ãá«®¢¨¥ 2).2) =⇒ 5). Ǒãáâì ¢ë¯®«­¥­® ãá«®¢¨¥ 2) ¨ ηn ≥ 0. ’®£¤ ¢á¨«ã «¥¬¬ëZ ∞Eηn =P(ηn ≥ x)dx.0ˆ§ 2) á«¥¤ã¥â, çâ®lim supn→∞¯®í⮬ãZ0∞Z∞(ηn ≥ x)dx < ∞,P(η ≥ x)dx < ∞,¨ ¬®­® ¯¥à¥©â¨ ª ¯à¥¤¥«ã ¯®¤ §­ ª®¬ ¨­â¥£à « :P0limlim Eηn = n→∞n→∞Z0∞(ηn ≥ x)dx =PZ∞0(η ≥ x)dx = Eη.P‚ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¢®á¯®«ì§ã¥¬áï ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨¥¬ηn = ηn+ − ηn− , η = η + − η − ,¨ ᮮ⭮襭¨ï¬¨ηn+ =⇒ η + , ηn− =⇒ η −¯à¨ n → ∞. ‘®®â­®è¥­¨¥ 5) ¤®ª § ­®.1) =⇒ 2). …᫨ ¢ë¯®«­¥­® 1) â® ¢ ᨫ㠫¥¬¬ë ¨§Z∞N(|ηn | ≥ x)dx ≤ E(|ηn |; |ηn| ≥ N )P¯®«ãç ¥¬ 2).

’¥®à¥¬ ¤®ª § ­ .ƒ‹. II. Ž–…ˆ‚€ˆ… …ˆ‡‚…‘’›•Ǒ€€Œ…’Ž‚§1. Ǒ®áâ ­®¢ª § ¤ ç¨. ‘®áâ®ï⥫쭮áâì, ­¥á¬¥é¥­­®áâì, ᨬ¯â®â¨ç¥áª ï ­®à¬ «ì­®áâì.Ǒ®­ï⨥ á®áâ®ï⥫쭮áâ¨, ᨫ쭮© á®áâ®ï⥫쭮á⨠®æ¥­ª¨,­¥á¬¥é¥­­®á⨠á¬. ¢ [4℄, áâà. 31, ¯®­ï⨥ ᨬ¯â®â¨ç¥áª®© ­¥á¬¥é¥­­®á⨠®æ¥­ª¨ ¤ âì á ¬¨¬, ᨬ¯â®â¨ç¥áª®© ­®à¬ «ì­®á⨠®æ¥­ª¨ á¬. ¢ [4℄, áâà. 40.10§2. Œ¥â®¤ ¯®¤áâ ­®¢ª¨. Œ¥â®¤ ¬®¬¥­â®¢.θ = G(Fθ ),’®£¤ θ∗ = G(Fn∗ )|®æ¥­ª ¯® ¬¥â®¤ã ¯®¤áâ ­®¢ª¨.Ǒãáâì θ ∗ = G(Fn∗ )| ®æ¥­ª ¯® ¬¥â®¤ã’¥®à¥¬ 1.¯®¤áâ ­®¢ª¨ ¨ ¯ãáâì íâ® áâ â¨á⨪ ¯¥à¢®£® ¨«¨ ¢â®à®£® ⨯ .’®£¤ ®­ ᨫ쭮 á®áâ®ïâ¥«ì­ .’¥®à¥¬ 2.

Ǒãáâì θ ∗ |€..Ž. á ª®íää¨æ¨¥­â®¬ σ 2 , äã­ªæ¨ï h ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ t = θ , h′ (θ ) 6= 0. ’®£¤ θ1∗ =h(θ∗ ) |€..Ž. ¯ à ¬¥âà θ1 = h(θ) á ª®íää¨æ¨¥­â®¬ σ12 =(h′ (θ))2 σ2 .’¥®à¥¬ 3. Ǒãáâìθ∗= h(n1Xn k=1g (Xk )|áâ â¨á⨪ ¯¥à¢®£® ⨯ , aθ = Eθ g (X1 ), äã­ªæ¨ï h ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ t = aθ , h′ (aθ ) 6= 0.

’®£¤ θ ∗ |€..Ž.¯ à ¬¥âà θ = h(aθ ) á ª®íää¨æ¨¥­â®¬ ­®à¬ «ì­®á⨠σ 2 (θ ) =(h′ (aθ ))2 Dθ g (X1).Žæ¥­ª¨ X ¨ s2 €..Ž. á ª®íää¨æ¨¥­â ¬¨ σ12 =DX1 ¨ σ22 = D(X1 − EX1 )2 ᮮ⢥âá⢥­­®.Ra = EX1 = tF (dt)|áâ â¨á⨪ I-⨯ .’®£¤ ®æ¥­ª a∗ = X |ᨫ쭮 á®áâ®ïâ¥«ì­ ï ¨ €..Ž. á ª®íää¨æ¨¥­â®¬ σ2 = DX1 . „¥©á⢨⥫쭮, g (x) = x, h(t) = t, ¨¯® ⥮६¥ 3 σ2 = (h′ (a))2 Dg (X1) = DX1 .Žæ¥­ª n1Xs2 =Xi2 − (X )2 → σ 2Ǒਬ¥à 1.n i=1|ᨫ쭮 á®áâ®ïâ¥«ì­ ï.

Ž­ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢ ¢¨¤¥s2=n1Xn i=1(Xi − b)2 − (n1Xn i=1(Xi − b))2 , b := EX1 .Ǒ¥à¢®¥ á« £ ¥¬®¥ €..Ž.√á ¯ à ¬¥â஬ D(X1 − b)2 , ¢â®à®¥ á« £ ¥¬®¥, 㬭®¥­­®¥ ­ n, áâ६¨âáï ª ­ã«î ¯® ¢¥à®ïâ­®áâ¨.Ǒ®í⮬ã s2 |€..Ž. ®æ¥­ª ¤¨á¯¥àᨨ á ¯ à ¬¥â஬ D(X1 − b)2 .Œ¥â®¤ ¬®¬¥­â®¢ (á¬. [4℄, áâà. 18.).11k)−k„ ­® ᥬ¥©á⢮ α,1 .

Eξ k = α−k (1+(1) = α k !( (n + 1) := n!). Ǒãáâì g (t) = t, ⮣¤ EX1 = α1 . Žæ¥­ª α∗ = X1€..Ž. á ª®íää¨æ¨¥­â®¬ σ2 = α4 DX1 = α2 .(1+k)Ǒਬ¥à 3. „ ­® ᥬ¥©á⢮ α,1 . Eξ k = α−k (1) = α−k k !Ǒãáâì g2 (x) = x2 .22EX1 = m2 (α) =2.Ǒਬ¥à 2.α’®£¤ α2∗=(2X2)1/2 .‚ í⮬ á«ãç ¥ h(t) = ( 2t )1/2 , X 2 |€..Ž. ¯ à ¬¥âà íää¨æ¨¥­â®¬ ­®à¬ «ì­®áâ¨2 2 204!242DX1 = EX1 − (EX1 ) =4 − ( 2) = 4.αα2α2á ª®-αǑਠí⮬1= −2 t−3/2 |t= α = −α3 2−3/2 .2Žæ¥­ª α2∗ = ( X2 )1/2 ï¥âáï €..Ž. ¯ à ¬¥âà α á ª®íää¨æ¨¥­â®¬ ­®à¬ «ì­®á⨠α6 2−3 20α−4 = 2, 5α2 .Ǒਬ¥à 4. „ ­® ᥬ¥©á⢮ a,σ .Ǒਬ¥à 5.

Характеристики

Список файлов лекций