1612725605-4201826098943ec8a5930a8a95852d2f (828606), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Тогда уравнение (2.8) сведется к обыкновенномуξf ′′ + f ′ + Qaδ(ξ − 2a) = 0.2Решение однородного уравнения Q = 0 содержит две постоянных интегрироваRния f = A + B exp(−ξ 2 /4) dξ. Надо считать их разными по разные стороны фронта.и найти константы из граничных условий и условий при u = 0. На фронте кристаллизации функция f непрерывна, а ее первая производная терпит скачок [f ]ξ=2a = −Qa.282. УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХГраничные условия можно учесть сразу:(Rξ−u0 + B1 0 exp(−τ 2 /4) dτ, ξ < 2a;f=R∞+u0 + B2 ξ exp(−τ 2 /4) dτ, ξ > 2a.Из непрерывности при ξ = 2a получаем−u0 + B1Z2a2exp(−t /4) dt = +u0 + B20Z∞exp(−t2 /4) dt = 0.2aИз этих условий найдемB1 = √u0,πerf aB2 = − √u0,π (1 − erf a)Ra 2√где erf a = 2 0 e−t dt/ π — функция ошибок (или интеграл вероятности).
Из условияна скачок производной получится22B2 e−a + B1 e−a = Qa.Отсюда получилось трансцендентное уравнение на параметр a:11u02√= Qaea .−π erf a 1 − erf ap√Ответ. При Q → ∞, a → 0, тогда erf a ≈ 2a/ π, a = u0 /2Q,y(t) =r2u0χt.QПри большой теплоте кристаллизации скорость фронта снижается (рис. 2.8, а). При√малой теплоте Q → 0, a → 0, 48, тогда erf a ≈ 1/2, y = 0, 96 χt. В этом предельномслучае скачок производной практически не заметен, см. рис. 2.8, б.2.7.2.7.1.Нелинейные уравнения II порядкаБегущая волнаРешение в виде бегущей волны u = f (x − V t) тоже иногда сводит нелинейное уравнениев частных производных к обыкновенному.Задача 64 . Найти решение уравнения Бюргерсаut + uux = µuxxс условиями u → V0 , x → −∞, u → 0, x → +∞.Указание.
Обыкновенное уравнение второго порядка один раз интегрируется сра-зу1µf ′ − f 2 + V f = 0.2292.7. Нелинейные уравнения II порядкаКонстанта интегрирования равна нулю в силу граничного условия при x → +∞. Дальшеостается разделить переменныеZ2Vdf⇒f =.ξ=µf21 + eV ξ/µ−Vf2Вторая константа — произвольна, это начало отсчета переменной ξ. Скорость фронтаV = V0 /2 находится из граничного условия при x → −∞.Ответ.
Кинк (ступентка)V0u(x, t) =1 + exphV02µx−i .V0t2Учет вязкости подавляет опрокидывание решения уравнения Хопфа. Вместо этого формируется ударная волна с шириной фронта порядка V0 /2µ.Задача 65 .∗Показать, что уравнение Кортевега — де Фризаut + 6uux + uxxx = 0имеет решение в виде уединенной бегущей волны. Найти решение, в котором f → 0, x →±∞ вместе с производными.Указание. Подставляя решение в виде бегущей волны, получим обыкновенноеуравнение третьего порядка−V f ′ + 6f f ′ + f ′′′ = 0.Один раз оно интегрируется непосредственно, а константа выбирается нулевой из условия уединенности−V f + 3f 2 + f ′′ = 0.Если умножить последнее уравнение на f ′ , оно еще раз интегрируется.
Вторая константаравна нулю из того же условия. Получается уравнение, аналогичное закону сохраненияэнергии в механике одномерного движения:11 ′2f + f 3 − V f 2 = 0.22Остается проинтегрировать это уравнение первого порядкаZdf√ξ=±.f V − 2fТретья константа произвольна, это начало отсчета переменной ξ. Интеграл берется под√становкой Эйлера τ = V − 2f .Ответ. Простой солитонu=2 ch√V2V(x − V t),высота, скорость и ширина которого определяются одним параметром V .302. УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ2.7.2.ПодстановкиНекоторые нелинейные уравнения сводятся к линейным с помощью специальных подстановок.Задача 66 .
∗ Найти общее решение уравнения взаимодействия встречных волн внелинейной средеut − ux = uv, vt + vx = −uv.Указание. Перейдем к конусным переменным (характеристиам) ξ = (x − t)/2, η =(x + t)/2. Система упростится(∂u= −uv,∂ξ(2.9)∂v=−uv.∂ηОтсюда следует, что uξ = vη , а стало быть, можно ввести логарифмический потенциалΦ такой, что∂ ln Φ∂ ln Φ, v=.u=∂η∂ξМожно проверить тождество∂ ln Φ ∂ ln Φ1 ∂Φ∂ 2 ln Φ=−+.∂ξ∂η∂ξ∂ηΦ ∂ξ∂η(2.10)Подставляя (2.10) в (2.9), получим линейное гиперболическое уравнение Φξη = 0.Его общее решение Φ = f (ξ) + g(η).Ответ.v=Задача 67 .∗∂ ln Φg ′(η)=,∂ξf (ξ) + g(η)u=∂ ln Φf ′ (ξ)=.∂ηf (ξ) + g(η)Свести к линейному уравнение Бюргерса ut + uux = µuxx .Указание. Введем потенциал скорости такой, чтобы u = Φx .
После интегрирования уравнение останется нелинейным: Φt + Φ2x /2 = µΦxx . Теперь ищем логарифмическийпотенциал Θ такой, чтобы Φ = a ln Θ. Постоянную a подберем так, чтобы уравнение стало линейным (подстановка Коула— Хопфа).После вычисления производных получим a = −2µ,∂ Θxx∂ Θt−µ= 0.∂x Θ∂x ΘИнтегрируя по x, находим линейное уравнение для функции Θ(x, t):Θt − µΘxx = λ(t)Θ.Уравнение можно упростить заменой неизвестной функцииΘ = φ(t)v(x, t).Ответ.
Выберем в качестве функции φ(t) решение уравнения φ′ = λ(t)φ. Получится уравнение теплопроводности vt = vxx .Задача 68 . Свести к линейному квазилинейное уравнение второго порядка∇2 u − (∇u)2 = 0.312.8. Метод Фурье1.0u0.50.0-0.5-1.00.00.20.40.60.81.0xРис. 2.9. Профиль начального условия в задачах 69 (сплошная линия), 71 (штрихи), 73 (точки)Указание. Подбираем замену неизвестной функции вида u = ω(v) так, чтобы сократились нелинейности.Ответ.
Сводится к уравнению Лапласаω ′′ − ω ′2 = 0 ⇒ ∇2 v = 0.2.8.2.8.1.Метод ФурьеГиперболический типРешение уравнения utt − uxx = 0 с нулевыми граничными условиями на концах единичного отрезка u(0, t) = u(1, t) = 0 имеет решение в виде ряда Фурьеu(x, t) =∞X(An cos πnt + Bn sin πnt) sin πnx.(2.11)n=0Коэффициенты Фурье An , Bn находятся из начальных условий. Если начальные и граничные условия не согласованы, решение получается с разрывом функции или производной.Задача 69 .utt − uxx = 0,u(0, t) = u(1, t) = 0,u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = sin 2πx(рис. 2.9, сплошная кривая).Указание.An = 0,πnBn = 2Z1ut (x, 0) sin πnx dx = δ2,n .0Ответ.u(x, t) =1sin 2πt sin 2πx.2πЗадача 70 .utt − uxx = sin πxe−γt ,u(0, t) = u(1, t) = 0,u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = 0.322.
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХuuuxxxабвРис. 2.10. Волны, бегущие направо и налево (точки и штрихи), и их сумма — решение волновогоуравнения (сплошная линия) при t = 0, 1 (а), 0,2 (б), 0,3 (в)PУказание. Ищите решение неоднородного уравнения в виде u(x, t) = ∞n=0 cn (t) sin πnx.2 2−γtНа функцию cn (t) получится обыкновенное уравнение c̈n + π n cn = e δn,1 . При n 6= 1имеется только нулевое решение. При n = 1 уравнение можно решить методом неопределенных коэффициентов либо комплексной подстановкой z = πc1 + iċ1 . На комплекснуюфункцию z(t) получится уравнение I порядкаż + iπz = ie−γt .Ответ.c1 =π (− cos πt + e−γt ) + γ sin πt.π (π 2 + γ 2 )Задача 71 .utt − uxx = 0,u(0, t) = u(1, t) = 0,ut (x, 0) = 0, u(x, 0) =(h xa ,,h 1−x1−ax < a,x>a(рис.
2.9, штрихи).Указание.Bn = 0,An = 2Z1u(x, 0) sin πnx dx.0Интеграл можно взять по частям.Ответ.∞2h X sin πna cos πnt sin πnxu(x, t) =.a(1 − a) n=1(πn)2Почему убывание коэффициентов получилось со скоростью 1/n2 ? Если a = 1/2, точетные члены исчезают. Объясните это с точки зрения теории рядов Фурье.Задача 72 . Найдите графически форму струны при a = 1/2.Указание.
Общее решение одномерного волнового уравнения состоит из волн, бегущих вправо и влево u(x, t) = f (x − t) + g(x + t). Начальное отклонение струны имеетформу равнобедренного треугольника, поэтому каждая из волн имеет такую же форму,но половинной высоты. Надо достроить треугольник нечетным образом при −1 < x < 0и периодически продолжить на всю числовую ось. Если сложить две полуволны, в общем случае получится равнобедренная трапеция (рис.
2.10).332.8. Метод ФурьеЗадача 73 .utt − uxx = 0,ux (0, t) = ux (1, t) = 0,u(x, 0) = x,ut (x, 0) = 0(рис. 2.9, точки).Указание.Bn = 0, An =Ответ.u(x, t) = −42(1 − (−1)n ) .2(πn)∞Xcos π(2k + 1)t cos π(2k + 1)xπ 2 (2k + 1)2k=0.Почему остались только нечетные гармоники? Что изменится, если u(x, 0)t = 1? Какизменится пространство функций, если в начальный момент ux (0, t) = 0, u(1, t) = 0?2.8.2.Параболический типРешение задачи ut = L̂u при условии u|S = 0 ищем в виде суммыu(x, t) =∞XCn (t)ψn (x),n=0где ψn — собственные функции оператора: L̂ψn = λn ψn с граничным условием ψn |S = 0.Тогда для функций Cn (t) получатся обыкновенные дифференциальные уравнения.Задача 74 .
Решить задачу Кошиut = uxx ,u(x, 0) = x(1 − x).u(0, t) = u(1, t) = 0,Указание. Решение имеет видu=∞XAn e−π2 n2 tsin πnx.n=1Коэффициенты An найдем из начального условияAn = 2Z0Ответ.u=81x(1 − x) sin πnx dx.∞Xsin π(2k + 1)xk=0π 3 (2k + 1)3e−π2 (2k+1)2 t.Почему коэффициенты убывают быстро, как куб номера? Почему исчезли четные коэффициенты?Задача 75 . Решить неоднородное уравнениеut = uxx − βu + sin πx,u(0, t) = u(1, t) = 0,u(x, 0) = 0.342.
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХУказание. Подставим в гиперболическое уравнение решение u =получим обыкновенные уравненияP∞k=1 cn (t) sin πnx,ċn + π 2 n2 + β cn = δn,1 .Его решение с нулевым начальным условием можно найти методом неопределенныхкоэффициентов.Ответ.u(x, t) =isin πx h−(β+π 2 )t.1−eβ + π2Задача 76 . Решить трехмерное уравнение теплопроводности в шаре радиуса a сточечным источником в начале координат∂u= △u + Qδ(~r)∂tс граничным условием u(a, t) = 0 и нулевым начальным условием.Указание. Решение u(r, t) не зависит от углов.
Ищем решение в виде суммы стационарного решения неоднородного уравнения и нестационарного решения однородногоu(r, t) = v(r, t) + w(r),vt = △v,△w + Qδ(~r) = 0.Стационарное уравнение интегрируем по шару радиуса r и преобразуем интеграл потеореме Гаусса. Получим естественно электростатический потенциал точечного зарядаQ 1 12 ′4πr w = −Q ⇒ w =.−4π r aНестационарное решение ищем в виде ∞πnrπn 21XAn sinexp −t ,v=r n=1aaа коэффициенты An найдем из начальных условийQ 1 11Xπnrv|t=0 = −=An sin−.4π r ar naОтвет.Qu=4π2.8.3.1 1−r a−∞Q X1πnr −π2 n2 t/a2sine.2π 2 r n=1 naЭллиптический типЗадача 77 . Решить уравнение Лапласа △u = 0 в промежутке между двумя коаксиальными цилиндрами радиусами b > a с граничными условиями u(a, ϕ) = 1, u(b, ϕ) =cos ϕ.352.8.
Метод Фурьеyb43Q22a1x0Q10012а345бРис. 2.11. Граничные условия (а) и линии равной температуры (б) к задаче 78Указание. Ищем решение в виде u = R(r)Φ(ϕ). Находим Φ = eimϕ и радиальноеуравнениеm21(2.12)R′′ + R′ − 2 R = 0.rrДля внутреннего цилиндра m = 0 имеется два независимых решения (2.12): 1 и ln r.Для внешнего цилиндра m = ±1, решения r и 1/r. Значит, надо искать решение краевойзадачи в видеu(r, ϕ) = eiϕ (Ar + B/r) + c.c. + A0 + B0 ln r.Подставляя решение в граничные условия, найдем 4 уравнения на коэффициентыAa + B/a = 0,Ответ.A0 + B0 ln a = 1,cos ϕu(r, ϕ) = 2b − a2(Ab + B/b) cos ϕ = cos ϕ,a2 bbr −r+A0 + B0 ln b = 0.1(ln b − ln r).ln(b/a)Задача 78 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
