1612725605-4201826098943ec8a5930a8a95852d2f (828606), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Тогдаискомое соотношение имеет вид UU † = E.PЗадача 190 . Пользуясь (5.3), доказать, что |G| = i n2i — сумма квадратов размерностей всех неэквивалентных неприводимых представлений.Указание. Рассмотреть Kl = Km = {e}.Пример. Найти таблицу характеров группы треугольника.В группе 3 класса сопряженных элементов, значит, имеется три неприводимыхпредставления. Их размерности задаются равенством n21 + n22 + n23 = 6. Единственноеразложение в сумму квадратов имеет вид 12 + 12 + 22 = 6.
Первая строка таблицы этовсегда характер тривиального представления χ(1) (Kl ) = 1. Первый столбец это характеры неприводимых представлений от e, т. е. dim D (i) = ni . Характер второго одномерного представления от элемента 3-го порядка r должен удовлетворять уравнениям(χ(2) (r))3 = 1 и χ(2) (r) = χ(2) (K2 ) = χ(2)∗ (r), откуда χ(2) (r) = 1. Для элементов второгопорядка χ(2) (K3 ) = ±1, а из ортогональности характеров (1 + 2 + 3χ(2) (K3 ) = 0), следует, что χ(2) (K3 ) = −1. Наконец, последняя строка таблицы характеров строится изортогональности столбцов685.
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУППχ(1)χ(2)χ(3)e r, r 211112 -1p, pr, pr 21.-10Задача 191 . Найти таблицу характеров группы квадрата.Решение. В группе 5 классов сопряженных элементов, значит имеется 5 непривоP 2димых представлений. Их размерности задаются равенствомni = 8. Отсюда получаем для размерностей неприводимых представлений ni = (1, 1, 1, 1, 2). Первая строкатаблицы — это всегда характер тривиального представления χ(1) (Kl ) = 1. Первый столбец — это характеры неприводимых представлений от e, т.
е. dim D (i) = ni Характерыоставшихся одномерных представлений найдем с помощью неприводимых представлений фактор-группы D4 /Z = D2 , которая состоит из e и 3-х элементов 2-го порядка. Онаабелева, значит, у нее 4 одномерных неприводимых представления, которые являютсятакже и искомыми представлениями группы квадрата. Поскольку при факторизациидва КСЭ группы квадрата: {e} и {r 2 } сливаются в один класс группы D2 , то имеемдля всех одномерных представлений группы квадрата χ(i) (r 2 ) = 1, а из ортогональности столбцов χ(5) (r 2 ) = −2 для двумерного представления.
Для элементов второгопорядка, принадлежащих классам K3 , K4 , K5 , имеем χ(i) (Kj ) = ±1, а из ортогональности характеров D2 следует, что χ(2) (K3,4,5 ) = (1, −1, −1) и χ(3) (K3,4,5 ) = (−1, 1, −1) иχ(4) (K3,4,5 ) = (−1, −1, 1).
Наконец, последняя строка таблицы для характеров двумерного представления строится из ортогональности столбцов:(1)χχ(2)χ(3)χ(4)χ(5)e11112r21111-2r p1 11 -1-1 1-1 -10 0pr1-1.-110Задача 192 . * Найти таблицу характеров группы куба Od .Указание. Показать, что Od = C2 ⊗ O, где C2 = {e, i}, а элемент i ∈ Z — естьинверсия. Убедится, что для каждого класса сопряженных элементов Kj = {x1 , ..., xn }группы O в группе Od появляется класс iKj = {ix1 , ..., ixn }, т.
е. число классов удваивается (xi ∼ xj ⇒ ixi ∼ ixj ). Таблица характеров группы Od получается прямымпроизведением таблиц характеров C2 и O:jiχijOd (Knm ) = χC2 (Kn )χO (Km ).5.4.Применение теории представленийЗамечание. Любое представление конечной группы D(G) = ⊕ai D (i) (G) есть прямаясумма неприводимых представлений. Пользуясь ортогональностью неприводимых характеров (5.2), можно найти, сколько копий i-го неприводимого представления входитв эту сумму:1 X (i)∗χ (Kl )pl χ(Kl ).ai =|G| l695.4.
Применение теории представленийЗадача 193 . Разложить представление из задачи (175 ) по неприводимым.Находим характеры этого трехмерного представления χ(Kl ) = (3, 0, 1) и, пользуясь ортогональностью характеров неприводимых представлений (5.2), получаем T (g) =D (1) ⊕ D (3) . Таким образом, существует такой базис, в котором все матрицы представления одновременно имеют блочно-диагональный вид с блоками тривиального и двумерного неприводимых представлений группы треугольника.Определение. Пусть T (g) — матрицы приводимого представления группыG, а его разложение на неприводимые представления имеет вид T (g) = ⊕ai D (i) (g).Тогда матрицаdim D (i) X (i)∗Pi =χ (g)T (g)|G|g(i)является проектором на подпространство векторов ~qα , соответствующих i-мупредставлению, т.е. в пространстве, порожденном этими векторами, реализуются ai копий представления D (i) (g).Пример.
Найти базис векторов, в котором представление из задачи 175 принимаетблочно-диагональный вид.Составим проектор на тривиальное представление1 1 11P1 = 1 1 1 .31 1 1Действуя на какой-нибудь вектор, например, (100), получим собственный вектор q~(1) =(1, 1, 1), преобразующийся по тривиальному представлению. Действительно, для любогогруппового преобразования этот вектор переходит в себя T (g)~q(1) = ~q(1) .Проектор для неприводимого представления D (2) равен нулю, так как это представление отсутствует в разложении T (g) по неприводимым. Наконец, проектор на подпространство 2-мерного неприводимого представления имеет вид2 −1 −11P3 = −1 2 −1 .3−1 −1 2P3 проецирует трехмерное пространство на подпространство, натянутое на векторы(3)(3)~q1 = (2, −1, −1) и ~q2 = (0, 1, −1) (можно выбрать другой базис в этом подпространстве).
И при любом групповом преобразовании каждый из этих векторов отображается(3)(3)в линейную комбинацию ~q1 и ~q2 .5.4.1.Кратность вырождения нормальных колебанийПример. Найти кратности вырождения частот колебаний системы трех одинаковыхгрузиков, расположенных в плоскости и соединенных друг с другом одинаковыми пружинками, а также соединенных одинаковыми пружинками с неподвижным центром.705. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУППУ каждого грузика есть два направления движения xi , yi , т.
е. всего 6 обобщенныхкоординат qj . При любом преобразовании симметрии g ∈ D3 эти координаты переходятв линейную комбинацию друг друга: ~q → T̂ (g)~q, а значит, T (g) есть 6-мерное матричноепредставление D3 . Из аналитической механики мы знаем, что существует базис из собственных векторов гамильтониана задачи. Нетрудно понять, что в этом базисе матрицыT (g) принимают блочно диагональный вид. Если ~qα собственный для гамильтониана счастотой ωα , то при любом преобразовании он должен оставаться собственным с тойже частотой. Это означает, что либо T̂ (g)~qα = λg ~qα , т. е.
переходит в себя, тогда онпреобразуется по одномерному неприводимому представлению D (i) (g) ≡ λg , и его частота невырождена, либо T̂ (g)~qα раскладывается в сумму базисных векторов ~q1α , . . . , ~qnα ,каждый из которых обязан отвечать колебанию с той же самой частотой. Тогда наборэтих векторов преобразуется по n-мерному неприводимому представлению, а движениес частотой ωα является n-кратно вырождено. Таким образом, достаточно разложитьисходное представление по неприводимым, тогда число неприводимых представленийравно числу различных собственных частот всех колебаний системы, а размерностинеприводимых представлений равны кратности вырождения соответствующих частот.Найдем характеры: χ(e) = 6, при повороте все грузики меняются местами, а значит, надиагонали T (r) стоят 0, т.
е. χ(r) = 0,√ 31−0000−2√230√00− 12 02 1− − 3 0000 22.√T (r) = 31−0000 22√310−−00 02√23100−2002Наконец, при отражении только один грузик остаетсявания его координат имеет вид−1 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 0 −1T (p) = 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 00 0 0 1 0на месте, а матрица преобразо000,100поэтому χ(K3 ) = 0. Разложение характера (6, 0, 0) по неприводимым дает вид разложения представления в сумму неприводимых: T (g) = D (1) (g) ⊕ D (2) (g) ⊕ 2D (3) (g), дваодномерных и два двумерных представления, т. е. в спектре колебаний будет 4 разныхчастоты, две из которых двукратно вырождены.Если в системе допустимо вращение вокруг центра, то в спектре колебаний станетна одну частоту меньше. Чтобы найти, какому неприводимому представлению отвечает вращение, вычислим его характер: поскольку вращение имеет одну компоненту,715.4.
Применение теории представлений√√то χ(M ) (e) = 1. Собственный вектор вращения есть ~qM = (1, 0, −1/2, 3/2, −1/2, − 3/2),умножая его на T (r)~qM = ~qM , т. е. χ(M ) (r) = 1, а умножая на T (p), получим χ(M ) (p) = −1.Это характер неприводимого представления χ(2) . Соответственно в разложении колебательных движений это неприводимое представление будет отсутствовать. Собственныевекторы, отвечающие разным колебаниям, можно найти с помощью проектора на подпространство неприводимого представления, отвечающее данной частоте.Замечание.
Характер вращения может быть вычислен гораздо проще. Из аналитической механики мы знаем, что вращение полностью описывается псевдовектором полного~ . В нашем случае он имеет всего одну компоненту Mz . При повомомента импульса Mротах r она переходит в себя, значит χM (r) = 1, а при отражениях меняет знак, значитχM (p) = −1.Задача 194 . Найти кратности вырождения частот в колебательном спектре молекулы CH3 F (группа C3v ).Задача 195 .
Найти кратности вырождения частот в колебательном спектре молекулы C2 H6 .Решение. Для нахождения таблицы характеров группы симметрий G молекулыC2 H6 найдем их элементы. Это 6 элементов {e, r, r 2 , p, pr, pr 2} подгруппы C3v и еще 6элементов, имеющих вид iC3v = C3v i, где i — инверсия, она принадлежит центру группы.
Такая группа называется прямым произведением групп: G = {e, i} × C3v = C2 × C3v .В результате с каждым классом Kl группы C3v появляется еще один класс iKl , соответственно, число неприводимых представлений удваивается. Более того, таблица характеров G также равна прямому произведению таблиц характеров χ(G) = χ(C2 ) ⊗ χ(C3v ).Таблицу характеров C3v мы находили, а для C2 она имеет вид(1)χχ(2)e11g1 .-1Прямое произведение дает искомую таблицу характеров группы D3v :(1)χχ(2)χ(3)χ(4)χ(5)χ(6)χose r1 11 12 -11 11 12 -118 0p1-101-104i ir1 11 12 -1-1 -1-1 -1-2 10 0ip1-10.-1102725.
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУППТеперь рассмотрим, как преобразуются векторы отклонений ~qα атомов от положения равновесия. Всего 8 атомов и 3 компоненты отклонения на каждый, т. е. имеем24-мерный вектор отклонений и представление порядка dim T (g) = 24, значит χ(e) = 24.При поворотах вокруг оси 3-го порядка только 2 атома углерода остаются на месте,для каждого из них ~qα преобразуется матрицей поворотов, след которой равен χv (φ) =1 + 2 cos(φ).
Общая формула для нахождения характера поворота вокруг любой осиимеет видχ(φ) = Na (1 + 2 cos φ),где Na — число атомов на оси, а φ — угол поворота, т. е. χ(r) = 0. При отражении длявектора отклонения атома матрица диагональна, а ее след равен 1. Общая формулаимеет видχ(p) = Ns ,где Ns — число атомов, лежащих в плоскости симметрии, т. е.
χ(p) = 4. При инверсиивсе координаты меняют знак, поэтому χ(i) = −3N0 , где N0 — число атомов в центреинверсии, у нас χ(i) = 0. Для зеркальноповоротных элементов 3-мерная матрица дляодного вектора имеет вид D(σ)D(φ) = D(i)D(φ + π) = −D(φ + π), где D(φ) - матрицаповорота на угол φ вокруг некоторой оси, а D(σ) — отражение относительно плоскости,ортогональной этой оси:χ(σrφ ) = N0 (−1 + 2 cos φ),где N0 — число атомов в центре. Наконец, элементы ipr k суть повороты вокруг осейвторого порядка, и можно пользоваться выведенной формулой, для нас N0 = 0. Окончательно получимχ(g) = (24, 0, 4, 0, 0, 0).Кроме колебаний, молекула может двигаться как целое, что полностью описывается полным импульсом P~ , а также вращаться как целое, что описывается моментом~ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
