1612725605-4201826098943ec8a5930a8a95852d2f (828606)
Текст из файла
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФНОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТФизический факультетКафедра теоретической физикиЕ. В. Подивилов, Е. Г. Шапиро, Д. А. ШапироРАБОЧАЯ ТЕТРАДЬПО МАТЕМАТИЧЕСКИМ МЕТОДАМ ФИЗИКИУчебное пособиеНовосибирск2012УДК 530.1:51ББК В311я73-1П442Подивилов Е. В., Шапиро Д. А., Шапиро Е. Г. Рабочая тетрадь по математическим методам физики: Учеб.
пособие/ Новосиб. гос. ун-т, Новосибирск, 2012. 126 с.ISBN 978-5-4437-0098 - 4.В пособии рассмотрены темы, которые изучаются в курсе «Методы математической физики»: уравнения в частных производных, специальные функции, асимптотические методы, применение теории групп в физике и метод функций Грина. Делается упорна умение решать задачи из разных разделов физики, применять теоретические знания,полученные на лекциях.
Рабочая тетрадь содержит более 260 задач, которые рекомендуется решить на семинарах в течение учебного года. Каждый семинар начинается скраткого изложения теории. Затем идут задачи, как правило снабженные решениями,указаниями или ответами. Звездочками отмечены задачи повышенной сложности, решение которых не является обязательным, и дополнительные разделы, не входящие впрограмму.Издание предназначено для студентов 3-го курса физического факультета НГУ.Рецензент:д.ф.-м.н., проф. А. И. МильштейнИздание подготовлено в рамках реализации Программы развития государственногообразовательного учреждения высшего профессионального образования «Новосибирский государственный университет» на 2009–2018 годы.ISBN 978-5-4437-0098 - 4ccНовосибирский государственныйуниверситет, 2012Подивилов Е.
В., Шапиро Д. А.,Шапиро Е. Г., 2012Оглавление1. Линейные операторы1.1. Матрицы . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.1. След . . . . . . . . . . . . . . .1.1.2. Определитель . . . . . . . . .1.2. Функции матрицы . . . . . . . . . . .1.2.1. Резольвента . . . . . . . . . .1.2.2. Проекторы . . . . . . . . . .
.1.3. Унитарные и эрмитовы матрицы . .1.4. Матрицы Паули . . . . . . . . . . . .1.5. Операторы в пространстве функций....................................2. Уравнения в частных производных2.1. Линейные уравнения первого порядка . . .2.1.1. Характеристики . . . . . . .
. . . . .2.1.2. Задача Коши . . . . . . . . . . . . . .2.2. Квазилинейные уравнения . . . . . . . . . .2.3. Нелинейные уравнения I порядка ∗ . . . . .2.4. Системы уравнений . . . . . . . . . . . . . .2.4.1. Канонический вид при n = 2 . . . .2.4.2. Инварианты Римана . . . . . . . . .2.4.3. Гиперболические системы с n > 2 ∗ .2.5. Линейные уравнения II порядка . . . .
. .2.6. Автомодельность . . . . . . . . . . . . . . .2.7. Нелинейные уравнения II порядка . . . . .2.7.1. Бегущая волна . . . . . . . . . . . . .2.7.2. Подстановки . . . . . . . . . . . . . .2.8. Метод Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.8.1. Гиперболический тип . . .
. . . . . .2.8.2. Параболический тип . . . . . . . . .2.8.3. Эллиптический тип . . . . . . . . . .2.9. Разделение переменных . . . . . . . . . . .2.9.1. Ортогональные системы координат2.9.2. Параболоидальные координаты . . .2.9.3. Сфероидальные координаты . .
. .........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................55556788910......................12121213141518182022232628283031313334363636374ОГЛАВЛЕНИЕ3. Специальные функции3.1. Гипергеометричекие функции . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2. Ортогональные полиномы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3. Функции Бесселя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .393942444. Асимптотические методы4.1. Интеграл Лапласа . .
. . .4.2. Метод стационарной фазы4.3. Метод перевала . . . . . .4.4. Метод усреднения . . . . .....4747495255..................57575759616263656869737576798285889093.....9797101105108113.......116116118120121122123125....................................................................5. Применение теории групп5.1. Основные понятия теории групп . . . . . . . . . . . .
.5.1.1. Группа, подгруппа, порядок . . . . . . . . . . . .5.1.2. Смежные классы, индекс подгруппы . . . . . . .5.1.3. Инвариантная подгруппа, фактор-группа . . . .5.1.4. Сопряженные элементы . . . . . . . . . . . . . .5.2. Группа квадрата и куба . . . . . . . . . . . . . .
. . . .5.3. Матричные представления . . . . . . . . . . . . . . . . .5.4. Применение теории представлений . . . . . . . . . . . .5.4.1. Кратность вырождения нормальных колебаний5.4.2. Снятие вырождения . . . . . . . . . . . . . . . .5.4.3. Правила отбора . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .5.5. Группы Ли. Инвариантные тензоры . . . . . . . . . . .5.5.1. Неприводимые представления группы SO(2) . .5.5.2. Группы O(2) и SO(3) . . . . . . . . . . . . . . . .5.5.3. Представления группы SO(3) . . . . . . . . . . .5.5.4. Представления группы O(3) . .
. . . . . . . . .5.5.5. Симметризация тензорных представлений . . .5.5.6. Группа SU(2) и ее неприводимые представления..............................................................................................................6. Функции Грина6.1. Функция Грина обыкновенного дифференциального уравнения6.2. Обобщенные функции Грина для ОДУ .
. . . . . . . . . . . . . .6.3. Функции Грина эллиптических уравнений . . . . . . . . . . . .6.4. Функции Грина параболических уравнений . . . . . . . . . . . .6.5. Функции Грина волновых уравнений . . . . . . . . . . . . . . . .Приложение A: Симметризаторы ЮнгаA.1. Циклы . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .A.2. Схемы Юнга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .A.3. Симметризаторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . .A.4. Симметризация базиса . . . . . . . . . . . . . . . .A.5. Характеры симметризованных представлений . .A.6. Независимые компоненты инвариантных тензоровA.7.
Неприводимые характеры групп подстановок . . ...................................................................................................................................................................................................................................Глава 1Линейные операторы1.1.1.1.1.МатрицыСледБудем рассматривать квадратные матрицы.Определение. След матрицы равен сумме ее диагональных элементов.Задача 1 .
Доказать, что матрицы можно циклически переставлять под знакомследаtr (A1 A2 . . . An ) = tr (A2 . . . An A1 ).Указание. Сначала проверьте, что для двух матриц tr (AB) = tr (BA).Задача 2 . Матрицы A, B подобны (A ≈ B), если существует невырожденная квадратная матрица T такая, что B = TAT−1 . Покажите, что подобные матрицы имеютодинаковый след. Какие еще инварианты преобразования подобия вы знаете?Собственные значения матрицы находятся из решения характеристического уравнения |λE − A| = 0.Иногда матрицу можно привести к диагональному видуλ1 0 . .
. 0 0 λ2 . . . 0 −1A = TΛT , Λ = .(1.1).. . ... .... ..00. . . λnТогда на главной диагонали стоят собственные значения λ1 , . . . , λn , поэтому след — этосумма собственных значений:nXtr A =λi .i=11.1.2.ОпределительЕсли матрица приводится к диагональному виду, ее определитель равен произведениюсобственных чиселnYdet A =λi .i=161. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫЕсли матрица приводится к жордановой форме, то определитель равен произведениюее диагональных элементов.Задача 3 .
Показать, что если AC = CA, |A| =6 0, тоA B = |AD − CB| . C D(1.2)Указание. Умножить слева на блочную матрицу!E 0−C Aи превратить матрицу в блочно-верхнетреугольную.Определение. Экспонентой от матрицы называется разложение экспоненты, в которое вместо аргумента подставлена матрицаeA = 1 + A +1 2A + ....2!Задача 4 . Доказать, чтоdet eA = etr A .Указания.Λ.(1.3)1.
Поверить, что равенство выполнено для диагональной матрицы2. Проверить, что если B = TAT−1 , то равенство (1.3) выполнено и для подобнойматрицы B.3. Вывести равенство (1.3) для жордановой клетки.4. Показать, что если для каждой клетки равенство (1.3) выполнено, то оно справедливо и для блочно-диагональной матрицы, составленной из таких клеток.1.2.Функции матрицыОпределение. Если функцию f (x) можно разложить в ряд Тейлораf (x) = f (0) + f ′ (0)x +f ′′ (0) 2x + ...,2!то эта функция от квадратной матрицы A дается тем же рядомf (A) = f (0) + f ′ (0)A +f ′′ (0) 2A + ....2!Задача 5 . Показать, что если матрица приводится к диагональному виду (1.1), тофункцию от матрицы можно вычислить в собственном базисеf (TΛT−1 ) = Tf (Λ)T−1 .71.2. Функции матрицыλ*λ2*λ3*λ1CРис.
1.1. Контуры интегрирования резольвентыЗадача 6 . Вычислитьln1 xx 1!при |x| < 1.Указание. Найти собственные векторы и построить из них матрицу T, приводящую к диагональному виду (1.1):!!!1111 11+x0.Λ=, T=, T−1 =2 1 −101−x1 −1Ответ.1 xlnx 1!1=2!ln(1 − x2 )ln 1+x1−x.ln(1−x2 )ln 1+x1−xМожно ли сказать заранее, что матрица в последней задаче приводится к диагональному виду? Приводится ли к диагональному виду большинство матриц?1.2.1.РезольвентаОпределение. Резольвента матрицы Rλ = (λE − A)−1 позволяет вычислитьфункцию от матрицы по формулеI1Rλ f (λ) dλ,f (A) =2πi Cгде контур C охватывает все полюсы резольвенты (рис.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
