1612725605-4201826098943ec8a5930a8a95852d2f (828606), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Более сложных подгрупп в P3 нет.Определение. Группа G называется абелевой или коммутативной, если ∀g1 , g2 ∈G выполняются равенства g1 g2 = g2 g1Проверить, чтоа) группа P3 - не абелева (rp 6= pr),б) все циклические группы — абелевы (∀gn = g n ∈ G выполняется gn gk = g n+k =gk gn ).Задача 139 . Доказать, что если ∀x ∈ G выполняется соотношение x2 = 1, тогруппа G — абелева.Решение. x1 x2 = (x2 )2 x1 x2 (x1 )2 = x2 (x2 x1 )2 x1 = x2 x15.1.2.Смежные классы, индекс подгруппыОпределение.
Пусть H < G и g ∈ G. Тогда множество всех элементоввида {hg| h ∈ H} с фиксированным g называется правым смежным классом иобозначается Hg. Аналогично gH = {gh| h ∈ H} называется левым смежнымклассом.Задача 140 . Доказать, что либо Hg1 = Hg2 (множества совпадают) либо Hg1 ∩Hg2 = ∅ (пересечение множеств пусто).Указания.
1. Сначала покажем, что если g ∈ H, то hg ∈ H∀h ∈ H, а значитHg = H.2. Если g1 ∈/ H, тогда ∀h ∈ H имеем hg1 ∈/ H, а значит Hg1 ∩ H = ∅.3. Если g2 ∈ Hg1 , тогда ∀h ∈ H имеем hg2 ∈ Hg1 , а значит Hg2 = Hg1 .4. Если g2 ∈/ Hg1 , т. е. g2 g1−1 ∈/ H, тогда ∀h ∈ H, hg2 ∈/ Hg1 , а значит Hg2 ∩ Hg1 = ∅.Поэтому множество элементов группы G является объединением непересекающихся смежных классов ее подгруппы H:G = H ∪ Hg2 ∪ · · · ∪ Hgm−1 ,любой элемент из G принадлежит одному и только одному классу HgiЗадача 141 . Доказать |Hg| = |H|.605. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУППРешение.
Если множество из n различных элементов группы {hk } умножить наодин и тот же элемент группы g, то все n элементов множества {hk g} являются различными и составляют правый смежный класс Hg.Значит, порядок подгруппы обязан быть делителем порядка группы: |G| = |H|m.Определение. Число смежных классов m = |G : H| называется индексомподгруппы H в группе G.Заметим, что множество элементов {g l | l ∈ Z} является подгруппой, откуда следует: |G| = |g|k — порядок любого элемента группы является делителем порядка группы.Задача 142 .
Подгруппы какого порядка могут быть в P3 ?Ответ. Подгруппы порядка 2 могут порождаться только элементами порядка 2.Таких элементов три и они порождают три разных подгруппы. Подгруппы порядка 3могут порождаться только элементами порядка 3. Таких элементов два, и они порождают одну подгруппу. Подгрупп другого порядка быть не может.Задача 143 . Построить правые и левые смежные классы по подгруппе {e, p} вгруппе P3 .Ответ. P3 = {e, p} ∪ {r, pr} ∪ {r 2, pr 2 }.P3 = {e, p} ∪ {r, rp ≡ pr 2 } ∪ {r 2 , r 2p ≡ pr}.Как видим, разбиение по правым и левым классам различно.Пример.
Геометрическая интерпретация.Рассмотрим все элементы группы P3 , оставляющие вершину 1 на месте. Доказать,что они образуют подгруппу.0. Произведение таких элементов очевидно оставляет вершину 1 на месте.Аксиомы.1. Тождественное преобразование оставляет вершину 1 на месте.2. Для любого из этих элементов обратное преобразование оставляет вершину 1на месте.3. Ассоциативность очевидна.Подгруппа H = {e, p}. Все элементы, переводящие вершину 1 в вершину 2, составляют левый смежный класс rH = {r, rp = pr 2 }, а все элементы, переводящие вершину1 в вершину 3, составляют левый смежный класс r 2 H = {r 2 , r 2 p = pr}.Аналогично правые смежные классы — это сама подгруппа H, все элементы, переводящие вершину 2 в вершину 1, и все элементы, переводящие вершину 3 в вершину1.Таким образом, порядок группы можно найти, умножив число элементов, оставляющих одну вершину на месте |H| (порядок подгруппы), на число вершин m, в которыеможно перевести эту вершину (индекс подгруппы).Задача 144 .
Найти порядок группы куба.Решение. Всего m = 8 вершин. Среди элементов, оставляющих вершину на месте,есть e — тождественное преобразование, r, r 2 — два поворота вокруг главной диагоналикуба (ось третьего порядка), а также три отражения p, pr, pr 2 относительно трех плоскостей, проходящих через эту ось и одно из трех прилегающих к этой вершине ребер.5.1. Основные понятия теории групп61Ответ. |Od | = 8 · 6 = 48.Задача 145 . Найти порядок группы куба без отражений.Ответ.
|O| = 8 · 3 = 24.Задача 146 . Найти порядок группы правильного многоугольника Dn .Ответ. |Dn | = 2n.Задача 147 . * Доказать, что если |G| — простое число, то G — абелева.Задача 148 . * Доказать, что если |G| не простое число, то существует нетривиальная подгруппа H группы G.5.1.3.Инвариантная подгруппа, фактор-группаОпределение. Если разбиение группы G на левые и правые смежные классыподгруппы H совпадает, т. е. ∀g ∈ G выполняется Hg = gH, то подгруппа Hназывается инвариантной: H ⊳ G.Замечание.
Выражение Hg = gH вовсе не означает, что равенство выполняется длякаждого элемента h ∈ H. Его смысл в том, что оба множества содержат одни и те жеэлементы.Задача 149 . Доказать, что любая подгруппа индекса 2 является инвариантной.Решение. |G|/|H| = 2, значит, G = H ∪ Hg = H ∪ gH, следовательно, gH = Hg.Задача 150 . Найти инвариантные подгруппы в группе P3 .Решение. Мы видели, что подгруппы второго порядка не являются инвариантными. Поэтому осталось проверить подгруппу C3 = {e, r, r 2}:P3 = C3 ∪ {p, pr, pr 2}(= C3 ∪ pC3 ) = C3 ∪ {p, rp, r 2p}(= C3 ∪ C3 p).Погруппа C3 инвариантна, так как rp = pr 2 и r 2 p = pr.Определение. Пусть H ⊳ G.
Рассмотрим множество F , элементами которого являются смежные классы. Это множество F = G/H является группой иназывается фактор-группой.Рассмотрим произведение двух смежных классов Hg1Hg2 = {h1 g1 h2 g2 | h1 , h2 ∈ H}.Для инвариантной подгруппы Hg1 Hg2 = HHg1g2 = Hg3 , где g3 = g1 g2 . Поэтому операцияумножения смежных классов определена.F является группой, так как существует единичный элемент E = H, существуетобратный элемент Q−1 = (Hq)−1 = q −1 H = Hq −1, ассоциативность очевидна.Задача 151 .
Проверить, что операция в фактор-группе P3 /C3 определена.Решение. Есть два элемента E = C3 , P = C3 p. Для любого xk ∈ C3 проверяем, чтоxk xl ∈ C3 , т. е. EE = E. Для любого yn ∈ C3 p и xk ∈ C3 проверяем, что выполняетсяxk yn ∈ C3 p, т. е. EP = P (элемент E есть единица группы). Наконец, проверяем, чтоyn yl ∈ C3 , т. е. P P = E. Ассоциативность очевидна. Фактор-группа является циклической группой 2-го порядка: P3 /C3 ∼= C2 .625. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУППЗамечание.
Факторизация сохраняет операцию на множестве, поэтому отображениеG → G/H является гомоморфизмом.Замечание. Физическая интерпретация фактор-группы.Заметим, что все элементы входящие в C3 оставляют ось третьего порядка неизменной. Все отражения, т. е. элементы класса pC3 , переводят эту ось в себя с обратнымнаправлением вращения. Таким образом, фактор-группа описывает преобразование ориентации оси третьего порядка, игнорируя все остальные преобразования правильноготреугольника.Задача 152 . ∗ Найти инвариантную подгруппу в группе вращений куба O, котораясодержит элементы, оставляющие неподвижными оси четвертого порядка. Построитьфактор-группу.5.1.4.Сопряженные элементыОпределение.
Введем понятие эквивалентных элементов на множествеM. Пусть существует бинарное отношение (обозначим его ∼), обладающее тремя свойствами:1) x ∼ x — рефлекcивность;2) x ∼ y ⇔ y ∼ x — симметричность;3) x ∼ y, y ∼ z ⇒ x ∼ z — транзитивность.Тогда можно ввести классы эквивалентности Kx = ∪xi ∼ x, которые обладают свойством: либо Kx = Ky , если x ∼ y либо Kx ∩ Ky = ∅. При этом все множество можно разбить на классы (непересекающиеся подмножества) M = ∪K.Определение. Два элемента a и b сопряжены, если ∃g ∈ G такое, что a =gbg .−1Проверяем, что для сопряжения все три свойства эквивалентности выполняются,а значит можно ввести классы эквивалентности, так что каждый элемент группы будетвходить только в один класс.
Таким образом, в группах можно ввести классы сопряженных элементов (КСЭ) K, используя операцию сопряжения. Далее сопряженностьэлементов a и b будем обозначать a ∼ b.Задача 153 . Найти классы сопряженных элементов в P3 .Ответ. P3 = {e} ∪ {r, r 2 } ∪ {p, pr, pr 2} — всего три класса сопряженных элементов.Замечание. Не путать классы сопряженных элементов со смежными классами. Этосовершенно разные разбиения множества.Задача 154 . Доказать, что, если x ∼ y, |x| = |y|. В одном КСЭ могут быть элементы только одного порядка.Задача 155 .
Доказать, что ab ∼ ba.Задача 156 . Пусть H < G. Доказать, что H ⊳ G тогда и только тогда, когда H =∪K.635.2. Группа квадрата и куба4312Рис. 5.2. Группа квадрата D4Решение. Если в инвариантной подгруппе содержится хотя бы один элемент xкласса Kx , то в ней содержатся все элементы этого класса: gH = Hg, ∀g ∈ G значитgHg −1 = H, ∀g ∈ G, и, следовательно, если x ∈ H, то gxg −1 ∈ H, ∀g ∈ G. Если подгруппапредставима в виде суммы КСЭ, то gHg −1 = H, ∀g ∈ G, значит, gH = Hg, ∀g ∈ G.
Такимобразом, инвариантная подгруппа H состоит из КСЭ группы G.Задача 157 . Проверить свойства 154 –156 в группе треугольника.Задача 158 .∗Проверить свойства 154 –155 в группе куба.Задача 159 . Найти число классов сопряженных элементов в абелевой группе.Ответ.
|G| = n.5.2.Группа квадрата и кубаЭлементы групп симметрии молекул могут быть трех видов:1) повороты вокруг осей симметрии n-го порядка на угол 2πk/n;2) отражение относительно плоскостей симметрии;3) зеркально-поворотные преобразования, т. е. последовательное отражение и поворот вокруг оси, ортогональной плоскости отражения.Задача 160 . Найти элементы и их порядок в группе квадрата D4 (рис. 5.2).Ответ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
